Baccalauréat 2024
Fonctions Baccalauréat Amérique du Nord 21 mai 2024 5 points Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : $$ f(x) = x\ln \left(x^2\right) -\dfrac 1x. $$ Partie A : lectures graphiques On a tracé ci-dessous la courbe représentative $(\mathcal{C}_f)$ de la fonction $f$, ainsi que la droite $(T)$, tangente à la courbe $(\mathcal{C}_f)$ au point A de coordonnées $(1~;~-1)$.
Cette tangente passe également par le point $B(0~;~-4)$.

1. Lire graphiquement $f'(1)$ et donner l'équation réduite de la tangente $(T)$.
2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.
   Que semble représenter le point A pour la courbe $(\mathcal{C}_f)$ ?

Partie B : étude analytique

1. Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$, puis sa limite en $0$.
2. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
   1. Déterminer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
   2. Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$,
   $$ f''(x) = \dfrac{2(x + 1)(x - 1)}{x^3}. $$
3. 1. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
   2. Étudier les variations de la fonction $f'$, puis le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
      En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
4. 1. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
   2. Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$ et montrer que $\alpha$ vérifie : $$ \alpha^2 = \text{exp} \left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right). $$

Baccalauréat Amérique du Nord 21 mai 2024 6 points Pour tout entier naturel $n$, on considère les intégrales suivantes : $$ I_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\sin (x)\:\text{d}x, \quad J_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{-nx}\cos (x)\:\text{d}x. $$

1. Calculer $I_0$.
2. 1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $I_n \geqslant 0$.
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a $I_{n+1} - I_n \leqslant 0$.
   3. Déduire des deux questions précédentes que la suite $\left(I_n\right)$ converge.
3. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a : $$ I_n \leqslant \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\:\text{d}x. $$
   1. Montrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : $$\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\text{d}x = \dfrac{1 - \text{e}^{-n \pi}}{n}. $$
   2. Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $\left(I_n\right)$.
4. 1. En intégrant par parties l'intégrale $I_n$ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :
   $I_n = 1 + \text{e}^{-n\pi} - nJ_n\quad$ et $\quad I_n = \dfrac 1n J_n$
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a $$ I_n = \dfrac{1 + \text{e}^{-n \pi}}{n^2 + 1} $$
5. On souhaite obtenir le rang $n$ à partir duquel la suite $\left(I_n\right)$ devient inférieure à 0,1.
   Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée. from math import* def seuil(): n = 0 I = 2 n = n+1 I = (1+exp(-n*pi))/(n*n+1) return n

Baccalauréat Amérique du Nord - 22 mai 2024 6 points On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par $$ g(x) = 2x - x^{2}. $$

1. Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~1]$ et préciser les valeurs de $g(0)$ et de $g(1)$.
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l c l}u_{0}&=&\dfrac{1}{2}\ u_{n+1}&=&g\left(u_{n}\right)\end{array}\right.$ pour tout entier naturel $n$.
2. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0 < u_{n} < u_{n+1}< 1$.
4. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
5. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_{n}\right)$.
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\ln \left(1 - u_{n}\right)$.
6. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 2 et préciser son premier terme.
7. En déduire une expression de $v_{n}$ en fonction de $n$.
8. En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ et retrouver la limite déterminée à la question 5.
9. Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang $n$ à partir duquel la suite dépasse 0,95.

def seuil(): n = 0 u = 0.5 while u < 0.95: n = u = return n

Baccalauréat Amérique du Nord - 22 mai 2024 4 points Soit $a$ un réel strictement positif. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $$ f(x) = a \ln (x). $$ On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Soit $x_{0}$ un réel strictement supérieur à 1.

1. Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses.
2. Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x) =a [x \ln (x) - x]$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
3. En déduire l'aire du domaine bleuté en fonction de $a$ et de $x_{0}$.
On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M$ d'abscisse $x_{0}$. On appelle $A$ le point d'intersection de la tangente $T$ avec l'axe des ordonnées et $B$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées.
4. Démontrer que la longueur AB est égale à une constante (c'est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $x_{0}$) que l'on déterminera.
   Le candidat prendra soin d'expliciter sa démarche.

Baccalauréat Centres étrangers - 5 juin 2024 5 points Partie A On définit la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$ par : $$ f(x) = \dfrac{0,96x}{0,93x + 0,03}. $$

1. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~1]$, $$ f'(x) = \dfrac{0,028\,8}{(0,93x + 0,03)^2}. $$
2. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$.

