Baccalauréat 2024
Probabilités
Baccalauréat Amérique du Nord 21 mai 2024 Exercice 15 points Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L'objet tiré peut être « commun » ou « rare ». Deux types d'objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers. Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que : Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet. On note :
  1. Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer P(RE)P(R \cap E).
  2. Calculer la probabilité de tirer une épée.
  3. Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir le résultat au millième.
Partie B Un joueur remporte 3030 défis.
On note XX la variable aléatoire correspondant au nombre d'objets rares que le joueur obtient après avoir remporté 3030 défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.
  1. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire XX. Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.
  2. Déterminer P(X<6)P(X < 6). Arrondir le résultat au millième.
  3. Déterminer la plus grande valeur de kk telle que P(Xk)0,5P(X \geqslant k) \geqslant 0,5. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
  4. Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d'acheter un « ticket d'or » qui permet de tirer NN objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de 7 %.
    Les développeurs aimeraient qu'en achetant un ticket d'or, la probabilité qu'un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces NN tirages soit supérieure ou égale à 0,950,95.
    Déterminer le nombre minimum d'objets à tirer pour atteindre cet objectif. On veillera à détailler la démarche mise en œuvre.


Baccalauréat Amérique du Nord - 22 mai 2024 Exercice 25 points Les données publiées le 1er mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes : Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième. Partie A Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022. On note :
  1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
  2. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
  3. Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est 0,02830,028\,3.
  4. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable.
Partie B Dans cette partie, on choisit 500500 véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022.
Dans la suite, on admettra que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à 0,650,65.
On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.
On appelle XX la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les 500500 véhicules choisis.
  1. On admet que la variable aléatoire XX suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.
  2. Déterminer la probabilité qu'exactement 325325 de ces véhicules soient neufs.
  3. Déterminer la probabilité p(X325)p(X \geq 325) puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Partie C On choisit désormais nn véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où nn désigne un entier naturel strictement positif.
On rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à 0,650,65.
On assimile le choix de ces nn véhicules à un tirage aléatoire avec remise.
  1. Donner l'expression en fonction de nn de la probabilité pnp_{n} que tous ces véhicules soient d'occasion.
  2. On note qnq_{n} la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de nn telle que qn0,9999q_{n} \geqslant 0,999\,9.


Baccalauréat Centres étrangers - 5 juin 2024 Exercice 35 points Partie A On définit la fonction ff sur l'intervalle [0 ; 1][0~;~1] par : f(x)=0,96x0,93x+0,03. f(x) = \dfrac{0,96x}{0,93x + 0,03}.
  1. Démontrer que, pour tout xx appartenant à l'intervalle [0 ; 1][0~;~1], f(x)=0,0288(0,93x+0,03)2. f'(x) = \dfrac{0,028\,8}{(0,93x + 0,03)^2}.
  2. Déterminer le sens de variation de la fonction ff sur l'intervalle [0 ; 1][0~;~1].
Partie B La lutte contre le dopage passe notamment par la réalisation de contrôles antidopage qui visent à déterminer si un sportif a fait usage de substances interdites.
Lors d'une compétition rassemblant 10001\,000 sportifs, une équipe médicale teste tous les concurrents. On propose d'étudier la fiabilité de ce test.
On appelle xx le réel compris entre 0 et 1 qui désigne la proportion de sportifs dopés.
Lors de l'élaboration de ce test, on a pu déterminer que : On note :
  1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous :
    DD
    D\overline{D}
    T\overline{T}
    T\overline{T}
    TT
    TT
    xx
    1x1-x
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
  2. Déterminer, en fonction de xx, la probabilité qu'un sportif soit dopé et ait un test positif.
  3. Démontrer que la probabilité de l'évènement TT est égale à 0,93x+0,030,93x + 0,03.
  4. Pour cette question uniquement, on suppose qu'il y a 5050 sportifs dopés parmi les 10001\,000 testés. La fonction ff désigne la fonction définie à la partie A. Démontrer que la probabilité qu'un sportif soit dopé sachant que son test est positif est égale à f(0,05)f(0,05). En donner une valeur arrondie au centième.
  5. On appelle valeur prédictive positive d'un test la probabilité que le sportif soit réellement dopé lorsque le résultat du test est positif.
    1. Déterminer à partir de quelle valeur de xx la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à 0,90,9. Arrondir le résultat au centième.
    2. Un responsable de la compétition décide de ne plus tester l'ensemble des sportifs, mais de cibler les sportifs les plus performants supposés être plus fréquemment dopés. Quelle est la conséquence de cette décision sur la valeur prédictive positive du test ?
      Argumenter en utilisant un résultat de la partie A.


