Baccalauréat Polynésie 20 juin 2024 Exercice 14 points Un sondage réalisé en France fournit les informations suivantes : On choisit au hasard une personne de plus de 15 ans. On considère les évènements suivants : On note J‾\overline{J} et S‾\overline{S} leurs évènements contraires.

Dans les questions 11. et 22., les probabilités seront données sous la forme d'une fraction irréductible.
  1. Démontrer que la probabilité que la personne choisie ait l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est de 815\dfrac{8}{15}.
    On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.

    2. Selon ce sondage, deux personnes sur trois parmi les plus de 15 ans déclarent pratiquer une activité sportive régulière.
    1. Calculer la probabilité que la personne choisie n'ait pas l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière.
    2. En déduire la probabilité de SS sachant J‾\overline{J} notée PJ‾(S)P_{\overline{J}}(S).


    3. Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis au millième.
  3. Dans le cadre d'une opération de promotion, 3030 personnes de plus de 1515~ans sont choisies au hasard.
    On assimile ce choix à un tirage avec remise.
    On note XX la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi les 3030 personnes.
    1. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par XX.
    2. Calculer la probabilité qu'exactement 1616 personnes déclarent pratiquer une activité sportive régulière parmi les 3030 personnes.
    3. La fédération française de judo souhaite offrir une place pour la finale de l'épreuve par équipe mixte de judo à l'Arena Champ-de-Mars pour chaque personne déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi ces 3030 personnes.
      Le prix d'une place s'élève à 380380 € et on dispose d'un budget de 100001\,0000 euros pour cette opération.
      Quelle est la probabilité que ce budget soit insuffisant ?
Exercice 25 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend cinq questions. Les cinq questions sont indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte.
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte, ni n'enlève aucun point.
  1. La solution ff de l'équation différentielle y′=−3y+7y'=-3y+7 telle que f(0)=1f(0)=1 est la fonction définie sur R\mathbb{R} par :

    A. f(x)=e−3xf(x) = \text{e}^{-3x}

    B. f(x)=−43e−3x+73f(x) = - \dfrac43 \text{e}^{-3x} + \dfrac73

    C. f(x)=e−3x+73f(x) = \text{e}^{-3x} + \dfrac73

    D. f(x)=−103e−3x−73f(x) = - \dfrac{10}{3} \text{e}^{-3x} - \dfrac73
  2. La courbe d'une fonction ff définie sur [0 ; +∞[[0~;~+\infty[ est donnée ci-dessous.
    01234560.511.522.533.54
    Un encadrement de l'intégrale I=∫15f(x)dxI = \displaystyle\int_1^5 f(x) \:\text{d}x est :

    A. 0⩽I⩽40 \leqslant I \leqslant 4

    B. 1⩽I⩽51 \leqslant I \leqslant 5

    C. 5⩽I⩽105 \leqslant I \leqslant 10

    D. 10⩽I⩽1510 \leqslant I \leqslant 15
  3. On considère la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=x2ln⁡(x2+4)g(x) = x^2 \ln \left(x^2 + 4\right) .
    Alors ∫02g′(x)dx\displaystyle\int_0^2 g'(x)\:\text{d}x vaut, à 10−110^{-1} près :

    A. 4,9

    B. 8,38,3

    C. 1,71,7

    D. 7,57,5
  4. Une professeure enseigne la spécialité mathématiques dans une classe de 3131 élèves de terminale.
    Elle veut former un groupe de 5 élèves. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe de 5 élèves ?

    A. 31531^5

    B. 31×30×29×28×2731\times30\times29\times28\times27

    C. 31+30+29+28+2731+30+29+28+27

    D. (315)\dbinom{31}{5}
  5. La professeure s'intéresse maintenant à l'autre spécialité des 31 élèves de son groupe : Elle veut former un groupe de 5 élèves comportant exactement 3 élèves ayant choisi la spécialité SES. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe ?

    A. (203)×(112)\displaystyle\binom{20}{3} \times \binom{11}{2}

    B. (203)+(112)\displaystyle\binom{20}{3} + \binom{11}{2}

    C. (203)\displaystyle\binom{20}{3}

    D. 203×11220^3 \times 11^2
Exercice 36 points On considère la suite (un)\left(u_n\right) définie par : u0=8u_0 = 8 et pour tout entier naturel nn,  un+1=un−ln⁡(un4)~u_{n+1} = u_n -\ln\left(\dfrac{u_n}{4}\right).
    1. Donner les valeurs arrondies au centième de u1u_1 et u2u_2.
    2. On considère la fonction mystere définie ci-dessous en Pytho}. On admet que, pour tout réel strictement positif a, log(a) renvoie la valeur du logarithme népérien de a.
      Exécuter
      

	
L'exécution de mystere(10) renvoie 58.44045206721732. Que représente ce résultat ?
		