Partie B La lutte contre le dopage passe notamment par la réalisation de contrôles antidopage qui visent à déterminer si un sportif a fait usage de substances interdites.
Lors d'une compétition rassemblant $1\,000$ sportifs, une équipe médicale teste tous les concurrents. On propose d'étudier la fiabilité de ce test.
On appelle $x$ le réel compris entre 0 et 1 qui désigne la proportion de sportifs dopés.
Lors de l'élaboration de ce test, on a pu déterminer que :

• la probabilité qu'un sportif soit déclaré positif sachant qu'il est dopé est égale à 0,96 ;
• la probabilité qu'un sportif soit déclaré positif sachant qu'il n'est pas dopé est égale à 0,03.

On note :

• $D$ l'évènement : « le sportif est dopé ».
• $T$ l'évènement : « le test est positif ».

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous :
2. Déterminer, en fonction de $x$, la probabilité qu'un sportif soit dopé et ait un test positif.
3. Démontrer que la probabilité de l'évènement $T$ est égale à $0,93x + 0,03$.
4. Pour cette question uniquement, on suppose qu'il y a $50$ sportifs dopés parmi les $1\,000$ testés. La fonction $f$ désigne la fonction définie à la partie A. Démontrer que la probabilité qu'un sportif soit dopé sachant que son test est positif est égale à $f(0,05)$. En donner une valeur arrondie au centième.
5. On appelle valeur prédictive positive d'un test la probabilité que le sportif soit réellement dopé lorsque le résultat du test est positif.
   1. Déterminer à partir de quelle valeur de $x$ la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à $0,9$. Arrondir le résultat au centième.
   2. Un responsable de la compétition décide de ne plus tester l'ensemble des sportifs, mais de cibler les sportifs les plus performants supposés être plus fréquemment dopés. Quelle est la conséquence de cette décision sur la valeur prédictive positive du test ?
      Argumenter en utilisant un résultat de la partie A.

Baccalauréat Centres étrangers - 5 juin 2024 5 points On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par $$ f(x) = 2x\text{e}^{-x}. $$ On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~1]$.

1. 1. Résoudre sur l'intervalle $[0~;~1]$ l'équation $f(x) = x$.
   2. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~1]$, $$ f'(x) = 2(1 - x)\text{e}^{-x}. $$
   3. Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~1]. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,1$ et pour tout entier naturel $n$, $$ u_{n+1} = f\left(u_n\right). $$
2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel, $$ 0 \leqslant u_n < u_{n+1} \leqslant 1. $$
   2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
3. Démontrer que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est $\ln (2)$.
4. 1. Justifier que pour tout entier naturel $n,\: \ln (2) - u_n$ est positif.
   2. On souhaite écrire un script Python qui renvoie une valeur approchée de $\ln(2)$ par défaut à $10^{-4}$ près, ainsi que le nombre d'étapes pour y parvenir.
      Recopier et compléter le script ci-dessous afin qu'il réponde au problème posé. def seuil(): n = 0 u = 0.1 while ln(2)-u ... 0.0001: n = n+1 u = ... return (u, n)
   3. Donner la valeur de la variable $n$ renvoyée par la fonction seuil ().

Baccalauréat Centres étrangers - 5 juin 2024 5 points On considère l'équation différentielle $$ \left(E_0\right) :\quad y' = y $$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

1. Démontrer que l'unique fonction constante solution de l'équation différentielle $\left(E_0\right)$ est la fonction nulle.
2. Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle $\left(E_0\right)$.
   On considère l'équation différentielle $$ (E) :\quad y' = y - \cos (x) - 3\sin (x) $$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.
3. La fonction $h$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = 2 \cos (x) + \sin (x)$.
   On admet qu'elle est dérivable sur $\mathbb{R}$. Démontrer que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
4. On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. Démontrer que : « $f$ est solution de $(E)$ » est équivalent à « $f - h$ est solution de $\left(E_0\right)$ ».
5. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
6. Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $g(0) = 0$.
7. Calculer: $$ \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[-2\text{e}^x + \sin (x) + 2\cos (x)\right]\:\text{d}x. $$

Centres étrangers - 6 juin 2024 6 points On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-\infty~;~1[$ par $$ f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x - 1}. $$ On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]-\infty~;~1[$ . On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

1. 1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en 1.
   2. En déduire une interprétation graphique.
2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
3. 1. Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-\infty~;~1[$ , on a $$ f'(x) = \dfrac{(x - 2)\text{e}^x}{(x - 1)^2}. $$
   2. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-\infty~;~1[$.
4. On admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-\infty~;~1[$, on a $$ f''(x) = \dfrac{\left(x^2 -4x + 5\right)\text{e}^x}{(x - 1)^3}. $$
   1. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-\infty~;~1[$.
   2. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
   3. En déduire que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-\infty~;~1[$, on a : $$ \text{e}^x \geqslant (-2x - 1)(x-1). $$
5. 1. Justifier que l'équation $f(x) = -2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]-\infty~;~1[$.
   2. À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.

