Baccalauréat Amérique du Nord - 22 mai 2024
Sujet 2 Exercice 15 points Les données publiées le 1^er mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :

$22,86\,\%$ des véhicules étaient des véhicules neufs ;
$8,08\,\%$ des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables;
$1,27\,\%$ des véhicules d'occasion (c'est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.

Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième. Partie A Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022. On note :

$N$ l'évènement « le véhicule est neuf »;
$R$ l'évènement « le véhicule est hybride rechargeable »;
$\overline{N}$ et $\overline{R}$ les évènements contraires des évènements contraires de $N$ et $R$ .

Représenter la situation par un arbre pondéré.
Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est $0,028\,3$ .
Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable.

Partie B Dans cette partie, on choisit

500

véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022.
Dans la suite, on admettra que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à

0,65

.
On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.
On appelle

X

la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les

500

véhicules choisis.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.
Déterminer la probabilité qu'exactement $325$ de ces véhicules soient neufs.
Déterminer la probabilité $p(X \geq 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C On choisit désormais

n

véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où

n

désigne un entier naturel strictement positif.
On rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à

0,65

.
On assimile le choix de ces

n

véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ que tous ces véhicules soient d'occasion.
On note $q_{n}$ la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_{n} \geqslant 0,999\,9$ .

Exercice 25 points On considère le pavé droit ABCDEFGH tel que AB

= 3

et AD = AE

= 1

représenté ci-dessous.

0,0

On considère le point I du segment [AB] tel que

\overrightarrow{\text{AB}}= 3 \overrightarrow{\text{AI}}

et on appelle

M

le milieu du segment [CD]. On se place dans le repère orthonormé

\left(\text{A}~;~ \overrightarrow{\text{AI}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right)

Sans justifier, donner les coordonnées des points F{}, H et M.
1. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\6\\ 3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (HMF).
2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (HMF) est : $2x + 6y + 3z - 9 = 0.$
3. Le plan $\mathcal{P}$ dont une équation cartésienne est $5x + 15y - 3z + 7 = 0$ est-il parallèle au plan (HMF) ? Justifier la réponse.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DG).
On appelle $N$ le point d'intersection de la droite (DG) avec le plan (HMF). Déterminer les coordonnées du point N.
Le point R de coordonnées $\left(3~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$ est-il le projeté orthogonal du point G sur le plan (HMF) ? Justifier la réponse.

Exercice 36 points On considère la fonction

g

définie sur l'intervalle

[0~;~1]

par

g(x) = 2x - x^{2}.

Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~1]$ et préciser les valeurs de $g(0)$ et de $g(1)$ .

\left(u_{n}\right)

\left\{\begin{array}{l c l}u_{0}&=&\dfrac{1}{2}\\ u_{n+1}&=&g\left(u_{n}\right)\end{array}\right.

n

Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , on a : $0 < u_{n} < u_{n+1}< 1$ .
En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_{n}\right)$ .

\left(v_{n}\right)

n

v_{n}=\ln \left(1 - u_{n}\right)

Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 2 et préciser son premier terme.
En déduire une expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ .
En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ et retrouver la limite déterminée à la question 5.
Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang $n$ à partir duquel la suite dépasse 0,95.

xxxxxxxxxx
 
def seuil():
    n = 0
    u = 0.5
    while u < 0.95:
        n = 
        u = 
    return n

Exécuter

Exercice 44 points Soit

a

un réel strictement positif. On considère la fonction

f

définie sur l'intervalle

]0~;~+\infty[

par

f(x) = a \ln (x).

On note

\mathcal{C}

sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Soit

x_{0}

un réel strictement supérieur à 1.

Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses.
Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x) =a [x \ln (x) - x]$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ .
En déduire l'aire du domaine bleuté en fonction de $a$ et de $x_{0}$ .

0,0

\mathcal{C}

x_0

x

y

T

\mathcal{C}

M

x_{0}

A

T

B

M

0,0

x_0

1

x

y

T

\mathcal{C}

Démontrer que la longueur AB est égale à une constante (c'est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $x_{0}$ ) que l'on déterminera.
Le candidat prendra soin d'expliciter sa démarche.