Centres étrangers - 6 juin 2024 Exercice 45 points Un sac opaque contient huit jetons numérotés de 1 à 8, indiscernables au toucher.
À trois reprises, un joueur pioche un jeton dans ce sac, note son numéro, puis le remet dans le sac.
Dans ce contexte, on appelle « tirage » la liste ordonnée des trois numéros obtenus.
Par exemple, si le joueur pioche le jeton numéro 4, puis le jeton numéro 5, puis le jeton numéro 1, alors le tirage correspondant est (4 ; 5 ; 1)(4~;~5~;~1).
  1. Déterminer le nombre de tirages possibles.
    1. Déterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.
    2. En déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro.
    On note X1X_1 la variable aléatoire égale au numéro du premier jeton pioché, X2X_2 celle égale au numéro du deuxième jeton pioché et X3X_3 celle égale au numéro du troisième jeton pioché.
    Puisqu'il s'agit d'un tirage avec remise, les variables aléatoires X1,X2X_1, X_2, et X3X_3 sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité.
  2. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire X1X_1
  3. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire X1X_1
  4. On note S=X1+X2+X3S = X_1 + X_2 + X_3 la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois jetons piochés.
  5. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire SS.
  6. Déterminer P(S=24)P(S = 24).
  7. Si un joueur obtient une somme supérieure ou égale à 2222, alors il gagne un lot.
    1. Justifier qu'il existe exactement 1010 tirages permettant de gagner un lot.
    2. En déduire la probabilité de gagner un lot.


Baccalauréat Asie 10 juin 2024 Exercice 55 points Dans la revue Lancet Public Health, les chercheurs affirment qu'au 11 mai 2020, 5,7 % des adultes français avaient déjà été infectés par la COVID 19.
Source : https://www.thelancet.com/journals/lanpub/article/PIIS2468-2667 (21) 00064-5/fulltext
On se servira de cette donnée pour les parties A et B de cet exercice. Partie A
  1. On prélève un individu dans la population française adulte au 11 mai 2020.
    On note II l'évènement : « l'adulte a déjà été infecté par la COVID 19 »
    Quelle est la probabilité que cet individu prélevé ait déjà été infecté par la COVID 19 ?
  2. On prélève un échantillon de 100100 personnes de la population supposées choisies de façon indépendante les unes des autres.
    On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.
    On appelle XX la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes ayant déjà été infectées.
    1. Justifiez que XX suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
    2. Calculer son espérance mathématique. Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
    3. Quelle est la probabilité qu'il n'y ait aucune personne infectée dans l'échantillon ? On donnera une valeur approchée à 10410^{-4} près du résultat.
    4. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins 22 personnes infectées dans l'échantillon ? On donnera une valeur approchée à 10410^{-4} près du résultat.
    5. Déterminer le plus petit entier nn tel que P(Xn)>0,9P(X \leqslant n) > 0,9. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Partie B : Un test a été mis en place : celui-ci permet de déterminer (même longtemps après l'infection), si une personne a ou non déjà été infectée par la COVID 19.
Si le test est positif, cela signifie que la personne a déjà été infectée par la COVID 19.
Deux paramètres permettent de caractériser ce test: sa sensibilité et sa spécificité.
La sensibilité d'un test est la probabilité qu'il soit positif sachant que la personne a été infectée par la maladie. (II s'agit donc d'un vrai positif).
La spécificité d'un test est la probabilité que le test soit négatif sachant que la personne n'a pas été infectée par la maladie. (II s'agit donc d'un vrai négatif).
Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes: On prélève un individu soumis au test dans la population française adulte au 11 mai 2020. On note TT l'évènement « le test réalisé est positif ».
  1. Compléter l'arbre des probabilités ci-dessous avec les données de l'énoncé :
    II
    TT
    TT
    T\overline{T}
    T\overline{T}
    I\overline{I}
  2. Montrer que p(T)=0,05503p(T) = 0,055\,03.
  3. Quelle est la probabilité qu'un individu ait été infecté sachant que son test est positif ? On donnera une valeur approchée à 10410^{-4} près du résultat.
Partie C : On considère un groupe d'une population d'un autre pays soumis au même test de sensibilité 0,80,8 et de spécificité 0,990,99.
Dans ce groupe la proportion d'individus ayant un test positif est de 29,44%29,44\,\%.
On choisit au hasard un individu de ce groupe; quelle est la probabilité qu'il ait été infecté ?

