Baccalauréat 2024
Géométrie dans l'espace Baccalauréat Amérique du Nord 21 mai 2024 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.

Les quatre questions sont indépendantes.

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O\,;\vec{i}\,,\vec{j}\,,\vec{k})$.

1. On considère les points $A(1~;~0~;~3)$ et $B(4~;~1~;~0)$.
   Une représentation paramétrique de la droite (AB) est :
   
   a. $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& \phantom{-}3 + t \\ y &=& \phantom{-}1 \\ z &=& - 3 +3t \end{array}\right.$ avec $t \in \mathbb{R}$
   
   b. $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1+4t \\ y &=&\phantom{1 + 4}t \\ z &=& 3\end{array}\right.$ avec $t \in \mathbb{R}$
   
   c. $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 + 3t \\ y &=&\phantom{1 + 3}t \\ z&=&3 - 3t \end{array}\right.$ avec $t \in \mathbb{R}$
   
   d. $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&4 + t \\ y&=&1 \\ z&=&3 - 3t \end{array}\right.$ avec $t \in \mathbb{R}$

On considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique

$\left\{\begin{array}{l c l} x&=&3 + 4t \\ y&=&\phantom{3 + }6t \\ z&=&4 - 2t \end{array}\right.$ avec $t \in \mathbb{R}$


2. Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $(d)$ ?
   a. $M(7~;~6~;~6)$
   b. $N(3~;~6~;~4)$
   c. $P(4~;~6~;~-2)$
   d. $R(-3~;~-9~;~7)$
3. On considère la droite $(d')$ de représentation paramétrique
   
   $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&- 2 + 3k \\ y&=&- 1 - 2k \\ z&=&\phantom{-}1 + k \end{array}\right.$ avec $k \in \mathbb{R}$
   
   Les droites $(d)$ et $(d')$ sont:
   a. sécantes
   b. non coplanaires
   c. parallèles
   d. confondues
4. On considère le plan $(P)$ passant par le point $I(2~;~1~;~0)$ et perpendiculaire à la droite $(d)$.
   Une équation du plan $(P)$ est :
   a. $2x + 3y - z - 7=0$
   b. $- x + y - 4z + 1 = 0$
   c. $4x + 6y - 2z + 9 = 0$
   d. $2x + y + 1 = 0$

Baccalauréat Amérique du Nord - 22 mai 2024 5 points On considère le pavé droit ABCDEFGH tel que AB $= 3$ et AD = AE $= 1$ représenté ci-dessous.

On considère le point I du segment [AB] tel que $\overrightarrow{\text{AB}}= 3 \overrightarrow{\text{AI}}$ et on appelle $M$ le milieu du segment [CD]. On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \overrightarrow{\text{AI}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

1. Sans justifier, donner les coordonnées des points F{}, H et M.
2. 1. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2 \\ 6 \\ 3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (HMF).
   2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (HMF) est : $$ 2x + 6y + 3z - 9 = 0. $$
   3. Le plan $\mathcal{P}$ dont une équation cartésienne est $5x + 15y - 3z + 7 = 0$ est-il parallèle au plan (HMF) ? Justifier la réponse.
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DG).
4. On appelle $N$ le point d'intersection de la droite (DG) avec le plan (HMF). Déterminer les coordonnées du point N.
5. Le point R de coordonnées $\left(3~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$ est-il le projeté orthogonal du point G sur le plan (HMF) ? Justifier la réponse.

Baccalauréat Centres étrangers - 5 juin 2024 5 points L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,; \vec{i}\,, \vec{j}\,, \vec{k})$. On considère :

• les points A$(-2~;~0~;~2)$, B$(-1~;~3~;~0)$, C$(1~;~-1~;~2)$ et D$(0~;~0~;~3)$.
• la droite $\mathcal{D}_1$ dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&t \\ y &=& 3t \\ z &=& 3 + 5t \end{array}\right.$ avec $t \in \mathbb{R}$.
• la droite $\mathcal{D}_2$ dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&1 + 3s \\ y &=& -1 - 5s \\ z &=& 2 - 6s \end{array}\right.$ avec $s \in~\mathbb{R}$.

1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. 1. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 5\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan (ABC).
   2. Justifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $$ x + 3y + 5z - 8 = 0. $$
   3. En déduire que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
3. 1. Justifier que la droite $\mathcal{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre ABCD issue de D. On admet que la droite $\mathcal{D}_2$ est la hauteur du tétraèdre ABCD issue de C.
   2. Démontrer que les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
4. 1. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H du point D sur le plan (ABC).
   2. Calculer la distance du point D au plan (ABC). Arrondir le résultat au centième.

Centres étrangers - 6 juin 2024 5 points Le cube ABCDEFGH a pour arête 1 cm. Le point I est le milieu du segment [AB] et le point J est le milieu du segment [CG].

