Baccalauréat 2024
Probabilités Baccalauréat Amérique du Nord 21 mai 2024 5 points Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L'objet tiré peut être « commun » ou « rare ». Deux types d'objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers. Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que : Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet. On note :
  1. Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer $P(R \cap E)$.
  2. Calculer la probabilité de tirer une épée.
  3. Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir le résultat au millième.
Partie B Un joueur remporte $30$ défis.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre d'objets rares que le joueur obtient après avoir remporté $30$ défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.
  1. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.
  2. Déterminer $P(X < 6)$. Arrondir le résultat au millième.
  3. Déterminer la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X \geqslant k) \geqslant 0,5$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
  4. Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d'acheter un « ticket d'or » qui permet de tirer $N$ objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de 7 %.
    Les développeurs aimeraient qu'en achetant un ticket d'or, la probabilité qu'un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces $N$ tirages soit supérieure ou égale à $0,95$.
    Déterminer le nombre minimum d'objets à tirer pour atteindre cet objectif. On veillera à détailler la démarche mise en œuvre.


Baccalauréat Amérique du Nord - 22 mai 2024 5 points Les données publiées le 1er mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes : Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième. Partie A Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022. On note :
  1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
  2. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
  3. Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est $0,028\,3$.
  4. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable.
Partie B Dans cette partie, on choisit $500$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022.
Dans la suite, on admettra que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.
On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.
On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $500$ véhicules choisis.
  1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.
  2. Déterminer la probabilité qu'exactement $325$ de ces véhicules soient neufs.
  3. Déterminer la probabilité $p(X \geq 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Partie C On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.
On rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.
On assimile le choix de ces $n$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.
  1. Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ que tous ces véhicules soient d'occasion.
  2. On note $q_{n}$ la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_{n} \geqslant 0,999\,9$.


Baccalauréat Centres étrangers - 5 juin 2024 5 points Partie A On définit la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$ par : $$ f(x) = \dfrac{0,96x}{0,93x + 0,03}. $$
  1. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~1]$, $$ f'(x) = \dfrac{0,028\,8}{(0,93x + 0,03)^2}. $$
  2. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$.
Partie B La lutte contre le dopage passe notamment par la réalisation de contrôles antidopage qui visent à déterminer si un sportif a fait usage de substances interdites.
Lors d'une compétition rassemblant $1\,000$ sportifs, une équipe médicale teste tous les concurrents. On propose d'étudier la fiabilité de ce test.
On appelle $x$ le réel compris entre 0 et 1 qui désigne la proportion de sportifs dopés.
Lors de l'élaboration de ce test, on a pu déterminer que : On note :
  1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous :
  2. Déterminer, en fonction de $x$, la probabilité qu'un sportif soit dopé et ait un test positif.
  3. Démontrer que la probabilité de l'évènement $T$ est égale à $0,93x + 0,03$.
  4. Pour cette question uniquement, on suppose qu'il y a $50$ sportifs dopés parmi les $1\,000$ testés. La fonction $f$ désigne la fonction définie à la partie A. Démontrer que la probabilité qu'un sportif soit dopé sachant que son test est positif est égale à $f(0,05)$. En donner une valeur arrondie au centième.
  5. On appelle valeur prédictive positive d'un test la probabilité que le sportif soit réellement dopé lorsque le résultat du test est positif.
    1. Déterminer à partir de quelle valeur de $x$ la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à $0,9$. Arrondir le résultat au centième.
    2. Un responsable de la compétition décide de ne plus tester l'ensemble des sportifs, mais de cibler les sportifs les plus performants supposés être plus fréquemment dopés. Quelle est la conséquence de cette décision sur la valeur prédictive positive du test ?
      Argumenter en utilisant un résultat de la partie A.