    3. Modifier la fonction précédente afin qu'elle renvoie la moyenne des kk premiers termes de la suite (un)\left(u_n\right).
	
    

  2. On considère la fonction ff définie et dérivable sur ]0 ; +∞[]0~;~+\infty[ par :

f(x)=x−ln⁡(x4).  f(x) = x - \ln\left(\dfrac{x}{4}\right). 

On donne ci-dessous une représentation graphique Cf\mathcal{C}_f de la fonction ff pour les valeurs de xx comprises entre 0 et 6.





    012345612345
    Cf\mathcal{C}_f
    



	
Étudier les variations de ff sur ]0 ; +∞[]0~;~+\infty[ et dresser son tableau de variations.


    

On précisera la valeur exacte du minimum de ff sur ]0 ; +∞[]0~;~+\infty[. Les limites ne sont pas demandées.

    3. 


    


Dans la suite de l'exercice, on remarquera que pour tout entier naturel nn, un+1=f(un)\: u_{n+1} = f\left(u_n\right).



    3. 

		
    1. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel nn, on a : 

		1⩽un+1⩽un.  1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n.  
		
    2. En déduire que la suite (un)\left(u_n\right) converge vers une limite réelle.

On note ℓ\ell la valeur de cette limite 
		
    3. Résoudre l'équation f(x)=xf(x) = x.
		
    4. En déduire la valeur de ℓ\ell.
	
    





Exercice 45 points



Une commune décide de remplacer le traditionnel feu d'artifice du 14 juillet par un
spectacle de drones lumineux.





Pour le pilotage des drones, l'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗,k⃗)(O\,; \vec{i}\,,\vec{j}\,,\vec{k}) dont l'unité est la centaine de mètres.





La position de chaque drone est modélisée par un point et chaque drone est envoyé d'un point de départ D de coordonnées (2 ; 5 ; 1)(2~;~5~;~1).

(O;i⃗,j⃗,k⃗)(O\,; \vec{i}\,,\vec{j}\,,\vec{k})

On souhaite former avec des drones des figures en les positionnant dans un même plan P\mathcal{P}.





Trois drones sont positionnés aux points A(−1 ; −1 ; 17)(-1~;~-1~;~17), B(4 ; −2 ; 4)(4~;~-2~;~4) et C(1 ; −3 ; 7)(1~;~-3~;~7).


    
	
  1. Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.

    2. 

Dans la suite, on note P\mathcal{P} le plan (ABC) et on considère le vecteur n⃗(2−31)\vec{n} \begin{pmatrix}2 \\-3 \\ 1\end{pmatrix}.



    2. 

		
    1. Justifier que n⃗\vec{n} est normal au plan (ABC).
		
    2. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan P\mathcal{P} est 2x−3y+z−18=02x - 3y + z - 18 = 0.
	
    
	
  3. Le pilote des drones décide d'envoyer un quatrième drone en prenant comme trajectoire la droite dd dont une représentation paramétrique est donnée par 

d : {x=3t+2y=3t+5z=4t+1, avec t∈R. d~:~\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&3t+2 \\
y&=&\phantom{3}t+5 \\
z&=&4t+1\end{array}\right.\text{, avec } t \in \mathbb{R}. 
	
      

		
    1. Déterminer un vecteur directeur de la droite dd.
		
    2. Afin que ce nouveau drone soit également placé dans le plan P\mathcal{P}, déterminer par le calcul les coordonnées du point E, intersection de la droite dd avec le plan P\mathcal{P}.
	
    
	
  4. Le pilote des drones décide d'envoyer un cinquième drone le long de la droite Δ\Delta qui passe par le point DD et qui est perpendiculaire au plan P\mathcal{P}. Ce cinquième drone est placé lui aussi dans le plan P\mathcal{P}, soit à l'intersection entre la droite Δ\Delta et le plan P\mathcal{P}. On admet que le point F(6 ; −1 ; 3)(6~;~-1~;~3) correspond à cet emplacement.
	
    

Démontrer que la distance entre le point de départ D et le plan P\mathcal{P} vaut 2142\sqrt{14} centaines de mètres.
	
  5. L'organisatrice du spectacle demande au pilote d'envoyer un nouveau drone dans le plan (peu importe sa position dans le plan), toujours à partir du point D.
	
    

Sachant qu'il reste 4040 secondes avant le début du spectacle et que le drone vole en trajectoire rectiligne à 18,6 m.s−1\text{m.s}^{-1}, le nouveau drone peut-il arriver à temps ?