Baccalauréat Métropole 19 juin 2024 Exercice 14 points Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
  1. On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=5xexf(x)=5 x \text{e}^{-x}.
    On note CfC_{f} la courbe représentative de ff dans un repère orthonormé.
    Affirmation 1 : L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe CfC_{f}.

    Affirmation 2 : La fonction ff est solution sur R\mathbb{R} de l'équation différentielle (E)(E) : y+y=5exy'+y=5 \text{e}^{-x}.
  2. On considère les suites (un)\left(u_{n}\right), (vn)\left(v_{n}\right) et (wn)\left(w_{n}\right), telles que, pour tout entier naturel nn : unvnwn. u_{n} \leqslant v_{n} \leqslant w_{n}. De plus, la suite (un)\left(u_{n}\right) converge vers 1-1 et la suite (wn)\left(w_{n}\right) converge vers 1 .
    Affirmation 3 : La suite (vn)\left(v_{n}\right) converge vers un nombre réel \ell appartenant à l'intervalle [1;1][-1 ; 1].
    On suppose de plus que la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante et que la suite (wn)\left(w_{n}\right) est décroissante.
    Affirmation 4 : Pour tout entier naturel nn, on a alors : u0vnw0u_{0} \leqslant v_{n} \leqslant w_{0}.
Exercice 25 points Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l'occasion de l'achat d'un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d'électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces. Les achats sur internet représentent 60%60\,\% des ventes, les achats en magasin d'électroménager 30%30 \% des ventes et ceux en grandes surfaces 10%10\,\% des ventes. Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle est de : On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné. On définit les évènements suivants : Si AA est un évènement quelconque, on notera A\overline{A} son évènement contraire et P(A)P(A) sa probabilité.
  1. Reproduire et compléter l'arbre ci-contre.
    II
    MM
    GG
    SS
    SS
    SS
    S\overline{S}
    S\overline{S}
    S\overline{S}
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
  2. Calculer la probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle.
  3. Démontrer que P(S)=0,8P(S)=0,8.
  4. Un client est satisfait du service clientèle. Quelle est la probabilité qu'il ait effectué son achat sur internet ? On donnera un résultat arrondi à 10310^{-3} près.
  5. Pour réaliser l'étude, l'agence doit contacter chaque jour 30 clients parmi les acheteurs du téléviseur. On suppose que le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des 30 clients à un tirage avec remise. On note XX la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 30 clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientèle.
    1. Justifier que XX suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    2. Déterminer la probabilité, arrondie à 10310^{-3} près, qu'au moins 25 clients soient satisfaits dans un échantillon de 30 clients contactés sur une même journée.
  6. En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l'échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à 0,990,99.
  7. Dans les deux questions a. et b. qui suivent, on ne s'intéresse qu'aux seuls achats sur internet.
    Lorsqu'une commande de téléviseur est passée par un client, on considère que le temps de livraison du téléviseur est modélisé par une variable aléatoire TT égale à la somme de deux variables aléatoires T1T_{1} et T2T_{2}.
    La variable aléatoire T1T_{1} modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis un entrepôt de stockage vers une plateforme de distribution. La variable aléatoire T2T_{2} modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis cette plateforme jusqu'au domicile du client.
    On admet que les variables aléatoires T1T_{1} et T2T_{2} sont indépendantes, et on donne :
    1. Déterminer l'espérance E(T)E(T) et la variance V(T)V(T) de la variable aléatoire TT.
    2. Un client passe une commande de téléviseur sur internet. Justifier que la probabilité qu'il reçoive son téléviseur entre 5 et 9 jours après sa commande est supérieure ou égale à 23\dfrac{2}{3}.
Exercice 35 points L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i,j,k)(O\,; \vec{i}\,,\vec{j}\,,\vec{k}).
On considère les points A(5 ; 5 ; 0)(5~;~5~;~0), B(0 ; 5 ; 0)(0~;~5~;~0), C(0 ; 0 ; 10)(0~;~0~;~10) et D(0 ; 0 ; 52)\left(0~;~0 ~;~-\dfrac{5}{2}\right).
A
B
C
D
H
F
i\vec{i}
j\vec{j}
k\vec{k}
    1. Montrer que n1(110)\overrightarrow{n_{1}}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (CAD).
    2. En déduire que le plan (CAD) a pour équation cartésienne : \quad xy=0x-y=0.
  1. On considère la droite D\mathcal{D} de représentation paramétrique
    {x=552ty=552tz=0\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{5 -}\frac{5}{2} t \\ y&=&5-\frac{5}{2} t \\ z&=&0 \end{array}\right.tRt \in \mathbb{R}.
    1. On admet que la droite D\mathcal{D} et le plan (CAD) sont sécants en un point H. Justifier que les coordonnées de H sont (52 ; 52 ; 0)\left(\dfrac{5}{2}~;~\dfrac{5}{2}~;~0\right).
    2. Démontrer que le point H est le projeté orthogonal de B sur le plan (CAD).
    1. Démontrer que le triangle ABH est rectangle en H.
    2. En déduire que l'aire du triangle ABH est égale à 254\dfrac{25}{4}.
    1. Démontrer que (CO) est la hauteur du tétraèdre ABCH issue de C.
    2. En déduire le volume du tétraèdre ABCH.
      On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par : V=13BhV=\dfrac{1}{3} \mathcal{B }h, où B\mathcal{B} est l'aire d'une base et hh la hauteur relative à cette base.
  2. On admet que le triangle ABC est rectangle en B. Déduire des questions précédentes la distance du point H au plan (ABC).
Exercice 46 points Partie A : étude de la fonction ff La fonction ff est définie sur l'intervalle ]0 ; +[]0 ~;~+\infty[ par : f(x)=x2+12lnx, f(x)=x-2+\dfrac{1}{2} \ln x, où ln désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction ff est deux fois dérivable sur ]0 ; +[] 0 ~;~ +\infty[, on note ff' sa dérivée et ff'' sa dérivée seconde.
    1. Déterminer, en justifiant, les limites de ff en 0 et en ++\infty.
    2. Montrer que pour tout xx appartenant à ]0 ; +[] 0 ~;~+\infty[, on a : f(x)=2x+12xf'(x)=\dfrac{2x + 1}{2x}.
    3. Étudier le sens de variation de ff sur ]0 ; +[] 0 ~;~+\infty[.
    4. Étudier la convexité de ff sur ]0 ; +[] 0~;~ +\infty[.
    1. Montrer que l'équation f(x)=0f(x)=0 admet dans ]0 ; +[] 0 ~;~ +\infty[ une solution unique qu'on notera α\alpha et justifier que α\alpha appartient à l'intervalle [1 ; 2][1~;~2].
    2. Déterminer le signe de f(x)f(x) pour x]0 ; +[x \in] 0 ~;~ +\infty[.
    3. Montrer que ln(α)=2(2α)\ln (\alpha)=2(2-\alpha).
Partie B : étude de la fonction gg La fonction gg est définie sur ]0 ; 1]] 0~;~1] par : g(x)=78x2+x14x2lnx. g(x) = -\dfrac{7}{8} x^{2}+ x - \dfrac{1}{4} x^{2} \ln x. On admet que la fonction gg est dérivable sur ]0 ; 1]] 0~;~1] et on note gg' sa fonction dérivée.
  1. Calculer g(x)g'(x) pour x]0 ; 1]x \in ] 0~;~1] puis vérifier que g(x)=xf(1x)g'(x)=x f\left(\dfrac{1}{x}\right).
    1. Justifier que pour xx appartenant à l'intervalle ]0 ; 1α[\left] 0~;~\dfrac{1}{\alpha}\right[, on a f(1x)>0f\left(\dfrac{1}{x}\right)>0.
    2. On admet le tableau de signes suivant :