Centres étrangers - 6 juin 2024 5 points Un sac opaque contient huit jetons numérotés de 1 à 8, indiscernables au toucher.
À trois reprises, un joueur pioche un jeton dans ce sac, note son numéro, puis le remet dans le sac.
Dans ce contexte, on appelle « tirage » la liste ordonnée des trois numéros obtenus.
Par exemple, si le joueur pioche le jeton numéro 4, puis le jeton numéro 5, puis le jeton numéro 1, alors le tirage correspondant est $(4~;~5~;~1)$.
  1. Déterminer le nombre de tirages possibles.
    1. Déterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.
    2. En déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro.
    On note $X_1$ la variable aléatoire égale au numéro du premier jeton pioché, $X_2$ celle égale au numéro du deuxième jeton pioché et $X_3$ celle égale au numéro du troisième jeton pioché.
    Puisqu'il s'agit d'un tirage avec remise, les variables aléatoires $X_1, X_2$, et $X_3$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité.
  3. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_1$
  4. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X_1$
    5. On note $S = X_1 + X_2 + X_3$ la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois jetons piochés.
  5. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $S$.
  6. Déterminer $P(S = 24)$.
  7. Si un joueur obtient une somme supérieure ou égale à $22$, alors il gagne un lot.
    1. Justifier qu'il existe exactement $10$ tirages permettant de gagner un lot.
    2. En déduire la probabilité de gagner un lot.


Baccalauréat Asie 10 juin 2024 5 points Dans la revue Lancet Public Health, les chercheurs affirment qu'au 11 mai 2020, 5,7 % des adultes français avaient déjà été infectés par la COVID 19.
Source : https://www.thelancet.com/journals/lanpub/article/PIIS2468-2667 (21) 00064-5/fulltext
On se servira de cette donnée pour les parties A et B de cet exercice. Partie A
  1. On prélève un individu dans la population française adulte au 11 mai 2020.
    On note $I$ l'évènement : « l'adulte a déjà été infecté par la COVID 19 »
    Quelle est la probabilité que cet individu prélevé ait déjà été infecté par la COVID 19 ?
  2. On prélève un échantillon de $100$ personnes de la population supposées choisies de façon indépendante les unes des autres.
    On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.
    On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes ayant déjà été infectées.
    1. Justifiez que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
    2. Calculer son espérance mathématique. Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
    3. Quelle est la probabilité qu'il n'y ait aucune personne infectée dans l'échantillon ? On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.
    4. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins $2$ personnes infectées dans l'échantillon ? On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.
    5. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P(X \leqslant n) > 0,9$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Partie B : Un test a été mis en place : celui-ci permet de déterminer (même longtemps après l'infection), si une personne a ou non déjà été infectée par la COVID 19.
Si le test est positif, cela signifie que la personne a déjà été infectée par la COVID 19.
Deux paramètres permettent de caractériser ce test: sa sensibilité et sa spécificité.
La sensibilité d'un test est la probabilité qu'il soit positif sachant que la personne a été infectée par la maladie. (II s'agit donc d'un vrai positif).
La spécificité d'un test est la probabilité que le test soit négatif sachant que la personne n'a pas été infectée par la maladie. (II s'agit donc d'un vrai négatif).
Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes: On prélève un individu soumis au test dans la population française adulte au 11 mai 2020. On note $T$ l'évènement « le test réalisé est positif ».
  1. Compléter l'arbre des probabilités ci-dessous avec les données de l'énoncé :
  2. Montrer que $p(T) = 0,055\,03$.
  3. Quelle est la probabilité qu'un individu ait été infecté sachant que son test est positif ? On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.
Partie C : On considère un groupe d'une population d'un autre pays soumis au même test de sensibilité $0,8$ et de spécificité $0,99$.
Dans ce groupe la proportion d'individus ayant un test positif est de $29,44\,\%$.
On choisit au hasard un individu de ce groupe; quelle est la probabilité qu'il ait été infecté ?