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~~\overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

1. Donner les coordonnées des points I et J.
2. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{\text{EJ}}$ est normal au plan (FHI).
3. Montrer qu'une équation cartésienne du plan (FHI) est $- 2x - 2y + z + 1 = 0$.
4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EJ).
5. 1. On note K le projeté orthogonal du point E sur le plan (FHI). Calculer ses coordonnées.
   2. Montrer que le volume de la pyramide EFHI est $\frac16$ cm$^3$.
      On pourra utiliser le point L, milieu du segment [EF]. On admet que ce point est le projeté orthogonal du point I sur le plan} (EFH).
   3. Déduire des deux questions précédentes l'aire du triangle FHI.

Baccalauréat Asie 10 juin 2024 5 points Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec{i}\,,\vec{j}\,,\vec{k})$ d'unité 1 cm, on considère les points :
A$(3~;~-1~;~1)$ ; B$(4~;~-1~;~0)$ ; C$(0 ~;~3~;~2)$ ; D$(4~;~3~;~-2)$ et S$(2~;~1~;~4)$.

Dans cet exercice on souhaite montrer que SABDC est une pyramide à base ABDC trapézoïdale de sommet S, afin de calculer son volume.

1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. 1. Montrer que les points A, B, C et D sont coplanaires.
   2. Montrer que le quadrilatère ABDC est un trapèze de bases [AB] et [CD].
      On rappelle qu'un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles appelés bases.
3. 1. Démontrer que le vecteur $\vec{n}(2~;~1~;~2)$ est un vecteur normal au plan (ABC).
   2. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
   3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par le point S et orthogonale au plan (ABC).
   4. On note I le point d'intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC). Montrer que le point I a pour coordonnées $\left(\dfrac23~;~\dfrac13~;~\dfrac83~\right)$, puis montrer que $\mathrm{SI} = 2$ cm.
4. 1. Vérifier que le projeté orthogonal H du point B sur la droite (CD) a pour coordonnées H$(3~;~3~;~-1)$ et montrer que HB $= 3\sqrt 2$ cm.
   2. Calculer la valeur exacte de l'aire du trapèze ABDC. On rappelle que l'aire d'un trapèze est donnée par la formule $$ \mathcal{A} = \dfrac{b + B}{2} \times h $$ où $b$ et $B$ sont les longueurs des bases du trapèze et $h$ sa hauteur.
5. Déterminer le volume de la pyramide SABDC. On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule $V = \dfrac13 \times$ aire de la base $\times$ hauteur

Baccalauréat Asie 11 juin 2024 5 points Dans un repère orthonormé $(O\,; \vec{i}\,,\vec{j}\,,\vec{k})$ de l'espace, on considère le plan $(P)$ d'équation: $$ (P) :\quad 2x + 2y - 3z + 1 = 0. $$ On considère les trois points A, B et C de coordonnées: A$(1~;~0~;~1)$ , B$(2~;~- 1~;~1)$ et C$( - 4~;~- 6~;~5)$ . Le but de cet exercice est d'étudier le rapport des aires entre un triangle et son projeté orthogonal dans un plan. Partie A

1. Pour chacun des points A, B et C, vérifier s'il appartient au plan $(P)$.
2. Montrer que le point C$'(0~;~- 2~;~- 1)$ est le projeté orthogonal du point C sur le plan $(P)$.
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
4. On admet l'existence d'un unique point H vérifiant les deux conditions
   • H $\in$ (AB) ;
   • (AB) et (HC) sont orthogonales.
   
   Déterminer les coordonnées du point H.

Partie B On admet que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{HC}}$ sont : $\overrightarrow{\text{HC}}\begin{pmatrix}- \frac{11}{2} \\ -\frac{11}{2} \\ 4\end{pmatrix}$.

1. Calculer la valeur exacte de $\left\|\overrightarrow{\text{HC}}\right\|$.
2. Soit $S$ l'aire du triangle ABC. Déterminer la valeur exacte de $S$.

Partie C On admet que HC$'= \sqrt{\dfrac{17}{2}}$.

1. Soit $\alpha = \widehat{\text{CHC}'}$. Déterminer la valeur de $\cos(\alpha)$.
2. 1. Montrer que les droites (C$'$H) et (AB) sont perpendiculaires.
   2. Calculer $S'$ l'aire du triangle ABC$'$, on donnera la valeur exacte.
   3. Donner une relation entre $S,\: S'$ et $\cos (\alpha)$.

Baccalauréat Métropole 19 juin 2024 5 points L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,; \vec{i}\,,\vec{j}\,,\vec{k})$.
On considère les points A$(5~;~5~;~0)$, B$(0~;~5~;~0)$, C$(0~;~0~;~10)$ et D$\left(0~;~0 ~;~-\dfrac{5}{2}\right)$.