Baccalauréat Asie 11 juin 2024 Exercice 65,5 points Léa passe une bonne partie de ses journées à jouer à un jeu vidéo et s'intéresse aux chances de victoire de ses prochaines parties.
Elle estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne la suivante dans 70 % des cas.
Mais si elle vient de subir une défaite, d'après elle, la probabilité qu'elle gagne la suivante est de 0,20,2.
De plus, elle pense avoir autant de chance de gagner la première partie que de la perdre.
On s'appuiera sur les affirmations de Léa pour répondre aux questions de cet exercice.
Pour tout entier naturel nn non nul, on définit les évènements suivants: Pour tout entier naturel nn non nul, on note gng_n la probabilité de l'évènement GnG_n. On a donc g1=0,5g_1 = 0,5.
  1. Quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle pG1(D2)p_{G_1}\left(D_2\right) ?
  2. Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premières parties de la journée :
    G1G_1
    G2G_2
    G2G_2
    G2\overline{G_2}
    G2\overline{G_2}
    G1\overline{G_1}
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
  3. Calculer g2g_2.
  4. Soit nn un entier naturel non nul.
    1. Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les nn-ième et (n+1)(n + 1)-ième parties de la journée.
      GnG_n
      Gn+1G_{n+1}
      Gn+1G_{n+1}
      Gn+1\overline{G_{n+1}}
      Gn+1\overline{G_{n+1}}
      DnD_n
      \cdots
      \cdots
      \cdots
      \cdots
      \cdots
      gng_n
    2. Justifier que pour tout entier naturel nn non nul, gn+1=0,5gn+0,2. g_{n+1} = 0,5g_n + 0,2.
  5. Pour tout entier naturel nn non nul, on pose vn=gn0,4v_n = g_n - 0,4.
    1. Montrer que la suite (vn)\left(v_n\right) est géométrique. On précisera son premier terme et sa raison.
    2. Montrer que, pour tout entier naturel nn non nul : gn=0,1×0,5n1+0,4. g_n = 0,1 \times 0,5^{n-1} + 0,4.
  6. Étudier les variations de la suite (gn)\left(g_n\right).
  7. Donner, en justifiant, la limite de la suite (gn)\left(g_n\right). Interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.
  8. Déterminer, par le calcul, le plus petit entier nn tel que gn0,40,001g_n - 0,4 \leqslant 0,001.
  9. Recopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 de la fonction suivante, écrite en langage Python, afin qu'elle renvoie le plus petit rang à partir duquel les termes de la suite (gn)\left(g_n\right) sont tous inférieurs ou égaux à 0,4+e0,4 + e, où ee est un nombre réel strictement positif.


