Propriété n°1 --
Racines réelles d'un polynôme du second degré
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels avec $a\neq0$.
On considère le polynôme $P(x)=ax^2+bx+c$ et son discriminant $\Delta = b^2-4ac$.
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Si $\Delta <0$ alors $P$ ne possède aucune racine réelle.
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Si $\Delta = 0$ alors $P$ possède une racine double : $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
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Si $\Delta > 0$ alors $P$ possède deux racines distinctes conjuguées :
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\,\,\:$ et $\:\,\,x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
Propriété n°2--
Forme factorisée d'un polynôme du second degré
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels avec $a\neq0$.
On considère le polynôme $P(x)=ax^2+bx+c$ et son discriminant $\Delta = b^2-4ac$.
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Si $\Delta < 0$, $P$ ne possède pas de forme factorisée.
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Si $\Delta = 0$, $P(x)=a(x-x_0)^2$.
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Si $\Delta > 0$, $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
Propriété n°3--
Signe d'un polynôme du second degré
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels avec $a\neq0$.
On considère le polynôme $P(x)=ax^2+bx+c$ et son discriminant $\Delta = b^2-4ac$.
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Si $\Delta < 0$, le polynôme $P$ est du signe de $a$ sur $\mathbb{R}$.
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Si $\Delta = 0$, le polynôme $P$ est du signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ et il s'annule en $x=-\dfrac{b}{2a}$.
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Si $\Delta > 0$, le polynôme $P$ est du signe de $a$ à l'extérieur de ses racines $x_1$ et $x_2$ et du signe opposé entre elles.