Baccalauréat 2024
Suites numériques Baccalauréat Amérique du Nord 21 mai 2024 6 points Pour tout entier naturel $n$, on considère les intégrales suivantes : $$ I_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\sin (x)\:\text{d}x, \quad J_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{-nx}\cos (x)\:\text{d}x. $$
  1. Calculer $I_0$.
    1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $I_n \geqslant 0$.
    2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a $I_{n+1} - I_n \leqslant 0$.
    3. Déduire des deux questions précédentes que la suite $\left(I_n\right)$ converge.
    3. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a : $$ I_n \leqslant \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\:\text{d}x. $$
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : $$\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\text{d}x = \dfrac{1 - \text{e}^{-n \pi}}{n}. $$
    2. Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $\left(I_n\right)$.
    1. En intégrant par parties l'intégrale $I_n$ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :
      2. $I_n = 1 + \text{e}^{-n\pi} - nJ_n\quad$ et $\quad I_n = \dfrac 1n J_n$
    2. En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a $$ I_n = \dfrac{1 + \text{e}^{-n \pi}}{n^2 + 1} $$
  5. On souhaite obtenir le rang $n$ à partir duquel la suite $\left(I_n\right)$ devient inférieure à 0,1.
    Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée. from math import* def seuil(): n = 0 I = 2 n = n+1 I = (1+exp(-n*pi))/(n*n+1) return n


Baccalauréat Amérique du Nord - 22 mai 2024 6 points On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par $$ g(x) = 2x - x^{2}. $$
  1. Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~1]$ et préciser les valeurs de $g(0)$ et de $g(1)$.
    2. On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l c l}u_{0}&=&\dfrac{1}{2}\ u_{n+1}&=&g\left(u_{n}\right)\end{array}\right.$ pour tout entier naturel $n$.
  2. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
  3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0 < u_{n} < u_{n+1}< 1$.
  4. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
  5. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_{n}\right)$.
    6. On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\ln \left(1 - u_{n}\right)$.
  6. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 2 et préciser son premier terme.
  7. En déduire une expression de $v_{n}$ en fonction de $n$.
  8. En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ et retrouver la limite déterminée à la question 5.
  9. Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang $n$ à partir duquel la suite dépasse 0,95.
def seuil(): n = 0 u = 0.5 while u < 0.95: n = u = return n

Baccalauréat Centres étrangers - 5 juin 2024 5 points On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par $$ f(x) = 2x\text{e}^{-x}. $$ On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~1]$.
    1. Résoudre sur l'intervalle $[0~;~1]$ l'équation $f(x) = x$.
    2. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~1]$, $$ f'(x) = 2(1 - x)\text{e}^{-x}. $$
    3. Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~1]. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,1$ et pour tout entier naturel $n$, $$ u_{n+1} = f\left(u_n\right). $$
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel, $$ 0 \leqslant u_n < u_{n+1} \leqslant 1. $$
    2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
  3. Démontrer que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est $\ln (2)$.
    1. Justifier que pour tout entier naturel $n,\: \ln (2) - u_n$ est positif.
    2. On souhaite écrire un script Python qui renvoie une valeur approchée de $\ln(2)$ par défaut à $10^{-4}$ près, ainsi que le nombre d'étapes pour y parvenir.
      Recopier et compléter le script ci-dessous afin qu'il réponde au problème posé. def seuil(): n = 0 u = 0.1 while ln(2)-u ... 0.0001: n = n+1 u = ... return (u, n)
    3. Donner la valeur de la variable $n$ renvoyée par la fonction seuil ().


Centres étrangers - 6 juin 2024 4 points Partie A On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $$ f(x) = \sqrt{x + 1}. $$ On admet que cette fonction est dérivable sur ce même intervalle.
  1. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
  2. Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$ : $$ f(x) - x = \dfrac{-x^2 + x + 1}{\sqrt{x + 1} + x}. $$
  3. En déduire que sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'équation $f(x) = x$ admet pour unique solution : $$ \ell = \dfrac{1 +\sqrt 5}{2}. $$
Partie B On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 5$ et pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A. On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie pour tout entier naturel $n$.
  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $$ 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n. $$
  2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
  3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell = \dfrac{1 +\sqrt 5}{2}$.
  4. On considère le script Python ci-dessous : from math import* def seuil(n): u = 5 i = 0 l = (1+sqrt(5))/2 while abs(u_l) <= 10**(-n): u = sqrt(u+1) i = i+1 return i On rappelle que la commande abs(x) renvoie la valeur absolue de $x$.
    1. Donner la valeur renvoyée par seuil(2).
    2. La valeur renvoyée par seuil(4) est 9.
      Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.