Baccalauréat Métropole 19 juin 2024 Exercice 75 points Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l'occasion de l'achat d'un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d'électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces. Les achats sur internet représentent 60%60\,\% des ventes, les achats en magasin d'électroménager 30%30 \% des ventes et ceux en grandes surfaces 10%10\,\% des ventes. Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle est de : On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné. On définit les évènements suivants : Si AA est un évènement quelconque, on notera A\overline{A} son évènement contraire et P(A)P(A) sa probabilité.
  1. Reproduire et compléter l'arbre ci-contre.
    II
    MM
    GG
    SS
    SS
    SS
    S\overline{S}
    S\overline{S}
    S\overline{S}
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
    \cdots
  2. Calculer la probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle.
  3. Démontrer que P(S)=0,8P(S)=0,8.
  4. Un client est satisfait du service clientèle. Quelle est la probabilité qu'il ait effectué son achat sur internet ? On donnera un résultat arrondi à 10310^{-3} près.
  5. Pour réaliser l'étude, l'agence doit contacter chaque jour 30 clients parmi les acheteurs du téléviseur. On suppose que le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des 30 clients à un tirage avec remise. On note XX la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 30 clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientèle.
    1. Justifier que XX suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    2. Déterminer la probabilité, arrondie à 10310^{-3} près, qu'au moins 25 clients soient satisfaits dans un échantillon de 30 clients contactés sur une même journée.
  6. En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l'échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à 0,990,99.
  7. Dans les deux questions a. et b. qui suivent, on ne s'intéresse qu'aux seuls achats sur internet.
    Lorsqu'une commande de téléviseur est passée par un client, on considère que le temps de livraison du téléviseur est modélisé par une variable aléatoire TT égale à la somme de deux variables aléatoires T1T_{1} et T2T_{2}.
    La variable aléatoire T1T_{1} modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis un entrepôt de stockage vers une plateforme de distribution. La variable aléatoire T2T_{2} modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis cette plateforme jusqu'au domicile du client.
    On admet que les variables aléatoires T1T_{1} et T2T_{2} sont indépendantes, et on donne :
    1. Déterminer l'espérance E(T)E(T) et la variance V(T)V(T) de la variable aléatoire TT.
    2. Un client passe une commande de téléviseur sur internet. Justifier que la probabilité qu'il reçoive son téléviseur entre 5 et 9 jours après sa commande est supérieure ou égale à 23\dfrac{2}{3}.


Baccalauréat Polynésie 19 juin 2024 Exercice 85 points Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles Partie A On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. On note XX la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté « Face ».
  1. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par XX.
  2. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de XX
    kk 00 11 22 33
    P(X=k)P(X=k)
Partie B Voici les règles d'un jeu où le but est d'obtenir trois pièces du côté « Face » en un ou deux essais : On considère les évènements suivants :
  1. Démontrer que PA1(G)=14P_{A_1}(G) = \dfrac14.
  2. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous:
    A0A_0
    A1A_1
    A2A_2
    A3A_3
    GG
    GG
    GG
    GG
    G\overline{G}
    G\overline{G}
    G\overline{G}
    18\frac{1}{8}
    38\frac{3}{8}
    38\frac{3}{8}
    18\frac{1}{8}
  3. Démontrer que la probabilité pp de gagner à ce jeu est p=2764p = \dfrac{27}{64}
  4. La partie a été gagnée. Quelle est la probabilité qu'exactement une pièce soit tombée du côté « Face » à la première tentative ?
  5. Combien de fois faut-il jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse 0,950,95 ?


