Baccalauréat Métropole 20 juin 2024 Exercice 15 points La directrice d’une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l’examen de fin d’étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.
Pour cette étude, on demande aux étudiants à l’issue de l’examen de répondre indivi- duellement à la question : « Pensez-vous avoir réussi l’examen ? ». Seules les réponses « oui » ou « non » sont possibles, et on observe que 91,7 % des étudiants interrogés ont répondu « oui ».
Suite à la publication des résultats à l’examen, on découvre que : On interroge au hasard un étudiant qui a passé l’examen.
On note RR l’évènement « l’étudiant a réussi l’examen » et QQ l’évènement « l’étudiant a répondu « oui » à la question ».
Pour un évènement AA quelconque, on note P(A)P(A) sa probabilité et AA son évènement contraire.
Dans tout l’exercice, les probabilités sont, si besoin, arrondies à 10310^{-3} près.
  1. Préciser les valeurs des probabilités P(Q)P(Q) et PR(Q)P_{\overline{R}}(\overline{Q}).
  2. On note xx la probabilité que l’étudiant interrogé ait réussi l’examen.
    1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
      RR
      R\overline{R}
      Q\overline{Q}
      Q\overline{Q}
      QQ
      QQ
      xx
      \cdots
      \cdots
      \cdots
      \cdots
      \cdots
    2. Montrer que x=0,9x = 0, 9.
  3. L’étudiant interrogé a répondu « oui » à la question.
    Quelle est la probabilité qu’il ait réussi l’examen ?
  4. La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre 00 et 2020. On suppose qu’elle est modélisée par une variable aléatoire NN qui suit la loi binomiale de paramètres (20;0,615)(20 ; 0, 615).
    La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.
    À partir de quelle note doit-elle attribuer les récompenses pour que 65%65 \% des étudiants soient récompensés ?
  5. On interroge au hasard dix étudiants.
    Les variables aléatoires N1N_1, N2N_2, \dots , N10N_{10} modélisent la note sur 2020 obtenue à l’examen par chacun d’entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres (20 ; 0,615)(20~ ;~ 0, 615).
    Soit SS la variable définie par S=N1+N2++N10S = N_1 + N_2 + · · · + N_{10}.
    Calculer l’espérance E(S)E (S) et la variance V(S)V (S) de la variable aléatoire SS.
  6. On considère la variable aléatoire M=S10M=\dfrac{S}{10}.
    1. Que modélise cette variable aléatoire M dans le contexte de l’exercice ?
    2. Justifier que E(M)=12,3E (M ) = 12, 3 et V(M)=0,47355V (M ) = 0,473\, 55.
    3. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l’affirmation ci-dessous. « La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre 10,310,3 et 14,314,3 est d’au moins 80%80 \% ».
Exercice 25 points Les parties A et B sont indépendantes

Alain possède une piscine qui contient 5050 m3^{3} d’eau. On rappelle que 11 m3^{3} == 10001\, 000 L.
Pour désinfecter l’eau, il doit ajouter du chlore.
Le taux de chlore dans l’eau, exprimé en mg\cdotL1^{-1}, est défini comme la masse de chlore par unité de volume d’eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre 11 et 33 mg\cdotL1^{-1}.
Sous l’action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu.
Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à 0,010, 01 mg\cdotL1^{-1}. Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de 0, 7070 mg\cdotL1^{-1}. Partie A : étude d’un modèle discret. Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d’ajouter chaque jour une quantité de 1515 g de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément dans l’eau de la piscine.
  1. Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de 0,30, 3 mg\cdotL1^{-1}.
  2. Pour tout entier naturel nn, on note vnv_n le taux de chlore, en mg\cdotL1^{-1}, obtenu avec ce nouveau protocole n jours après le mercredi 19 juin. Ainsi v0=0,7v_0 = 0, 7. On admet que pour tout entier naturel nn, vn+1=0,92vn+0,3.v_{n+1} = 0, 92v_n + 0, 3.
    1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel nn, vnvn+14v_n \leq v_{n+1} \leq 4.
    2. Montrer que la suite (vn)(v_n) est convergente et calculer sa limite.
  3. À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse.
  4. Reproduire et compléter l’algorithme ci-après écrit en langage Python pour que la fonction alerte_chlore renvoie, lorsqu’il existe, le plus petit entier nn tel que vn>sv_n > s.
  5. Quelle valeur obtient-on en saisissant l’instruction alerte_chlore(3) ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Partie B : étude d’un modèle continu. Alain décide de faire appel à un bureau d’études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine.
Dans ce modèle, pour une durée xx (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), f(x)f (x) représente le taux de chlore, en mg\cdotL1^{-1}, dans la piscine.
On admet que la fonction ff est solution de l’équation différentielle (E ) : y=0,08y+q50,y' = -0, 08y + \dfrac{q}{50} ,qq est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.
  1. Justifier que la fonction ff est de la forme f(x)=Ce0,08x+q4f (x) = C \text{e}^{-0,08x} + \dfrac{q}{ 4}CC est une constante réelle.
    1. Exprimer en fonction de qq la limite de ff en ++\infty.
    2. On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à 0,70, 7 mg\cdotL1^{-1}.
      On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de 22.