Centres étrangers - 6 juin 2024 4 points Partie A On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $$ f(x) = \sqrt{x + 1}. $$ On admet que cette fonction est dérivable sur ce même intervalle.

1. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
2. Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$ : $$ f(x) - x = \dfrac{-x^2 + x + 1}{\sqrt{x + 1} + x}. $$
3. En déduire que sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'équation $f(x) = x$ admet pour unique solution : $$ \ell = \dfrac{1 +\sqrt 5}{2}. $$

Partie B On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 5$ et pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A. On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie pour tout entier naturel $n$.

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $$ 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n. $$
2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell = \dfrac{1 +\sqrt 5}{2}$.
4. On considère le script Python ci-dessous : from math import* def seuil(n): u = 5 i = 0 l = (1+sqrt(5))/2 while abs(u_l) <= 10**(-n): u = sqrt(u+1) i = i+1 return i On rappelle que la commande abs(x) renvoie la valeur absolue de $x$.
   1. Donner la valeur renvoyée par seuil(2).
   2. La valeur renvoyée par seuil(4) est 9.
      Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

Baccalauréat Asie 10 juin 2024 5 points Partie A On considère une fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$, représentée par la courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous. La droite $T$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $\dfrac52$.

1. Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~5]$.
2. Que semble présenter la courbe $\mathcal{C}$ au point A ?
3. La dérivée $f'$ et la dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$ sont représentées par les courbes ci-dessous.
   Associer à chacune de ces deux fonctions la courbe qui la représente.
   Ce choix sera justifié.
   Courbe $\mathcal{C}_1$
   Courbe $\mathcal{C}_2$
4. La courbe $\mathcal{C}_3$ ci-contre peut-elle être la représentation graphique sur $[0~;~+\infty[$ d'une primitive de la fonction $f$ ? Justifier.

Partie B Dans cette partie, on considère que la fonction $f$, définie et deux fois dérivable sur $[0~; ~+\infty[$, est définie par $$ f(x) = (4x - 2)\text{e}^{-x+1}. $$ On notera respectivement $f'$ et $f''$ la dérivée et la dérivée seconde de la fonction $f$.

1. Étude de la fonction $f$
   1. Montrer que $f'(x) = (-4x + 6)\text{e}^{-x+1}$.
   2. Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur $[0~; ~+\infty[$. On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0$.
   3. Étudier la convexité de la fonction $f$ et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de $f$.
2. On considère une fonction $F$ définie sur $[0~; ~+\infty[$ par $F(x) = (ax + b)\text{e}^{-x+1}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
   1. Déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$ telles que la fonction $F$ soit une primitive de la fonction $f$ sur $[0~; ~+\infty[$.
   2. On admet que $F(x) = (-4x - 2)\text{e}^{-x+1}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0~; ~+\infty[$. En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, de l'intégrale $$ I = \displaystyle\int_{\frac32}^8 f(x)\:\text{d}x. $$
3. Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle.
   Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[\frac32~;~ 8\right]$.
   L'unité de longueur est le mètre.
   1. Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ D.
   2. La municipalité a organisé un concours de graffiti pour orner le mur de profil de la piste. L'artiste retenue prévoit de couvrir environ 75 % de la surface du mur.
      Sachant qu'une bombe aérosol de 150 mL permet de couvrir une surface de 0,8 m$^2$, déterminer le nombre de bombes qu'elle devra utiliser pour réaliser cette œuvre.

