Baccalauréat Centres étrangers
5 juin 2024 Exercice 15 points Partie A On définit la fonction ff sur l'intervalle [0 ; 1][0~;~1] par : f(x)=0,96x0,93x+0,03. f(x) = \dfrac{0,96x}{0,93x + 0,03}.
  1. Démontrer que, pour tout xx appartenant à l'intervalle [0 ; 1][0~;~1], f′(x)=0,0288(0,93x+0,03)2. f'(x) = \dfrac{0,028\,8}{(0,93x + 0,03)^2}.
  2. Déterminer le sens de variation de la fonction ff sur l'intervalle [0 ; 1][0~;~1].
Partie B La lutte contre le dopage passe notamment par la réalisation de contrôles antidopage qui visent à déterminer si un sportif a fait usage de substances interdites.
Lors d'une compétition rassemblant 10001\,000 sportifs, une équipe médicale teste tous les concurrents. On propose d'étudier la fiabilité de ce test.
On appelle xx le réel compris entre 0 et 1 qui désigne la proportion de sportifs dopés.
Lors de l'élaboration de ce test, on a pu déterminer que : On note :
  1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous :
    DD
    D‾\overline{D}
    T‾\overline{T}
    T‾\overline{T}
    TT
    TT
    xx
    1−x1-x
    ⋯\cdots
    ⋯\cdots
    ⋯\cdots
    ⋯\cdots
  2. Déterminer, en fonction de xx, la probabilité qu'un sportif soit dopé et ait un test positif.
  3. Démontrer que la probabilité de l'évènement TT est égale à 0,93x+0,030,93x + 0,03.
  4. Pour cette question uniquement, on suppose qu'il y a 5050 sportifs dopés parmi les 10001\,000 testés. La fonction ff désigne la fonction définie à la partie A. Démontrer que la probabilité qu'un sportif soit dopé sachant que son test est positif est égale à f(0,05)f(0,05). En donner une valeur arrondie au centième.
  5. On appelle valeur prédictive positive d'un test la probabilité que le sportif soit réellement dopé lorsque le résultat du test est positif.
    1. Déterminer à partir de quelle valeur de xx la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à 0,90,9. Arrondir le résultat au centième.
    2. Un responsable de la compétition décide de ne plus tester l'ensemble des sportifs, mais de cibler les sportifs les plus performants supposés être plus fréquemment dopés. Quelle est la conséquence de cette décision sur la valeur prédictive positive du test ?
      Argumenter en utilisant un résultat de la partie A.
Exercice 25 points On considère la fonction ff définie sur l'intervalle [0 ; 1][0~;~1] par f(x)=2xe−x. f(x) = 2x\text{e}^{-x}. On admet que la fonction ff est dérivable sur l'intervalle [0 ; 1][0~;~1].
    1. Résoudre sur l'intervalle [0 ; 1][0~;~1] l'équation f(x)=xf(x) = x.
    2. Démontrer que, pour tout xx appartenant à l'intervalle [0 ; 1][0~;~1], f′(x)=2(1−x)e−x. f'(x) = 2(1 - x)\text{e}^{-x}.
    3. Donner le tableau de variations de la fonction ff sur l'intervalle [0~;~1]. On considère la suite (un)\left(u_n\right) définie par u0=0,1u_0 = 0,1 et pour tout entier naturel nn, un+1=f(un). u_{n+1} = f\left(u_n\right).
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout nn entier naturel, 0⩽un<un+1⩽1. 0 \leqslant u_n < u_{n+1} \leqslant 1.
    2. En déduire que la suite (un)\left(u_n\right) est convergente.
  3. Démontrer que la limite de la suite (un)\left(u_n\right) est ln⁡(2)\ln (2).
    1. Justifier que pour tout entier naturel n,ln⁡(2)−unn,\: \ln (2) - u_n est positif.
    2. On souhaite écrire un script Python qui renvoie une valeur approchée de ln⁡(2)\ln(2) par défaut à 10−410^{-4} près, ainsi que le nombre d'étapes pour y parvenir.
      Recopier et compléter le script ci-dessous afin qu'il réponde au problème posé.
      Exécuter
      



		
    3. Donner la valeur de la variable nn renvoyée par la fonction seuil ().
	
    





Exercice 35 points



On considère l'équation différentielle 
(E0):y′=y \left(E_0\right) :\quad  y' = y 
où yy est une fonction dérivable de la variable réelle xx.




    

  1. Démontrer que l'unique fonction constante solution de l'équation différentielle 
(E0)\left(E_0\right) est la fonction nulle.

  2. Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle (E0)\left(E_0\right).

    

On considère l'équation différentielle 
(E):y′=y−cos⁡(x)−3sin⁡(x) (E) :\quad  y' = y - \cos (x) - 3\sin (x) 
où yy est une fonction dérivable de la variable réelle xx.


  3. La fonction hh est définie sur R\mathbb{R} par h(x)=2cos⁡(x)+sin⁡(x)h(x) = 2 \cos (x) + \sin (x).

    

On admet qu'elle est dérivable sur R\mathbb{R}.

Démontrer que la fonction hh est solution de l'équation différentielle (E)(E).

  4. On considère une fonction ff définie et dérivable sur R\mathbb{R}.

Démontrer que : «  ff est solution de (E)(E)  » est équivalent à «  f−hf - h est solution de (E0)\left(E_0\right)  ».

  5. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E)(E).

  6. Déterminer l'unique solution gg de l'équation différentielle (E)(E) telle que g(0)=0g(0) = 0.

  7. Calculer:
∫0π2[−2ex+sin⁡(x)+2cos⁡(x)]dx. \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[-2\text{e}^x + \sin (x) + 2\cos (x)\right]\:\text{d}x. 





Exercice 45 points



L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗,k⃗)(O\,; \vec{i}\,, \vec{j}\,, \vec{k}).

On considère :






    

  1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

    2. 

		
    1. Démontrer que le vecteur n⃗(135)\vec{n}\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 5\end{pmatrix} est orthogonal au plan (ABC).
		
    2. Justifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est :
x+3y+5z−8=0. x + 3y + 5z - 8 = 0. 

		
    3. En déduire que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
	
    

    3. 
		
    1. Justifier que la droite D1\mathcal{D}_1 est la hauteur du tétraèdre ABCD issue de D.

On admet que la droite D2\mathcal{D}_2 est la hauteur du tétraèdre ABCD issue de C.
		
    2. Démontrer que les droites D1\mathcal{D}_1 et D2\mathcal{D}_2 sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
	
    

    4. 
		
    1. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H du point D sur le plan (ABC). 
		
    2. Calculer la distance du point D au plan (ABC). 

Arrondir le résultat au centième.