      Déterminer les valeurs de CC et qq afin que ces deux conditions soient respectées.
Exercice 36 points On considère une fonction ff définie et deux fois dérivable sur ]2;+[] - 2\, ; +\infty[. On note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, ff ' sa dérivée et ff'' sa dérivée seconde.
On a tracé ci-dessous la courbe Cf\mathcal{C}_f et sa tangente TT au point BB d’abscisse 1-1.
On précise que la droite TT passe par le point A(0;1)A(0\,;\, -1).
00.51−0.5−1−1.5−20.51−0.5−1−1.5−2−2.5−3
A
B
TT
Cf\mathcal{C}_f
Partie A : exploitation du graphique. À l’aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.
  1. Préciser f(1)f (-1) et f(1)f'(-1).
  2. La fonction ff est-elle convexe sur son ensemble de définition ? Justifier.
  3. Conjecturer le nombre de solutions de l’équation f(x)=0f (x) = 0 et donner une valeur arrondie à 10110^{-1} près d’une solution.
Partie B : étude de la fonction ff On considère que la fonction ff est définie sur ]2 ; +[] -2~ ;~ +\infty[ par : f(x)=x2+2x1+ln(x+2),f(x)=x^2+2x-1+\ln(x+2),ln\ln désigne la fonction logarithme népérien.
  1. Déterminer par le calcul la limite de la fonction ff en 2-2. Interpréter graphique- ment ce résultat.
    On admet que limx+f(x)=+\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty}.
  2. Montrer que pour tout x>2x > -2, f(x)=2x2+6x+5x+2\:f'(x)=\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}.
  3. Étudier les variations de la fonction ff sur ]2 ; +[] - 2 ~;~ +\infty[ puis dresser son tableau de variations complet.
  4. Montrer que l’équation f(x)=0f (x) = 0 admet une unique solution α\alpha sur ]2 ; +[] - 2 ~;~ +\infty[ et donner une valeur arrondie de α\alpha à 10210^{-2} près.
  5. En déduire le signe de f(x)f (x) sur ]2 ; +[] - 2 ~;~ +\infty[.
  6. Montrer que Cf\mathcal{C}_f admet un unique point d’inflexion et déterminer son abscisse.
Partie C : une distance minimale. Soit gg la fonction définie sur ]2 ; +[] - 2 ~;~ +\infty[ par g(x)=ln(x+2)g (x) = \ln(x + 2).
On note Cg\mathcal{C}_g sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; I , J)(O~ ;~ I~ , ~J), représentée ci-après.
Soit MM un point de Cg\mathcal{C}_g d’abscisse xx.
Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de xx la distance JMJM est minimale.
On considère la fonction hh définie sur ]2 ; +[] - 2 ~;~ +\infty[ par h(x)=JM2h(x) = JM^2.
00.20.40.60.81−0.20.20.40.60.811.2
M
I
J
Cg\mathcal{C}_g
xx
  1. Justifier que pour tout x>2x > -2, on a : h(x)=x2+[ln(x+2)1]2h(x) = x^2 + [\ln(x + 2) - 1]^2.
  2. On admet que la fonction hh est dérivable sur ]2 ; +[] - 2 ~;~ +\infty[ et on note hh' sa fonction dérivée.
    On admet également que pour tout réel x>2x > -2, h(x)=2f(x)x+2h'(x)=\dfrac{2f(x)}{x+2}ff est la fonction étudiée en partie B.
    1. Dresser le tableau de variations de hh sur ]2 ; +[] - 2 ~;~ +\infty[.
      Les limites ne sont pas demandées.
    2. En déduire que la valeur de xx pour laquelle la distance JMJM est minimale est α\alphaα\alpha est le nombre réel défini à la question 4. de la partie B.
  3. On notera MαM_{\alpha} le point de Cg\mathcal{C}_g d’abscisse α\alpha.
    1. Montrer que ln(α+2)=12αα2\ln(\alpha+2)=1-2\alpha-\alpha^2.
    2. En déduire que la tangente à Cg\mathcal{C}_g au point MαM_{\alpha} et la droite (JMα)(JM_{\alpha}) sont perpendiculaires.
      On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à 1-1.
Exercice 44 points Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points suivants :
A(2 ; 0 ; 0)A(2~ ;~ 0 ~; ~0), B(0 ; 4 ; 3)B(0~ ;~ 4~ ;~ 3), C(4 ; 4 ; 1)C(4~ ;~ 4 ~;~ 1), D(0 ; 0 ; 4)D(0 ~;~ 0~ ;~ 4) et H(1 ; 1 ; 2)H(-1 ~;~ 1~ ;~ 2).
Affirmation 1 : les points AA, CC et DD définissent un plan P\mathcal{P} d’équation 8x5y+4z16=08x -5y +4z -16 = 0.

Affirmation 2 : les points AA, BB, CC et DD sont coplanaires.

Affirmation 3 : les droites (AC)(AC) et (BH)(BH) sont sécantes.

On admet que le plan (ABC)(ABC) a pour équation cartésienne xy+2z2=0x - y + 2z - 2 = 0.

Affirmation 4 : le point HH est le projeté orthogonal du point DD sur le plan (ABC)(ABC).