Baccalauréat Asie 11 juin 2024 5,5 points On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ~;~+ \infty[$ par $$ f(x) = x^2 - x \ln (x). $$ On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $]0 ~;~+ \infty[$. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la fonction dérivée de la fonction $f'$. Partie A : Étude de la fonction $f$

1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.
2. Pour tout réel $x$ strictement positif, calculer $f'(x)$.
3. Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif: $$ f''(x) = \dfrac{2x - 1}{x}. $$
4. Étudier les variations de la fonction $f'$ sur $]0 ~;~+ \infty[$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $f'$ sur $]0 ~;~+ \infty[$. On veillera à faire apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction $f'$ sur $]0 ~;~+ \infty[$. Les limites de la fonction $f'$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.
5. Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0 ~;~+ \infty[$.

Partie B : Étude d'une fonction auxiliaire pour la résolution de l'équation $f(x) = x $ On considère dans cette partie la fonction $g$ définie sur $]0 ~;~+ \infty[$ par $$ g(x) = x - \ln (x). $$ On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0 ~;~+ \infty[$, on note $g'$ sa dérivée.

1. Pour tout réel strictement positif, calculer $g'(x)$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $g$. Les limites de la fonction $g$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.
2. On admet que 1 est l'unique solution de l'équation $g(x) = 1$. Résoudre, sur l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$, l'équation $f(x) = x$.

Partie C : Étude d'une suite récurrente On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = \dfrac12$ et pour tout entier naturel $n$, $$ u_{n+1} = f\left(u_n\right) = u_n^2 - u_n \ln \left(u_n\right). $$

1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$: $$ \dfrac12 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1. $$
2. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ converge. On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et on admet que $\ell$ vérifie l'égalité $f(\ell) = \ell$.
3. Déterminer la valeur de $\ell$.

Baccalauréat Métropole 19 juin 2024 6 points Partie A : étude de la fonction $f$ La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0 ~;~+\infty[$ par : $$ f(x)=x-2+\dfrac{1}{2} \ln x, $$ où ln désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $] 0 ~;~ +\infty[$, on note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

1. 1. Déterminer, en justifiant, les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$.
   2. Montrer que pour tout $x$ appartenant à $] 0 ~;~+\infty[$, on a : $f'(x)=\dfrac{2x + 1}{2x}$.
   3. Étudier le sens de variation de $f$ sur $] 0 ~;~+\infty[$.
   4. Étudier la convexité de $f$ sur $] 0~;~ +\infty[$.
2. 1. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet dans $] 0 ~;~ +\infty[$ une solution unique qu'on notera $\alpha$ et justifier que $\alpha$ appartient à l'intervalle $[1~;~2]$.
   2. Déterminer le signe de $f(x)$ pour $x \in] 0 ~;~ +\infty[$.
   3. Montrer que $\ln (\alpha)=2(2-\alpha)$.

Partie B : étude de la fonction $g$ La fonction $g$ est définie sur $] 0~;~1]$ par : $$ g(x) = -\dfrac{7}{8} x^{2}+ x - \dfrac{1}{4} x^{2} \ln x. $$ On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $] 0~;~1]$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

1. Calculer $g'(x)$ pour $x \in ] 0~;~1]$ puis vérifier que $g'(x)=x f\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
2. 1. Justifier que pour $x$ appartenant à l'intervalle $\left] 0~;~\dfrac{1}{\alpha}\right[$, on a $f\left(\dfrac{1}{x}\right)>0$.
   2. On admet le tableau de signes suivant :
      
      $x$ $0$ $\dfrac{1}{\alpha}$ $1$ signe de $f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ interdit $+$ 0 $-$
      En déduire le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $] 0~;~1]$. Les images et les limites ne sont pas demandées.

Partie C : un calcul d'aire. On a représenté sur le graphique ci-dessous :

• La courbe $\mathcal{C}_{g}$ de la fonction $g$;
• La parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=-\dfrac{7}{8} x^{2}+x$ sur l'intervalle $]0~;~1]$.

On souhaite calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine colorié compris entre les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{P}$, et les droites d'équations $x=\dfrac{1}{\alpha}$ et $x=1$. On rappelle que $\ln (\alpha)=2(2-\alpha)$.

1. 1. Justifier la position relative des courbes $C_{g}$ et $\mathcal{P}$ sur l'intervalle $\left.] 0~;~1\right]$.
   2. Démontrer l'égalité : $$ \int_{\frac{1}{\alpha}}^{1} x^{2} \ln x \:\mathrm{d}x=\dfrac{-\alpha^{3}-6 \alpha+13}{9 \alpha^{3}} $$
2. En déduire l'expression en fonction de $\alpha$ de l'aire $\mathcal{A}$.

