1ère ∼ Spécialité mathématique
Polynôme du second degré
Définition n°1 -- Discriminant
Soient aa, bb et cc trois nombres réels avec a0a\neq0.
Le discriminant du polynôme du second degré P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+c est le nombre noté Δ\Delta tel que : Δ=b24ac.\Delta=b^2-4ac.
Propriété n°1 -- Racines réelles d'un polynôme du second degré
Soient aa, bb et cc trois nombres réels avec a0a\neq0.
On considère le polynôme P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+c et son discriminant Δ=b24ac\Delta = b^2-4ac.
  • Si Δ<0\Delta <0 alors PP ne possède aucune racine réelle.
  • Si Δ=0\Delta = 0 alors PP possède une racine double : x0=b2ax_0=-\dfrac{b}{2a}.
  • Si Δ>0\Delta > 0 alors PP possède deux racines distinctes conjuguées :
    x1=bΔ2ax_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\,\,\: et x2=b+Δ2a\:\,\,x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
Propriété n°2-- Forme factorisée d'un polynôme du second degré
Soient aa, bb et cc trois nombres réels avec a0a\neq0.
On considère le polynôme P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+c et son discriminant Δ=b24ac\Delta = b^2-4ac.
  • Si Δ<0\Delta < 0, PP ne possède pas de forme factorisée.
  • Si Δ=0\Delta = 0, P(x)=a(xx0)2P(x)=a(x-x_0)^2.
  • Si Δ>0\Delta > 0, P(x)=a(xx1)(xx2)P(x)=a(x-x_1)(x-x_2).
Propriété n°3-- Signe d'un polynôme du second degré
Soient aa, bb et cc trois nombres réels avec a0a\neq0.
On considère le polynôme P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+c et son discriminant Δ=b24ac\Delta = b^2-4ac.
  • Si Δ<0\Delta < 0, le polynôme PP est du signe de aa sur R\mathbb{R}.
  • Si Δ=0\Delta = 0, le polynôme PP est du signe de aa sur R\mathbb{R} et il s'annule en x=b2ax=-\dfrac{b}{2a}.
  • Si Δ>0\Delta > 0, le polynôme PP est du signe de aa à l'extérieur de ses racines x1x_1 et x2x_2 et du signe opposé entre elles.
    ++\infty
    -\infty
    xx
    x1x_1
    x2x_2
    P(x)P(x)
    00
    00
    signe(a)\text{signe(a)}
    signe(a)\text{signe(a)}
    signe(-a)\text{signe(-a)}