1. 1. Montrer que $\overrightarrow{n_{1}}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (CAD).
   2. En déduire que le plan (CAD) a pour équation cartésienne : \quad $x-y=0$.
2. On considère la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique
   $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{5 -}\frac{5}{2} t \\ y&=&5-\frac{5}{2} t \\ z&=&0 \end{array}\right.$ où $t \in \mathbb{R}$.
   1. On admet que la droite $\mathcal{D}$ et le plan (CAD) sont sécants en un point H. Justifier que les coordonnées de H sont $\left(\dfrac{5}{2}~;~\dfrac{5}{2}~;~0\right)$.
   2. Démontrer que le point H est le projeté orthogonal de B sur le plan (CAD).
3. 1. Démontrer que le triangle ABH est rectangle en H.
   2. En déduire que l'aire du triangle ABH est égale à $\dfrac{25}{4}$.
4. 1. Démontrer que (CO) est la hauteur du tétraèdre ABCH issue de C.
   2. En déduire le volume du tétraèdre ABCH.
      On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par : $V=\dfrac{1}{3} \mathcal{B }h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
5. On admet que le triangle ABC est rectangle en B. Déduire des questions précédentes la distance du point H au plan (ABC).

Baccalauréat Polynésie 19 juin 2024 4 points Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

Les quatre affirmations se placent dans la situation suivante:

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\,; \vec{i}\,,\vec{j}\,,\vec{k})$, on considère les points: A$(2~;~1~;~-1)$, B$(-1~;~2~;~1)$ et C$(5~;~0~;~-3)$. On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne: $$ x + 5y - 2z + 3 = 0. $$ On note $\mathcal{D}$ la droite de représentation paramétrique : $$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&-t +3 \\ y&=&t+ 2 \\ z &=& 2t +1 \end{array}\right., \: t \in \mathbb{R}.$$ Affirmation 1 :
Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$ est normal au plan (OAC).

Affirmation 2 :
Les droites $\mathcal{D}$ et (AB) sont sécantes au point C.

Affirmation 3 :
La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$.

Affirmation 4 : Le plan médiateur du segment [BC], noté $Q$, a pour équation cartésienne : $$ 3x - y - 2z - 7 = 0. $$ On rappelle que le plan médiateur d'un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

Baccalauréat Métropole 20 juin 2024 4 points Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points suivants :
$A(2~ ;~ 0 ~; ~0)$, $B(0~ ;~ 4~ ;~ 3)$, $C(4~ ;~ 4 ~;~ 1)$, $D(0 ~;~ 0~ ;~ 4)$ et $H(-1 ~;~ 1~ ;~ 2)$.
Affirmation 1 : les points $A$, $C$ et $D$ définissent un plan $\mathcal{P}$ d’équation $8x -5y +4z -16 = 0$.

Affirmation 2 : les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires.

Affirmation 3 : les droites $(AC)$ et $(BH)$ sont sécantes.

On admet que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $x - y + 2z - 2 = 0$.

Affirmation 4 : le point $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.

Baccalauréat Polynésie 20 juin 2024 5 points Une commune décide de remplacer le traditionnel feu d'artifice du 14 juillet par un spectacle de drones lumineux.
Pour le pilotage des drones, l'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,; \vec{i}\,,\vec{j}\,,\vec{k})$ dont l'unité est la centaine de mètres.
La position de chaque drone est modélisée par un point et chaque drone est envoyé d'un point de départ D de coordonnées $(2~;~5~;~1)$. $(O\,; \vec{i}\,,\vec{j}\,,\vec{k})$ On souhaite former avec des drones des figures en les positionnant dans un même plan $\mathcal{P}$.
Trois drones sont positionnés aux points A$(-1~;~-1~;~17)$, B$(4~;~-2~;~4)$ et C$(1~;~-3~;~7)$.

1. Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Dans la suite, on note $\mathcal{P}$ le plan (ABC) et on considère le vecteur $\vec{n} \begin{pmatrix}2 \\-3 \\ 1\end{pmatrix}$.
2. 1. Justifier que $\vec{n}$ est normal au plan (ABC).
   2. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $2x - 3y + z - 18 = 0$.
3. Le pilote des drones décide d'envoyer un quatrième drone en prenant comme trajectoire la droite $d$ dont une représentation paramétrique est donnée par $$ d~:~\left\{\begin{array}{l c l} x&=&3t+2 \\ y&=&\phantom{3}t+5 \\ z&=&4t+1\end{array}\right.\text{, avec } t \in \mathbb{R}. $$
   1. Déterminer un vecteur directeur de la droite $d$.
   2. Afin que ce nouveau drone soit également placé dans le plan $\mathcal{P}$, déterminer par le calcul les coordonnées du point E, intersection de la droite $d$ avec le plan $\mathcal{P}$.
4. Le pilote des drones décide d'envoyer un cinquième drone le long de la droite $\Delta$ qui passe par le point $D$ et qui est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$. Ce cinquième drone est placé lui aussi dans le plan $\mathcal{P}$, soit à l'intersection entre la droite $\Delta$ et le plan $\mathcal{P}$. On admet que le point F$(6~;~-1~;~3)$ correspond à cet emplacement.
   Démontrer que la distance entre le point de départ D et le plan $\mathcal{P}$ vaut $2\sqrt{14}$ centaines de mètres.
5. L'organisatrice du spectacle demande au pilote d'envoyer un nouveau drone dans le plan (peu importe sa position dans le plan), toujours à partir du point D.
   Sachant qu'il reste $40$ secondes avant le début du spectacle et que le drone vole en trajectoire rectiligne à 18,6 $\text{m.s}^{-1}$, le nouveau drone peut-il arriver à temps ?

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