Baccalauréat Polynésie 19 juin 2024 5 points Une entreprise fabrique des objets en plastique en injectant dans un moule de la matière fondue à $210$ ^°C. On cherche à modéliser le refroidissement du matériau à l'aide d'une fonction $f$ donnant la température du matériau injecté en fonction du temps $t$.
Le temps est exprimé en seconde et la température est exprimée en degré Celsius.
On admet que la fonction $f$ cherchée est solution d'une équation différentielle de la forme suivante où $m$ est une constante réelle que l'on cherche à déterminer: $$ (E) : \quad y' +0,02y = m $$ Partie A

1. Justifier l'affichage suivant d'un logiciel de calcul formel:

   Entrée :	RésoudreEquationDifférentielle $(y' + 0,02y = m)$
   Sortie :	$\to$ : $y = k *\text{exp}(-0.02 * t) + 50 * m$

2. La température de l'atelier est de 30 ^°C. On admet que la température $f(t)$ tend vers 30^°C lorsque $t$ tend vers l'infini.
   Démontrer que $m = 0,6$.
3. Déterminer l'expression de la fonction $f$ cherchée en tenant compte de la condition initiale $f(0) = 210.$

Partie B On admet ici que la température (exprimée en degré Celsius) du matériau injecté en fonction du temps (exprimé en seconde) est donnée par la fonction dont l'expression et une représentation graphique sont données ci-dessous: $$ f(t) =180 \text{e}^{-0,02t} + 30. $$

1. L'objet peut être démoulé lorsque sa température devient inférieure à 50 °C.
   1. Par lecture graphique, donner une valeur approchée du nombre $T$ de secondes à attendre avant de démouler l'objet.
   2. Déterminer par le calcul la valeur exacte de ce temps $T$.
2. À l'aide d'une intégrale, calculer la valeur moyenne de la température sur les $100$ premières secondes.

Baccalauréat Métropole 20 juin 2024 5 points Les parties A et B sont indépendantes

Alain possède une piscine qui contient $50$ m$^{3}$ d’eau. On rappelle que $1$ m$^{3}$ $=$ $1\, 000$ L.
Pour désinfecter l’eau, il doit ajouter du chlore.
Le taux de chlore dans l’eau, exprimé en mg$\cdot$L$^{-1}$, est défini comme la masse de chlore par unité de volume d’eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre $1$ et $3$ mg$\cdot$L$^{-1}$.
Sous l’action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu.
Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à $0, 01$ mg$\cdot$L$^{-1}$. Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de 0, $70$ mg$\cdot$L$^{-1}$. Partie A : étude d’un modèle discret. Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d’ajouter chaque jour une quantité de $15$ g de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément dans l’eau de la piscine.

1. Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0, 3$ mg$\cdot$L$^{-1}$.
2. Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le taux de chlore, en mg$\cdot$L$^{-1}$, obtenu avec ce nouveau protocole n jours après le mercredi 19 juin. Ainsi $v_0 = 0, 7$. On admet que pour tout entier naturel $n$, $$v_{n+1} = 0, 92v_n + 0, 3.$$
   1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $v_n \leq v_{n+1} \leq 4$.
   2. Montrer que la suite $(v_n)$ est convergente et calculer sa limite.
3. À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse.
4. Reproduire et compléter l’algorithme ci-après écrit en langage Python pour que la fonction alerte_chlore renvoie, lorsqu’il existe, le plus petit entier $n$ tel que $v_n > s$. def alerte_chlore(s): n = 0 u = 0.7 while ... 0: n = ... u = ... return n
5. Quelle valeur obtient-on en saisissant l’instruction alerte_chlore(3) ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Partie B : étude d’un modèle continu. Alain décide de faire appel à un bureau d’études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine.
Dans ce modèle, pour une durée $x$ (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), $f (x)$ représente le taux de chlore, en mg$\cdot$L$^{-1}$, dans la piscine.
On admet que la fonction $f$ est solution de l’équation différentielle (E ) : $$y' = -0, 08y + \dfrac{q}{50} ,$$ où $q$ est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.

1. Justifier que la fonction $f$ est de la forme $f (x) = C \text{e}^{-0,08x} + \dfrac{q}{ 4}$ où $C$ est une constante réelle.
2. 1. Exprimer en fonction de $q$ la limite de $f$ en $+\infty$.
   2. On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à $0, 7$ mg$\cdot$L$^{-1}$.
      On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de $2$.
      