Baccalauréat Métropole 20 juin 2024 Exercice 95 points La directrice d’une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l’examen de fin d’étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.
Pour cette étude, on demande aux étudiants à l’issue de l’examen de répondre indivi- duellement à la question : « Pensez-vous avoir réussi l’examen ? ». Seules les réponses « oui » ou « non » sont possibles, et on observe que 91,7 % des étudiants interrogés ont répondu « oui ».
Suite à la publication des résultats à l’examen, on découvre que : On interroge au hasard un étudiant qui a passé l’examen.
On note RR l’évènement « l’étudiant a réussi l’examen » et QQ l’évènement « l’étudiant a répondu « oui » à la question ».
Pour un évènement AA quelconque, on note P(A)P(A) sa probabilité et AA son évènement contraire.
Dans tout l’exercice, les probabilités sont, si besoin, arrondies à 10310^{-3} près.
  1. Préciser les valeurs des probabilités P(Q)P(Q) et PR(Q)P_{\overline{R}}(\overline{Q}).
  2. On note xx la probabilité que l’étudiant interrogé ait réussi l’examen.
    1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
      RR
      R\overline{R}
      Q\overline{Q}
      Q\overline{Q}
      QQ
      QQ
      xx
      \cdots
      \cdots
      \cdots
      \cdots
      \cdots
    2. Montrer que x=0,9x = 0, 9.
  3. L’étudiant interrogé a répondu « oui » à la question.
    Quelle est la probabilité qu’il ait réussi l’examen ?
  4. La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre 00 et 2020. On suppose qu’elle est modélisée par une variable aléatoire NN qui suit la loi binomiale de paramètres (20;0,615)(20 ; 0, 615).
    La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.
    À partir de quelle note doit-elle attribuer les récompenses pour que 65%65 \% des étudiants soient récompensés ?
  5. On interroge au hasard dix étudiants.
    Les variables aléatoires N1N_1, N2N_2, \dots , N10N_{10} modélisent la note sur 2020 obtenue à l’examen par chacun d’entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres (20 ; 0,615)(20~ ;~ 0, 615).
    Soit SS la variable définie par S=N1+N2++N10S = N_1 + N_2 + · · · + N_{10}.
    Calculer l’espérance E(S)E (S) et la variance V(S)V (S) de la variable aléatoire SS.
  6. On considère la variable aléatoire M=S10M=\dfrac{S}{10}.
    1. Que modélise cette variable aléatoire M dans le contexte de l’exercice ?
    2. Justifier que E(M)=12,3E (M ) = 12, 3 et V(M)=0,47355V (M ) = 0,473\, 55.
    3. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l’affirmation ci-dessous. « La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre 10,310,3 et 14,314,3 est d’au moins 80%80 \% ».


Baccalauréat Polynésie 20 juin 2024 Exercice 104 points Un sondage réalisé en France fournit les informations suivantes : On choisit au hasard une personne de plus de 15 ans. On considère les évènements suivants : On note J\overline{J} et S\overline{S} leurs évènements contraires.

Dans les questions 11. et 22., les probabilités seront données sous la forme d'une fraction irréductible.
  1. Démontrer que la probabilité que la personne choisie ait l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est de 815\dfrac{8}{15}.
    On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.

  2. Selon ce sondage, deux personnes sur trois parmi les plus de 15 ans déclarent pratiquer une activité sportive régulière.
    1. Calculer la probabilité que la personne choisie n'ait pas l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière.
    2. En déduire la probabilité de SS sachant J\overline{J} notée PJ(S)P_{\overline{J}}(S).


  3. Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis au millième.
  4. Dans le cadre d'une opération de promotion, 3030 personnes de plus de 1515~ans sont choisies au hasard.
    On assimile ce choix à un tirage avec remise.
    On note XX la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi les 3030 personnes.
    1. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par XX.
    2. Calculer la probabilité qu'exactement 1616 personnes déclarent pratiquer une activité sportive régulière parmi les 3030 personnes.
    3. La fédération française de judo souhaite offrir une place pour la finale de l'épreuve par équipe mixte de judo à l'Arena Champ-de-Mars pour chaque personne déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi ces 3030 personnes.
      Le prix d'une place s'élève à 380380 € et on dispose d'un budget de 100001\,0000 euros pour cette opération.
      Quelle est la probabilité que ce budget soit insuffisant ?