Baccalauréat Asie 11 juin 2024 Exercice 15,5 points On considère la fonction ff définie sur ]0 ; +∞[]0 ~;~+ \infty[ par f(x)=x2−xln⁡(x). f(x) = x^2 - x \ln (x). On admet que ff est deux fois dérivable sur ]0 ; +∞[]0 ~;~+ \infty[. On note f′f' la fonction dérivée de la fonction ff et f′′f'' la fonction dérivée de la fonction f′f'. Partie A : Étude de la fonction ff
  1. Déterminer les limites de la fonction ff en 00 et en +∞+\infty.
  2. Pour tout réel xx strictement positif, calculer f′(x)f'(x).
  3. Montrer que pour tout réel xx strictement positif: f′′(x)=2x−1x. f''(x) = \dfrac{2x - 1}{x}.
  4. Étudier les variations de la fonction f′f' sur ]0 ; +∞[]0 ~;~+ \infty[, puis dresser le tableau des variations de la fonction f′f' sur ]0 ; +∞[]0 ~;~+ \infty[. On veillera à faire apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction f′f' sur ]0 ; +∞[]0 ~;~+ \infty[. Les limites de la fonction f′f' aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.
  5. Montrer que la fonction ff est strictement croissante sur ]0 ; +∞[]0 ~;~+ \infty[.
Partie B : Étude d'une fonction auxiliaire pour la résolution de l'équation f(x)=xf(x) = x On considère dans cette partie la fonction gg définie sur ]0 ; +∞[]0 ~;~+ \infty[ par g(x)=x−ln⁡(x). g(x) = x - \ln (x). On admet que la fonction gg est dérivable sur ]0 ; +∞[]0 ~;~+ \infty[, on note g′g' sa dérivée.
  1. Pour tout réel strictement positif, calculer g′(x)g'(x), puis dresser le tableau des variations de la fonction gg. Les limites de la fonction gg aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.
  2. On admet que 1 est l'unique solution de l'équation g(x)=1g(x) = 1. Résoudre, sur l'intervalle ]0 ; +∞[]0 ~;~+ \infty[, l'équation f(x)=xf(x) = x.
Partie C : Étude d'une suite récurrente On considère la suite (un)\left(u_n\right) définie par u0=12u_0 = \dfrac12 et pour tout entier naturel nn, un+1=f(un)=un2−unln⁡(un). u_{n+1} = f\left(u_n\right) = u_n^2 - u_n \ln \left(u_n\right).
  1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel nn: 12⩽un⩽un+1⩽1. \dfrac12 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1.
  2. Justifier que la suite (un)\left(u_n\right) converge. On appelle ℓ\ell la limite de la suite (un)\left(u_n\right) et on admet que ℓ\ell vérifie l'égalité f(ℓ)=ℓf(\ell) = \ell.
  3. Déterminer la valeur de ℓ\ell.
Exercice 25,5 points Léa passe une bonne partie de ses journées à jouer à un jeu vidéo et s'intéresse aux chances de victoire de ses prochaines parties.
Elle estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne la suivante dans 70 % des cas.
Mais si elle vient de subir une défaite, d'après elle, la probabilité qu'elle gagne la suivante est de 0,20,2.
De plus, elle pense avoir autant de chance de gagner la première partie que de la perdre.
On s'appuiera sur les affirmations de Léa pour répondre aux questions de cet exercice. Pour tout entier naturel nn non nul, on définit les évènements suivants: Pour tout entier naturel nn non nul, on note gng_n la probabilité de l'évènement GnG_n. On a donc g1=0,5g_1 = 0,5.
  1. Quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle pG1(D2)p_{G_1}\left(D_2\right) ?
  2. Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premières parties de la journée :
    G1G_1
    G2G_2
    G2G_2
    G2‾\overline{G_2}
    G2‾\overline{G_2}
    G1‾\overline{G_1}
    ⋯\cdots
    ⋯\cdots
    ⋯\cdots
    ⋯\cdots
    ⋯\cdots
    ⋯\cdots
  3. Calculer g2g_2.
  4. Soit nn un entier naturel non nul.
    1. Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les nn-ième et (n+1)(n + 1)-ième parties de la journée.
      GnG_n
      Gn+1G_{n+1}
      Gn+1G_{n+1}
      Gn+1‾\overline{G_{n+1}}
      Gn+1‾\overline{G_{n+1}}
      DnD_n
      ⋯\cdots
      ⋯\cdots
      ⋯\cdots
      ⋯\cdots
      ⋯\cdots
      gng_n
    2. Justifier que pour tout entier naturel nn non nul, gn+1=0,5gn+0,2. g_{n+1} = 0,5g_n + 0,2.
  5. Pour tout entier naturel nn non nul, on pose vn=gn−0,4v_n = g_n - 0,4.
    1. Montrer que la suite (vn)\left(v_n\right) est géométrique. On précisera son premier terme et sa raison.
    2. Montrer que, pour tout entier naturel nn non nul : gn=0,1×0,5n−1+0,4. g_n = 0,1 \times 0,5^{n-1} + 0,4.
  6. Étudier les variations de la suite (gn)\left(g_n\right).
  7. Donner, en justifiant, la limite de la suite (gn)\left(g_n\right). Interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.
  8. Déterminer, par le calcul, le plus petit entier nn tel que gn−0,4⩽0,001g_n - 0,4 \leqslant 0,001.
  9. Recopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 de la fonction suivante, écrite en langage Python, afin qu'elle renvoie le plus petit rang à partir duquel les termes de la suite (gn)\left(g_n\right) sont tous inférieurs ou égaux à 0,4+e0,4 + e, où ee est un nombre réel strictement positif.
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Exercice 34 points



Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.




    

  1. Soit (un)\left(u_n\right) une suite définie pour tout entier naturel nn et vérifiant la relation suivante:

pour tout entier naturel n,12<un⩽3n2+4n+76n2+1n,\:\: \dfrac12  < u_n \leqslant \dfrac{3n^2 + 4n + 7}{6n^2 + 1}.

Affirmation 1 lim⁡n→+∞un=12\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n =\dfrac12.

  2. Soit hh une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [−4 ; 4][-4~;~4].

    

La représentation graphique Ch′\mathcal{C}_{h'} de sa fonction dérivée h′h' est donnée ci-dessous.



    01234−1−2−3−42468−2−4
    Ch′\mathcal{C}_{h'}
    













Affirmation 2 : La fonction hh est convexe sur [−1 ; 3][-1~;~3].

  3. Le code d'un immeuble est composé de 4 chiffres (qui peuvent être identiques) suivis de deux lettres distinctes parmi A, B et C (exemple: 1232BA).

    

Affirmation 3 : Il existe 20 634 codes qui contiennent au moins un 0.`


  4. On considère la fonction ff définie sur ]0 ; +∞[]0~;~+\infty[ par f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x.

    

Affirmation 4 :  La fonction ff est une solution sur ]0 ; +∞[]0~;~ +\infty[ de l'équation différentielle

xy′−y=x. xy' - y = x. 





Exercice 45 points



Dans un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗,k⃗)(O\,; \vec{i}\,,\vec{j}\,,\vec{k}) de l'espace, on considère le plan (P)(P) d'équation: 
(P):2x+2y−3z+1=0. (P) :\quad 2x + 2y - 3z + 1 = 0. 

On considère les trois points A, B et C de coordonnées: 
A(1 ; 0 ; 1)(1~;~0~;~1) , B(2 ; −1 ; 1)(2~;~- 1~;~1) et C(−4 ; −6 ; 5)( - 4~;~- 6~;~5) .

Le but de cet exercice est d'étudier le rapport des aires entre un triangle et son projeté orthogonal dans un plan.




Partie A


    

  1. Pour chacun des points A, B et C, vérifier s'il appartient au plan (P)(P).

  2. Montrer que le point C′(0 ; −2 ; −1)'(0~;~- 2~;~- 1) est le projeté orthogonal du point C sur le plan (P)(P).

  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

  4. On admet l'existence d'un unique point H vérifiant les deux conditions 




    

Déterminer les coordonnées du point H.




    (P)
    A
    B
    C
    C'
    








Partie B



On admet que les coordonnées du vecteur HC→\overrightarrow{\text{HC}} sont : HC→(−112−1124)\overrightarrow{\text{HC}}\begin{pmatrix}- \frac{11}{2}\\- \frac{11}{2}\\4\end{pmatrix}.




    

  1. Calculer la valeur exacte de ∥HC→∥\left\|\overrightarrow{\text{HC}}\right\|.

  2. Soit SS l'aire du triangle ABC. Déterminer la valeur exacte de SS.





Partie C



On admet que HC′=172'= \sqrt{\dfrac{17}{2}}.




    

  1. Soit α=CHC′^\alpha = \widehat{\text{CHC}'}. Déterminer la valeur de cos⁡(α)\cos(\alpha).

    2. 
		
    1. Montrer que les droites (C′'H) et (AB) sont perpendiculaires.
		
    2. Calculer S′S' l'aire du triangle ABC′', on donnera la valeur exacte.
		
    3. Donner une relation entre S,S′S,\: S' et cos⁡(α)\cos (\alpha).