1ère ∼ Spécialité mathématique
Polynôme du second degré
Tout cocher/décocher
Définition n°1
-- Discriminant
Soient
a
a
a
,
b
b
b
et
c
c
c
trois nombres réels avec
a
≠
0
a\neq0
a
≠
0
.
Le discriminant du polynôme du second degré
P
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
P(x)=ax^2+bx+c
P
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
est le nombre noté
Δ
\Delta
Δ
tel que :
Δ
=
b
2
−
4
a
c
.
\Delta=b^2-4ac.
Δ
=
b
2
−
4
a
c
.
Propriété n°1
--
Racines réelles d'un polynôme du second degré
Soient
a
a
a
,
b
b
b
et
c
c
c
trois nombres réels avec
a
≠
0
a\neq0
a
≠
0
.
On considère le polynôme
P
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
P(x)=ax^2+bx+c
P
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
et son discriminant
Δ
=
b
2
−
4
a
c
\Delta = b^2-4ac
Δ
=
b
2
−
4
a
c
.
Si
Δ
<
0
\Delta <0
Δ
<
0
alors
P
P
P
ne possède aucune racine réelle.
Si
Δ
=
0
\Delta = 0
Δ
=
0
alors
P
P
P
possède une racine double :
x
0
=
−
b
2
a
x_0=-\dfrac{b}{2a}
x
0
=
−
2
a
b
.
Si
Δ
>
0
\Delta > 0
Δ
>
0
alors
P
P
P
possède deux racines distinctes conjuguées :
x
1
=
−
b
−
Δ
2
a
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\,\,\:
x
1
=
2
a
−
b
−
Δ
et
x
2
=
−
b
+
Δ
2
a
\:\,\,x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
x
2
=
2
a
−
b
+
Δ
.
Propriété n°2
--
Forme factorisée d'un polynôme du second degré
Soient
a
a
a
,
b
b
b
et
c
c
c
trois nombres réels avec
a
≠
0
a\neq0
a
≠
0
.
On considère le polynôme
P
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
P(x)=ax^2+bx+c
P
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
et son discriminant
Δ
=
b
2
−
4
a
c
\Delta = b^2-4ac
Δ
=
b
2
−
4
a
c
.
Si
Δ
<
0
\Delta < 0
Δ
<
0
,
P
P
P
ne possède pas de forme factorisée.
Si
Δ
=
0
\Delta = 0
Δ
=
0
,
P
(
x
)
=
a
(
x
−
x
0
)
2
P(x)=a(x-x_0)^2
P
(
x
)
=
a
(
x
−
x
0
)
2
.
Si
Δ
>
0
\Delta > 0
Δ
>
0
,
P
(
x
)
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)
P
(
x
)
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
.
Propriété n°3
--
Signe d'un polynôme du second degré
Soient
a
a
a
,
b
b
b
et
c
c
c
trois nombres réels avec
a
≠
0
a\neq0
a
≠
0
.
On considère le polynôme
P
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
P(x)=ax^2+bx+c
P
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
et son discriminant
Δ
=
b
2
−
4
a
c
\Delta = b^2-4ac
Δ
=
b
2
−
4
a
c
.
Si
Δ
<
0
\Delta < 0
Δ
<
0
, le polynôme
P
P
P
est du signe de
a
a
a
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Si
Δ
=
0
\Delta = 0
Δ
=
0
, le polynôme
P
P
P
est du signe de
a
a
a
sur
R
\mathbb{R}
R
et il s'annule en
x
=
−
b
2
a
x=-\dfrac{b}{2a}
x
=
−
2
a
b
.
Si
Δ
>
0
\Delta > 0
Δ
>
0
, le polynôme
P
P
P
est du signe de
a
a
a
à l'extérieur de ses racines
x
1
x_1
x
1
et
x
2
x_2
x
2
et du signe opposé entre elles.
0,0
+
∞
+\infty
+
∞
−
∞
-\infty
−
∞
x
x
x
x
1
x_1
x
1
x
2
x_2
x
2
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
0
0
0
0
0
0
signe(a)
\text{signe(a)}
signe(a)
signe(a)
\text{signe(a)}
signe(a)
signe(-a)
\text{signe(-a)}
signe(-a)
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