      xx 00 1α\dfrac{1}{\alpha} 11 signe de f(1x)f\left(\dfrac{1}{x}\right) interdit ++ 0 -
      xx001α\dfrac{1}{\alpha}11
      signe de f(1x)f\left(\dfrac{1}{x}\right)++0-

      En déduire le tableau de variations de gg sur l'intervalle ]0 ; 1]] 0~;~1]. Les images et les limites ne sont pas demandées.
Partie C : un calcul d'aire. On a représenté sur le graphique ci-dessous :
00.20.40.60.810.050.10.150.20.250.30.35−0.05
1α\frac{1}{\alpha}
Cg\mathcal{C}_g
P\mathcal{P}
On souhaite calculer l'aire A\mathcal{A} du domaine colorié compris entre les courbes Cg\mathcal{C}_{g} et P\mathcal{P}, et les droites d'équations x=1αx=\dfrac{1}{\alpha} et x=1x=1. On rappelle que ln(α)=2(2α)\ln (\alpha)=2(2-\alpha).
    1. Justifier la position relative des courbes CgC_{g} et P\mathcal{P} sur l'intervalle ]0 ; 1]\left.] 0~;~1\right].
    2. Démontrer l'égalité : 1α1x2lnxdx=α36α+139α3 \int_{\frac{1}{\alpha}}^{1} x^{2} \ln x \:\mathrm{d}x=\dfrac{-\alpha^{3}-6 \alpha+13}{9 \alpha^{3}}
  1. En déduire l'expression en fonction de α\alpha de l'aire A\mathcal{A}.