Baccalauréat Asie 10 juin 2024 5 points Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée.
Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.
  1. Affirmation 1 : Toute suite décroissante et minorée par 0 converge vers 0.
  2. On considère une suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ telle que, pour tout entier $n$,on a $u_n \leqslant \dfrac{-9^n + 3^n}{7^n}$.
    Affirmation 2 : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n =- \infty$.
  3. On considère la fonction suivante écrite en langage Python: def terme(n): u = 1 for i in range(n): u = u+i return u Affirmation 3 : terme(4) renvoie la valeur 7.
  4. Lors d'un concours, le gagnant a le choix entre deux prix : Affirmation 4 : La valeur du prix A est plus élevée que la valeur du prix B.
  5. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par $$ v_n = \displaystyle\int_1^n \ln x\:\text{d}x. $$ Affirmation 5 : La suite $\left(v_n\right)$ est croissante.


Baccalauréat Asie 11 juin 2024 5,5 points On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ~;~+ \infty[$ par $$ f(x) = x^2 - x \ln (x). $$ On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $]0 ~;~+ \infty[$. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la fonction dérivée de la fonction $f'$. Partie A : Étude de la fonction $f$
  1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.
  2. Pour tout réel $x$ strictement positif, calculer $f'(x)$.
  3. Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif: $$ f''(x) = \dfrac{2x - 1}{x}. $$
  4. Étudier les variations de la fonction $f'$ sur $]0 ~;~+ \infty[$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $f'$ sur $]0 ~;~+ \infty[$. On veillera à faire apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction $f'$ sur $]0 ~;~+ \infty[$. Les limites de la fonction $f'$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.
  5. Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0 ~;~+ \infty[$.
Partie B : Étude d'une fonction auxiliaire pour la résolution de l'équation $f(x) = x $ On considère dans cette partie la fonction $g$ définie sur $]0 ~;~+ \infty[$ par $$ g(x) = x - \ln (x). $$ On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0 ~;~+ \infty[$, on note $g'$ sa dérivée.
  1. Pour tout réel strictement positif, calculer $g'(x)$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $g$. Les limites de la fonction $g$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.
  2. On admet que 1 est l'unique solution de l'équation $g(x) = 1$. Résoudre, sur l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$, l'équation $f(x) = x$.
Partie C : Étude d'une suite récurrente On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = \dfrac12$ et pour tout entier naturel $n$, $$ u_{n+1} = f\left(u_n\right) = u_n^2 - u_n \ln \left(u_n\right). $$
  1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$: $$ \dfrac12 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1. $$
  2. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ converge. On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et on admet que $\ell$ vérifie l'égalité $f(\ell) = \ell$.
  3. Déterminer la valeur de $\ell$.


Baccalauréat Asie 11 juin 2024 5,5 points Léa passe une bonne partie de ses journées à jouer à un jeu vidéo et s'intéresse aux chances de victoire de ses prochaines parties.
Elle estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne la suivante dans 70 % des cas.
Mais si elle vient de subir une défaite, d'après elle, la probabilité qu'elle gagne la suivante est de $0,2$.
De plus, elle pense avoir autant de chance de gagner la première partie que de la perdre.
On s'appuiera sur les affirmations de Léa pour répondre aux questions de cet exercice. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit les évènements suivants: Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $g_n$ la probabilité de l'évènement $G_n$. On a donc $g_1 = 0,5$.
  1. Quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle $p_{G_1}\left(D_2\right)$ ?
  2. Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premières parties de la journée :
  3. Calculer $g_2$.
  4. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    1. Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $(n + 1)$-ième parties de la journée.
    2. Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $$ g_{n+1} = 0,5g_n + 0,2. $$
  5. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $v_n = g_n - 0,4$.
    1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. On précisera son premier terme et sa raison.
    2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $$ g_n = 0,1 \times 0,5^{n-1} + 0,4. $$
  6. Étudier les variations de la suite $\left(g_n\right)$.
  7. Donner, en justifiant, la limite de la suite $\left(g_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.
  8. Déterminer, par le calcul, le plus petit entier $n$ tel que $g_n - 0,4 \leqslant 0,001$.
  9. Recopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 de la fonction suivante, écrite en langage Python, afin qu'elle renvoie le plus petit rang à partir duquel les termes de la suite $\left(g_n\right)$ sont tous inférieurs ou égaux à $0,4 + e$, où $e$ est un nombre réel strictement positif. def seuil(e): g = 0.5 n = 1 while ...: g = 0.5*g+0.2 n = ... return n


