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6 juin 2024 Exercice 15 points Un sac opaque contient huit jetons numérotés de 1 à 8, indiscernables au toucher.
À trois reprises, un joueur pioche un jeton dans ce sac, note son numéro, puis le remet dans le sac.
Dans ce contexte, on appelle « tirage » la liste ordonnée des trois numéros obtenus.
Par exemple, si le joueur pioche le jeton numéro 4, puis le jeton numéro 5, puis le jeton numéro 1, alors le tirage correspondant est (4 ; 5 ; 1)(4~;~5~;~1).
  1. Déterminer le nombre de tirages possibles.
    1. Déterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.
    2. En déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro.
    On note X1X_1 la variable aléatoire égale au numéro du premier jeton pioché, X2X_2 celle égale au numéro du deuxième jeton pioché et X3X_3 celle égale au numéro du troisième jeton pioché.
    Puisqu'il s'agit d'un tirage avec remise, les variables aléatoires X1,X2X_1, X_2, et X3X_3 sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité.
  3. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire X1X_1
  4. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire X1X_1
    5. On note S=X1+X2+X3S = X_1 + X_2 + X_3 la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois jetons piochés.
  5. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire SS.
  6. Déterminer P(S=24)P(S = 24).
  7. Si un joueur obtient une somme supérieure ou égale à 2222, alors il gagne un lot.
    1. Justifier qu'il existe exactement 1010 tirages permettant de gagner un lot.
    2. En déduire la probabilité de gagner un lot.
Exercice 26 points On considère la fonction ff définie sur l'intervalle ]−∞ ; 1[]-\infty~;~1[ par f(x)=exx−1. f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x - 1}. On admet que la fonction ff est dérivable sur l'intervalle ]−∞ ; 1[]-\infty~;~1[ . On appelle C\mathcal{C} sa courbe représentative dans un repère.
    1. Déterminer la limite de la fonction ff en 1.
    2. En déduire une interprétation graphique.
  2. Déterminer la limite de la fonction ff en −∞-\infty.
    1. Montrer que pour tout réel xx de l'intervalle ]−∞ ; 1[]-\infty~;~1[ , on a f′(x)=(x−2)ex(x−1)2. f'(x) = \dfrac{(x - 2)\text{e}^x}{(x - 1)^2}.
    2. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction ff sur l'intervalle ]−∞ ; 1[]-\infty~;~1[.
  4. On admet que pour tout réel xx de l'intervalle ]−∞ ; 1[]-\infty~;~1[, on a f′′(x)=(x2−4x+5)ex(x−1)3. f''(x) = \dfrac{\left(x^2 -4x + 5\right)\text{e}^x}{(x - 1)^3}.
    1. Étudier la convexité de la fonction ff sur l'intervalle ]−∞ ; 1[]-\infty~;~1[.
    2. Déterminer l'équation réduite de la tangente TT à la courbe C\mathcal{C} au point d'abscisse 0.
    3. En déduire que, pour tout réel xx de l'intervalle ]−∞ ; 1[]-\infty~;~1[, on a : ex⩾(−2x−1)(x−1). \text{e}^x \geqslant (-2x - 1)(x-1).
    1. Justifier que l'équation f(x)=−2f(x) = -2 admet une unique solution α\alpha sur l'intervalle ]−∞ ; 1[]-\infty~;~1[.
    2. À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de α\alpha d'amplitude 10−210^{-2}.
Exercice 35 points Le cube ABCDEFGH a pour arête 1 cm. Le point I est le milieu du segment [AB] et le point J est le milieu du segment [CG].
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
On se place dans le repère orthonormé (A ; AB→, AD→,  AE→)\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~~\overrightarrow{\text{AE}}\right).
  1. Donner les coordonnées des points I et J.
  2. Montrer que le vecteur EJ→\overrightarrow{\text{EJ}} est normal au plan (FHI).
  3. Montrer qu'une équation cartésienne du plan (FHI) est −2x−2y+z+1=0- 2x - 2y + z + 1 = 0.
  4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EJ).
    1. On note K le projeté orthogonal du point E sur le plan (FHI). Calculer ses coordonnées.
    2. Montrer que le volume de la pyramide EFHI est 16\frac16 cm3^3.
      On pourra utiliser le point L, milieu du segment [EF]. On admet que ce point est le projeté orthogonal du point I sur le plan} (EFH).
    3. Déduire des deux questions précédentes l'aire du triangle FHI.
Exercice 44 points Partie A On considère la fonction ff définie sur l'intervalle [0 ; +∞[[0~;~+\infty[ par f(x)=x+1. f(x) = \sqrt{x + 1}. On admet que cette fonction est dérivable sur ce même intervalle.
  1. Démontrer que la fonction ff est croissante sur l'intervalle [0 ; +∞[[0~;~+\infty[.
  2. Démontrer que pour tout nombre réel xx appartenant à l'intervalle [0 ; +∞[[0~;~+\infty[ : f(x)−x=−x2+x+1x+1+x. f(x) - x = \dfrac{-x^2 + x + 1}{\sqrt{x + 1} + x}.
  3. En déduire que sur l'intervalle [0 ; +∞[[0~;~+\infty[ l'équation f(x)=xf(x) = x admet pour unique solution : ℓ=1+52. \ell = \dfrac{1 +\sqrt 5}{2}.
Partie B On considère la suite (un)\left(u_n\right) définie par u0=5u_0 = 5 et pour tout entier naturel nn, par un+1=f(un)u_{n+1} = f\left(u_n\right) où ff est la fonction étudiée dans la partie A. On admet que la suite de terme général unu_n est bien définie pour tout entier naturel nn.
  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel nn, on a 1⩽un+1⩽un. 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n.
  2. En déduire que la suite (un)\left(u_n\right) converge.
  3. Démontrer que la suite (un)\left(u_n\right) converge vers ℓ=1+52\ell = \dfrac{1 +\sqrt 5}{2}.
  4. On considère le script Python ci-dessous :
    Exécuter
    




On rappelle que la commande abs(x) renvoie la valeur absolue de xx.

	
      
		
    1. Donner la valeur renvoyée par seuil(2).
		
    2. La valeur renvoyée par seuil(4) est 9.
		
        
      

Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.