Baccalauréat Asie 11 juin 2024 5,5 points Léa passe une bonne partie de ses journées à jouer à un jeu vidéo et s'intéresse aux chances de victoire de ses prochaines parties.
Elle estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne la suivante dans 70 % des cas.
Mais si elle vient de subir une défaite, d'après elle, la probabilité qu'elle gagne la suivante est de $0,2$.
De plus, elle pense avoir autant de chance de gagner la première partie que de la perdre.
On s'appuiera sur les affirmations de Léa pour répondre aux questions de cet exercice. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit les évènements suivants: Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $g_n$ la probabilité de l'évènement $G_n$. On a donc $g_1 = 0,5$.
  1. Quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle $p_{G_1}\left(D_2\right)$ ?
  2. Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premières parties de la journée :
  3. Calculer $g_2$.
  4. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    1. Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $(n + 1)$-ième parties de la journée.
    2. Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $$ g_{n+1} = 0,5g_n + 0,2. $$
  5. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $v_n = g_n - 0,4$.
    1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. On précisera son premier terme et sa raison.
    2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $$ g_n = 0,1 \times 0,5^{n-1} + 0,4. $$
  6. Étudier les variations de la suite $\left(g_n\right)$.
  7. Donner, en justifiant, la limite de la suite $\left(g_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.
  8. Déterminer, par le calcul, le plus petit entier $n$ tel que $g_n - 0,4 \leqslant 0,001$.
  9. Recopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 de la fonction suivante, écrite en langage Python, afin qu'elle renvoie le plus petit rang à partir duquel les termes de la suite $\left(g_n\right)$ sont tous inférieurs ou égaux à $0,4 + e$, où $e$ est un nombre réel strictement positif. def seuil(e): g = 0.5 n = 1 while ...: g = 0.5*g+0.2 n = ... return n


Baccalauréat Métropole 19 juin 2024 5 points Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l'occasion de l'achat d'un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d'électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces. Les achats sur internet représentent $60\,\%$ des ventes, les achats en magasin d'électroménager $30 \%$ des ventes et ceux en grandes surfaces $10\,\%$ des ventes. Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle est de : On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné. On définit les évènements suivants : Si $A$ est un évènement quelconque, on notera $\overline{A}$ son évènement contraire et $P(A)$ sa probabilité.
  1. Reproduire et compléter l'arbre ci-contre.
  2. Calculer la probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle.
  3. Démontrer que $P(S)=0,8$.
  4. Un client est satisfait du service clientèle. Quelle est la probabilité qu'il ait effectué son achat sur internet ? On donnera un résultat arrondi à $10^{-3}$ près.
  5. Pour réaliser l'étude, l'agence doit contacter chaque jour 30 clients parmi les acheteurs du téléviseur. On suppose que le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des 30 clients à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 30 clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientèle.
    1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    2. Déterminer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'au moins 25 clients soient satisfaits dans un échantillon de 30 clients contactés sur une même journée.
  6. En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l'échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à $0,99$.
  7. Dans les deux questions a. et b. qui suivent, on ne s'intéresse qu'aux seuls achats sur internet.
    Lorsqu'une commande de téléviseur est passée par un client, on considère que le temps de livraison du téléviseur est modélisé par une variable aléatoire $T$ égale à la somme de deux variables aléatoires $T_{1}$ et $T_{2}$.
    La variable aléatoire $T_{1}$ modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis un entrepôt de stockage vers une plateforme de distribution. La variable aléatoire $T_{2}$ modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis cette plateforme jusqu'au domicile du client.
    On admet que les variables aléatoires $T_{1}$ et $T_{2}$ sont indépendantes, et on donne :
    1. Déterminer l'espérance $E(T)$ et la variance $V(T)$ de la variable aléatoire $T$.
    2. Un client passe une commande de téléviseur sur internet. Justifier que la probabilité qu'il reçoive son téléviseur entre 5 et 9 jours après sa commande est supérieure ou égale à $\dfrac{2}{3}$.


Baccalauréat Polynésie 19 juin 2024 5 points Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles Partie A On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté « Face ».
  1. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
  2. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$
    $k$ $0$ $1$ $2$ $3$
    $P(X=k)$
Partie B Voici les règles d'un jeu où le but est d'obtenir trois pièces du côté « Face » en un ou deux essais : On considère les évènements suivants :
  1. Démontrer que $P_{A_1}(G) = \dfrac14$.
  2. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous:
  3. Démontrer que la probabilité $p$ de gagner à ce jeu est $p = \dfrac{27}{64}$
  4. La partie a été gagnée. Quelle est la probabilité qu'exactement une pièce soit tombée du côté « Face » à la première tentative ?
  5. Combien de fois faut-il jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse $0,95$ ?


