Baccalauréat Métropole 20 juin 2024Exercice 15 points
La directrice d’une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l’examen de fin d’étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.
Pour cette étude, on demande aux étudiants à l’issue de l’examen de répondre indivi-
duellement à la question : « Pensez-vous avoir réussi l’examen ? ».
Seules les réponses « oui » ou « non » sont possibles, et on observe que 91,7 % des étudiants interrogés ont répondu « oui ».
Suite à la publication des résultats à l’examen, on découvre que :
65 % des étudiants ayant échoué ont répondu « non » ;
98 % des étudiants ayant réussi ont répondu « oui ».
On interroge au hasard un étudiant qui a passé l’examen.
On note R l’évènement « l’étudiant a réussi l’examen » et Q l’évènement « l’étudiant a répondu « oui » à la question ».
Pour un évènement A quelconque, on note P(A) sa probabilité et A son évènement
contraire.
Dans tout l’exercice, les probabilités sont, si besoin, arrondies à 10−3 près.
Préciser les valeurs des probabilités P(Q) et PR(Q).
On note x la probabilité que l’étudiant interrogé ait réussi l’examen.
Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
0,0
R
R
Q
Q
Q
Q
x
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
Montrer que x=0,9.
L’étudiant interrogé a répondu « oui » à la question.
Quelle est la probabilité qu’il ait réussi l’examen ?
La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre 0
et 20. On suppose qu’elle est modélisée par une variable aléatoire N qui suit la loi binomiale de paramètres (20;0,615).
La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les
meilleurs résultats.
À partir de quelle note doit-elle attribuer les récompenses pour que 65% des étudiants soient récompensés ?
On interroge au hasard dix étudiants.
Les variables aléatoires N1, N2, … , N10 modélisent la note sur 20 obtenue à l’examen par chacun d’entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres (20;0,615).
Soit S la variable définie par S=N1+N2+⋅⋅⋅+N10.
Calculer l’espérance E(S) et la variance V(S) de la variable aléatoire S.
On considère la variable aléatoire M=10S.
Que modélise cette variable aléatoire M dans le contexte de l’exercice ?
Justifier que E(M)=12,3 et V(M)=0,47355.
À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l’affirmation ci-dessous.
« La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit
strictement comprise entre 10,3 et 14,3 est d’au moins 80% ».
Exercice 25 pointsLes parties A et B sont indépendantes
Alain possède une piscine qui contient 50 m3 d’eau. On rappelle que 1 m3=1000 L.
Pour désinfecter l’eau, il doit ajouter du chlore.
Le taux de chlore dans l’eau, exprimé en mg⋅L−1, est défini comme la masse de chlore par unité de volume d’eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre 1 et 3 mg⋅L−1.
Sous l’action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et
disparaît peu à peu.
Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une
précision à 0,01 mg⋅L−1. Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de 0, 70 mg⋅L−1.
Partie A : étude d’un modèle discret.
Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d’ajouter chaque jour une quantité de 15 g de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément dans l’eau de la piscine.
Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de 0,3 mg⋅L−1.
Pour tout entier naturel n, on note vn le taux de chlore, en mg⋅L−1, obtenu avec ce nouveau protocole n jours après le mercredi 19 juin. Ainsi v0=0,7.
On admet que pour tout entier naturel n,
vn+1=0,92vn+0,3.
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, vn≤vn+1≤4.
Montrer que la suite (vn) est convergente et calculer sa limite.
À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse.
Reproduire et compléter l’algorithme ci-après écrit en langage Python pour que
la fonction alerte_chlore renvoie, lorsqu’il existe, le plus petit entier n tel que vn>s.
Quelle valeur obtient-on en saisissant l’instruction alerte_chlore(3) ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Partie B : étude d’un modèle continu.
Alain décide de faire appel à un bureau d’études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine.
Dans ce modèle, pour une durée x (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), f(x) représente le taux de chlore, en mg⋅L−1, dans la piscine.
On admet que la fonction f est solution de l’équation différentielle (E ) :
y′=−0,08y+50q,
où q est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.
Justifier que la fonction f est de la forme f(x)=Ce−0,08x+4q où C est une constante réelle.
Exprimer en fonction de q la limite de f en +∞.
On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à 0,7 mg⋅L−1.
On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de 2.
Déterminer les valeurs de C et q afin que ces deux conditions soient respectées.
Exercice 36 points
On considère une fonction f définie et deux fois dérivable sur ]−2;+∞[. On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, f′ sa dérivée et f′′ sa dérivée seconde.
On a tracé ci-dessous la courbe Cf et sa tangente T au point B d’abscisse −1.
On précise que la droite T passe par le point A(0;−1).
0,0
A
B
T
Cf
Partie A : exploitation du graphique.
À l’aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.
Préciser f(−1) et f′(−1).
La fonction f est-elle convexe sur son ensemble de définition ? Justifier.
Conjecturer le nombre de solutions de l’équation f(x)=0 et donner une valeur
arrondie à 10−1 près d’une solution.
Partie B : étude de la fonction f
On considère que la fonction f est définie sur ]−2;+∞[ par :
f(x)=x2+2x−1+ln(x+2),
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
Déterminer par le calcul la limite de la fonction f en −2. Interpréter graphique-
ment ce résultat.
On admet que x→+∞limf(x)=+∞.
Montrer que pour tout x>−2, f′(x)=x+22x2+6x+5.
Étudier les variations de la fonction f sur ]−2;+∞[ puis dresser son tableau de variations complet.
Montrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution α sur ]−2;+∞[ et donner une valeur arrondie de α à 10−2 près.
En déduire le signe de f(x) sur ]−2;+∞[.
Montrer que Cf admet un unique point d’inflexion et déterminer son abscisse.
Partie C : une distance minimale.
Soit g la fonction définie sur ]−2;+∞[ par g(x)=ln(x+2).
On note Cg sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;I,J), représentée ci-après.
Soit M un point de Cg d’abscisse x.
Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de x la distance JM est minimale.
On considère la fonction h définie sur ]−2;+∞[ par h(x)=JM2.
0,0
M
I
J
Cg
x
Justifier que pour tout x>−2, on a : h(x)=x2+[ln(x+2)−1]2.
On admet que la fonction h est dérivable sur ]−2;+∞[ et on note h′ sa fonction dérivée.
On admet également que pour tout réel x>−2,
h′(x)=x+22f(x)
où f est la fonction étudiée en partie B.
Dresser le tableau de variations de h sur ]−2;+∞[.
Les limites ne sont pas demandées.
En déduire que la valeur de x pour laquelle la distance JM est minimale est α où α est le nombre réel défini à la question 4. de la partie B.
On notera Mα le point de Cg d’abscisse α.
Montrer que ln(α+2)=1−2α−α2.
En déduire que la tangente à Cg au point Mα et la droite (JMα) sont perpendiculaires.
On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont
perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à
−1.
Exercice 44 pointsPour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points suivants :
A(2;0;0), B(0;4;3), C(4;4;1), D(0;0;4) et H(−1;1;2). Affirmation 1 : les points A, C et D définissent un plan P d’équation 8x−5y+4z−16=0.
Affirmation 2 : les points A, B, C et D sont coplanaires.
Affirmation 3 : les droites (AC) et (BH) sont sécantes.
On admet que le plan (ABC) a pour équation cartésienne x−y+2z−2=0.
Affirmation 4 : le point H est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).