      Déterminer les valeurs de $C$ et $q$ afin que ces deux conditions soient respectées.

Baccalauréat Métropole 20 juin 2024 6 points On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $] - 2\, ; +\infty[$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, $f '$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ et sa tangente $T$ au point $B$ d’abscisse $-1$.
On précise que la droite $T$ passe par le point $A(0\,;\, -1)$.

Partie A : exploitation du graphique. À l’aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.

1. Préciser $f (-1)$ et $f'(-1)$.
2. La fonction $f$ est-elle convexe sur son ensemble de définition ? Justifier.
3. Conjecturer le nombre de solutions de l’équation $f (x) = 0$ et donner une valeur arrondie à $10^{-1}$ près d’une solution.

Partie B : étude de la fonction $f$ On considère que la fonction $f$ est définie sur $] -2~ ;~ +\infty[$ par : $$f(x)=x^2+2x-1+\ln(x+2),$$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

1. Déterminer par le calcul la limite de la fonction $f$ en $-2$. Interpréter graphique- ment ce résultat.
   On admet que $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty}$.
2. Montrer que pour tout $x > -2$, $\:f'(x)=\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}$.
3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $] - 2 ~;~ +\infty[$ puis dresser son tableau de variations complet.
4. Montrer que l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $] - 2 ~;~ +\infty[$ et donner une valeur arrondie de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
5. En déduire le signe de $f (x)$ sur $] - 2 ~;~ +\infty[$.
6. Montrer que $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d’inflexion et déterminer son abscisse.

Partie C : une distance minimale. Soit $g$ la fonction définie sur $] - 2 ~;~ +\infty[$ par $g (x) = \ln(x + 2)$.
On note $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O~ ;~ I~ , ~J)$, représentée ci-après.
Soit $M$ un point de $\mathcal{C}_g$ d’abscisse $x$.
Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de $x$ la distance $JM$ est minimale.
On considère la fonction $h$ définie sur $] - 2 ~;~ +\infty[$ par $h(x) = JM^2$.

1. Justifier que pour tout $x > -2$, on a : $h(x) = x^2 + [\ln(x + 2) - 1]^2$.
2. On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $] - 2 ~;~ +\infty[$ et on note $h'$ sa fonction dérivée.
   On admet également que pour tout réel $x > -2$, $$h'(x)=\dfrac{2f(x)}{x+2}$$ où $f$ est la fonction étudiée en partie B.
   1. Dresser le tableau de variations de $h$ sur $] - 2 ~;~ +\infty[$.
      Les limites ne sont pas demandées.
   2. En déduire que la valeur de $x$ pour laquelle la distance $JM$ est minimale est $\alpha$ où $\alpha$ est le nombre réel défini à la question 4. de la partie B.
3. On notera $M_{\alpha}$ le point de $\mathcal{C}_g$ d’abscisse $\alpha$.
   1. Montrer que $\ln(\alpha+2)=1-2\alpha-\alpha^2$.
   2. En déduire que la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point $M_{\alpha}$ et la droite $(JM_{\alpha})$ sont perpendiculaires.
      On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $-1$.

Baccalauréat Polynésie 20 juin 2024 6 points On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 8$ et pour tout entier naturel $n$, $~u_{n+1} = u_n -\ln\left(\dfrac{u_n}{4}\right)$.

1. 1. Donner les valeurs arrondies au centième de $u_1$ et $u_2$.
   2. On considère la fonction mystere définie ci-dessous en Pytho}. On admet que, pour tout réel strictement positif a, log(a) renvoie la valeur du logarithme népérien de a. def mystere(k): u = 8 s = 0 for i in range(k): s = s+u u = u-log(u/4) return s L'exécution de mystere(10) renvoie 58.44045206721732. Que représente ce résultat ?
   3. Modifier la fonction précédente afin qu'elle renvoie la moyenne des $k$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
2. On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$ par : $$ f(x) = x - \ln\left(\dfrac{x}{4}\right). $$ On donne ci-dessous une représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ pour les valeurs de $x$ comprises entre 0 et 6.
   Étudier les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations.
   On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $]0~;~+\infty[$. Les limites ne sont pas demandées.

Dans la suite de l'exercice, on remarquera que pour tout entier naturel $n$, $\: u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
3. 1. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a : $$ 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n. $$
   2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite réelle. On note $\ell$ la valeur de cette limite
   3. Résoudre l'équation $f(x) = x$.
   4. En déduire la valeur de $\ell$.