Baccalauréat Métropole 20 juin 2024 5 points La directrice d’une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l’examen de fin d’étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.
Pour cette étude, on demande aux étudiants à l’issue de l’examen de répondre indivi- duellement à la question : « Pensez-vous avoir réussi l’examen ? ». Seules les réponses « oui » ou « non » sont possibles, et on observe que 91,7 % des étudiants interrogés ont répondu « oui ».
Suite à la publication des résultats à l’examen, on découvre que : On interroge au hasard un étudiant qui a passé l’examen.
On note $R$ l’évènement « l’étudiant a réussi l’examen » et $Q$ l’évènement « l’étudiant a répondu « oui » à la question ».
Pour un évènement $A$ quelconque, on note $P(A)$ sa probabilité et $A$ son évènement contraire.
Dans tout l’exercice, les probabilités sont, si besoin, arrondies à $10^{-3}$ près.
  1. Préciser les valeurs des probabilités $P(Q)$ et $P_{\overline{R}}(\overline{Q})$.
  2. On note $x$ la probabilité que l’étudiant interrogé ait réussi l’examen.
    1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
    2. Montrer que $x = 0, 9$.
  3. L’étudiant interrogé a répondu « oui » à la question.
    Quelle est la probabilité qu’il ait réussi l’examen ?
  4. La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre $0$ et $20$. On suppose qu’elle est modélisée par une variable aléatoire $N$ qui suit la loi binomiale de paramètres $(20 ; 0, 615)$.
    La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.
    À partir de quelle note doit-elle attribuer les récompenses pour que $65 \%$ des étudiants soient récompensés ?
  5. On interroge au hasard dix étudiants.
    Les variables aléatoires $N_1$, $N_2$, $\dots$ , $N_{10}$ modélisent la note sur $20$ obtenue à l’examen par chacun d’entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres $(20~ ;~ 0, 615)$.
    Soit $S$ la variable définie par $S = N_1 + N_2 + · · · + N_{10}$.
    Calculer l’espérance $E (S)$ et la variance $V (S)$ de la variable aléatoire $S$.
  6. On considère la variable aléatoire $M=\dfrac{S}{10}$.
    1. Que modélise cette variable aléatoire M dans le contexte de l’exercice ?
    2. Justifier que $E (M ) = 12, 3$ et $V (M ) = 0,473\, 55$.
    3. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l’affirmation ci-dessous. « La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre $10,3$ et $14,3$ est d’au moins $80 \%$ ».


Baccalauréat Polynésie 20 juin 2024 4 points Un sondage réalisé en France fournit les informations suivantes : On choisit au hasard une personne de plus de 15 ans. On considère les évènements suivants : On note $\overline{J}$ et $\overline{S}$ leurs évènements contraires.

Dans les questions $1$. et $2$., les probabilités seront données sous la forme d'une fraction irréductible.
  1. Démontrer que la probabilité que la personne choisie ait l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est de $\dfrac{8}{15}$.
    On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.

    2. Selon ce sondage, deux personnes sur trois parmi les plus de 15 ans déclarent pratiquer une activité sportive régulière.
    1. Calculer la probabilité que la personne choisie n'ait pas l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière.
    2. En déduire la probabilité de $S$ sachant $\overline{J}$ notée $P_{\overline{J}}(S)$.


    3. Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis au millième.
  3. Dans le cadre d'une opération de promotion, $30$ personnes de plus de $15$~ans sont choisies au hasard.
    On assimile ce choix à un tirage avec remise.
    On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi les $30$ personnes.
    1. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
    2. Calculer la probabilité qu'exactement $16$ personnes déclarent pratiquer une activité sportive régulière parmi les $30$ personnes.
    3. La fédération française de judo souhaite offrir une place pour la finale de l'épreuve par équipe mixte de judo à l'Arena Champ-de-Mars pour chaque personne déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi ces $30$ personnes.
      Le prix d'une place s'élève à $380$ € et on dispose d'un budget de $1\,0000$ euros pour cette opération.
      Quelle est la probabilité que ce budget soit insuffisant ?