Baccalauréat Polynésie 19 juin 2024 6 points L'objectif de cet exercice est de conjecturer en partie A puis de démontrer en partie B le comportement d'une suite.
Les deux parties peuvent cependant être traitées de manière indépendante. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$ u_{n+1} = \dfrac{4}{5 - u_n}. $$ Partie A
  1. Recopier et compléter la fonction Python suivante suite(n) qui prend comme paramètre le rang $n$ et renvoie la valeur du terme $u_n$. def suite(n): u = ... for i in range(n): ... return u
  2. L'exécution de suite(2) renvoie 1.3333333333333333.
    Effectuer un calcul pour vérifier et expliquer cet affichage.
  3. À l'aide des affichages ci-dessous, émettre une conjecture sur le sens de variation et une conjecture sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
    >> suite(2)
    1.3333333333333333
    >> suite(5)
    1.0058479532163742
    >> suite(10)
    1.0000057220349845
    >> suite(20)
    1.000000000005457
Partie B On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $] -\infty~;~5[$ par: $$ f(x) = \dfrac{4}{5 - x}. $$ Ainsi, la suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N},\:\: u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
  1. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]-\infty~;~5[$.
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a : $$ 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 4. $$
    1. Soit $x$ un réel de l'intervalle $]-\infty~;~5[$. Prouver l'équivalence suivante: $$ f(x) = x \iff x^2 - 5x + 4 = 0. $$
    2. Résoudre $f(x) = x$ dans l'intervalle $]-\infty~;~5[$.
  4. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. Déterminer sa limite.
  5. Le comportement de la suite serait-il identique en choisissant comme terme initial $u_0 = 4$ au lieu de $u_0 = 3$ ?


Baccalauréat Métropole 20 juin 2024 5 points Les parties A et B sont indépendantes

Alain possède une piscine qui contient $50$ m$^{3}$ d’eau. On rappelle que $1$ m$^{3}$ $=$ $1\, 000$ L.
Pour désinfecter l’eau, il doit ajouter du chlore.
Le taux de chlore dans l’eau, exprimé en mg$\cdot$L$^{-1}$, est défini comme la masse de chlore par unité de volume d’eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre $1$ et $3$ mg$\cdot$L$^{-1}$.
Sous l’action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu.
Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à $0, 01$ mg$\cdot$L$^{-1}$. Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de 0, $70$ mg$\cdot$L$^{-1}$. Partie A : étude d’un modèle discret. Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d’ajouter chaque jour une quantité de $15$ g de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément dans l’eau de la piscine.
  1. Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0, 3$ mg$\cdot$L$^{-1}$.
  2. Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le taux de chlore, en mg$\cdot$L$^{-1}$, obtenu avec ce nouveau protocole n jours après le mercredi 19 juin. Ainsi $v_0 = 0, 7$. On admet que pour tout entier naturel $n$, $$v_{n+1} = 0, 92v_n + 0, 3.$$
    1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $v_n \leq v_{n+1} \leq 4$.
    2. Montrer que la suite $(v_n)$ est convergente et calculer sa limite.
  3. À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse.
  4. Reproduire et compléter l’algorithme ci-après écrit en langage Python pour que la fonction alerte_chlore renvoie, lorsqu’il existe, le plus petit entier $n$ tel que $v_n > s$. def alerte_chlore(s): n = 0 u = 0.7 while ... 0: n = ... u = ... return n
  5. Quelle valeur obtient-on en saisissant l’instruction alerte_chlore(3) ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Partie B : étude d’un modèle continu. Alain décide de faire appel à un bureau d’études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine.
Dans ce modèle, pour une durée $x$ (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), $f (x)$ représente le taux de chlore, en mg$\cdot$L$^{-1}$, dans la piscine.
On admet que la fonction $f$ est solution de l’équation différentielle (E ) : $$y' = -0, 08y + \dfrac{q}{50} ,$$ où $q$ est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.
  1. Justifier que la fonction $f$ est de la forme $f (x) = C \text{e}^{-0,08x} + \dfrac{q}{ 4}$ où $C$ est une constante réelle.
    1. Exprimer en fonction de $q$ la limite de $f$ en $+\infty$.
    2. On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à $0, 7$ mg$\cdot$L$^{-1}$.
      On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de $2$.

      Déterminer les valeurs de $C$ et $q$ afin que ces deux conditions soient respectées.


Baccalauréat Polynésie 20 juin 2024 6 points On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 8$ et pour tout entier naturel $n$, $~u_{n+1} = u_n -\ln\left(\dfrac{u_n}{4}\right)$.
    1. Donner les valeurs arrondies au centième de $u_1$ et $u_2$.
    2. On considère la fonction mystere définie ci-dessous en Pytho}. On admet que, pour tout réel strictement positif a, log(a) renvoie la valeur du logarithme népérien de a. def mystere(k): u = 8 s = 0 for i in range(k): s = s+u u = u-log(u/4) return s L'exécution de mystere(10) renvoie 58.44045206721732. Que représente ce résultat ?
    3. Modifier la fonction précédente afin qu'elle renvoie la moyenne des $k$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
  2. On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$ par : $$ f(x) = x - \ln\left(\dfrac{x}{4}\right). $$ On donne ci-dessous une représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ pour les valeurs de $x$ comprises entre 0 et 6.
    Étudier les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations.
    On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $]0~;~+\infty[$. Les limites ne sont pas demandées.

    3. Dans la suite de l'exercice, on remarquera que pour tout entier naturel $n$, $\: u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
    1. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a : $$ 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n. $$
    2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite réelle. On note $\ell$ la valeur de cette limite
    3. Résoudre l'équation $f(x) = x$.
    4. En déduire la valeur de $\ell$.