Baccalauréat Polynésie 19 juin 2024 Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée Exercice 14 points Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.


Les quatre affirmations se placent dans la situation suivante:

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O;i,j,k)(O\,; \vec{i}\,,\vec{j}\,,\vec{k}), on considère les points: A(2 ; 1 ; 1)(2~;~1~;~-1), B(1 ; 2 ; 1)(-1~;~2~;~1) et C(5 ; 0 ; 3)(5~;~0~;~-3). On note P\mathcal{P} le plan d'équation cartésienne: x+5y2z+3=0. x + 5y - 2z + 3 = 0. On note D\mathcal{D} la droite de représentation paramétrique : {x=t+3y=t+2z=2t+1,tR.\left\{\begin{array}{l c r} x&=&-t +3 \\ y&=&t+ 2 \\ z &=& 2t +1 \end{array}\right., \: t \in \mathbb{R}. Affirmation 1 :
Le vecteur n(102)\vec{n}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} est normal au plan (OAC).

Affirmation 2 :
Les droites D\mathcal{D} et (AB) sont sécantes au point C.

Affirmation 3 :
La droite D\mathcal{D} est parallèle au plan P\mathcal{P}.

Affirmation 4 : Le plan médiateur du segment [BC], noté QQ, a pour équation cartésienne : 3xy2z7=0. 3x - y - 2z - 7 = 0. On rappelle que le plan médiateur d'un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. Exercice 25 points Une entreprise fabrique des objets en plastique en injectant dans un moule de la matière fondue à 210210 °C. On cherche à modéliser le refroidissement du matériau à l'aide d'une fonction ff donnant la température du matériau injecté en fonction du temps tt.
Le temps est exprimé en seconde et la température est exprimée en degré Celsius.
On admet que la fonction ff cherchée est solution d'une équation différentielle de la forme suivante où mm est une constante réelle que l'on cherche à déterminer: (E):y+0,02y=m (E) : \quad y' +0,02y = m Partie A
  1. Justifier l'affichage suivant d'un logiciel de calcul formel:
    Entrée : RésoudreEquationDifférentielle (y+0,02y=m)(y' + 0,02y = m)
    Sortie : \to : y=kexp(0.02t)+50my = k *\text{exp}(-0.02 * t) + 50 * m
  2. La température de l'atelier est de 30 °C. On admet que la température f(t)f(t) tend vers 30°C lorsque tt tend vers l'infini.
    Démontrer que m=0,6m = 0,6.
  3. Déterminer l'expression de la fonction ff cherchée en tenant compte de la condition initiale f(0)=210.f(0) = 210.
Partie B On admet ici que la température (exprimée en degré Celsius) du matériau injecté en fonction du temps (exprimé en seconde) est donnée par la fonction dont l'expression et une représentation graphique sont données ci-dessous: f(t)=180e0,02t+30. f(t) =180 \text{e}^{-0,02t} + 30.
02040608010012014016018020050100150200
temps (en s)
temperature (°C)
  1. L'objet peut être démoulé lorsque sa température devient inférieure à 50 °C.
    1. Par lecture graphique, donner une valeur approchée du nombre TT de secondes à attendre avant de démouler l'objet.
    2. Déterminer par le calcul la valeur exacte de ce temps TT.
  2. À l'aide d'une intégrale, calculer la valeur moyenne de la température sur les 100100 premières secondes.
Exercice 35 points Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles Partie A On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. On note XX la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté « Face ».
  1. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par XX.
  2. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de XX
    kk 00 11 22 33
    P(X=k)P(X=k)
Partie B Voici les règles d'un jeu où le but est d'obtenir trois pièces du côté « Face » en un ou deux essais : On considère les évènements suivants :
  1. Démontrer que PA1(G)=14P_{A_1}(G) = \dfrac14.
  2. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous:
    A0A_0
    A1A_1
    A2A_2
    A3A_3
    GG
    GG
    GG
    GG
    G\overline{G}
    G\overline{G}
    G\overline{G}
    18\frac{1}{8}
    38\frac{3}{8}
    38\frac{3}{8}
    18\frac{1}{8}
  3. Démontrer que la probabilité pp de gagner à ce jeu est p=2764p = \dfrac{27}{64}
  4. La partie a été gagnée. Quelle est la probabilité qu'exactement une pièce soit tombée du côté « Face » à la première tentative ?
  5. Combien de fois faut-il jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse 0,950,95 ?
Exercice 46 points L'objectif de cet exercice est de conjecturer en partie A puis de démontrer en partie B le comportement d'une suite.
Les deux parties peuvent cependant être traitées de manière indépendante. On considère la suite (un)\left(u_n\right) définie par u0=3u_0 = 3 et pour tout nNn \in \mathbb{N} : un+1=45un. u_{n+1} = \dfrac{4}{5 - u_n}. Partie A
  1. Recopier et compléter la fonction Python suivante suite(n) qui prend comme paramètre le rang nn et renvoie la valeur du terme unu_n.
  2. L'exécution de suite(2) renvoie 1.3333333333333333.
    Effectuer un calcul pour vérifier et expliquer cet affichage.
  3. À l'aide des affichages ci-dessous, émettre une conjecture sur le sens de variation et une conjecture sur la convergence de la suite (un)\left(u_n\right).
    >> suite(2)
    1.3333333333333333
    >> suite(5)
    1.0058479532163742
    >> suite(10)
    1.0000057220349845
    >> suite(20)
    1.000000000005457
Partie B On considère la fonction ff définie et dérivable sur l'intervalle ] ; 5[] -\infty~;~5[ par: f(x)=45x. f(x) = \dfrac{4}{5 - x}. Ainsi, la suite (un)\left(u_n\right) est définie par u0=3u_0 = 3 et pour tout nN,un+1=f(un)n \in \mathbb{N},\:\: u_{n+1} = f\left(u_n\right).
  1. Montrer que la fonction ff est croissante sur l'intervalle ] ; 5[]-\infty~;~5[.
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel nn on a : 1un+1un4. 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 4.
    1. Soit xx un réel de l'intervalle ] ; 5[]-\infty~;~5[. Prouver l'équivalence suivante: f(x)=xx25x+4=0. f(x) = x \iff x^2 - 5x + 4 = 0.
    2. Résoudre f(x)=xf(x) = x dans l'intervalle ] ; 5[]-\infty~;~5[.
  3. Démontrer que la suite (un)\left(u_n\right) est convergente. Déterminer sa limite.
  4. Le comportement de la suite serait-il identique en choisissant comme terme initial u0=4u_0 = 4 au lieu de u0=3u_0 = 3 ?