Calculer un terme d'une suite définie par une formule explicite

Exercice
Soit $(u_n)$ définie pour tout entier $n$ par $u_n=45\times(0,6)^n$. Caculer $u_{8}$.

Solution
On remplace $n$ par $8$ dans la formule. $u_8 = 45\times(0,6)^8$ $\approx$ $0,756$.

Calculer un terme d'une suite définie par récurrence

Exercice
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et pour tout entier $n$ par $u_{n+1}=0,1u_n+1$. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$

Solution
$u_1=0,1u_0+1$ $=$ $0,1\times5+1$ $=$ $1,5$.
$u_2=0,1u_1+1$ $=$ $0,1\times1,5+1$ $=$ $1,15$.
$u_3=0,1u_2+1$ $=$ $0,1\times1,15+1$ $=$ $1,115$.

Suite arithmétique

• pour tout entier $n$, $u_{n+1}=u_n+r$,
• pour tout entier $n$, $u_n= u_0+nr$,
• pour tout entiers $n$ et $m$, $u_n= u_m+(n-m)r$,
• pour tout entier $n$, $\displaystyle{\sum_{k=0}^nu_k}$ $=$ $u_0+u_1+\cdots+u_n$ $=$ $\dfrac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}$.

Suite géométrique

• pour tout entier $n$, $u_{n+1}=qu_n$,
• pour tout entier $n$, $u_n= u_0q^n$,
• pour tout entiers $n$ et $m$, $u_n= u_mq^{n-m}$,
• pour tout entier $n$, $\displaystyle{\sum_{k=0}^nu_k}$ $=$ $u_0+u_1+\cdots+u_n$ $=$ $u_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Algorithme pour calculer un terme

Exemple
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=250$ et $u_{n+1} = 0,9u_n+10$.
L'algorithme ci-dessous permet de calculer et d'afficher $u_8$ et $u_{10}$.

def u(n):
    u = 250
    for i in range(1,n+1):
        u = 0.9*u+10
    return u
    
print u(8))
print(u(10))

Algorithme pour déterminer le premier terme vérifiant une condition

Exemple
Soit $(u_n)$ la suite définie par $v_0=100$ et $v_{n+1} = 1,05v_n+25$.
L'algorithme ci-dessous permet de déterminer le premier terme de la suite supérieur ou égal à $5\,000$ et affiche son rang.

v = 100
while v < 5000:
    n = n+1
    v = 1.05*v+25

print(n)

Suites arithmético-géométriques

Exercice
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=4$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1}=3u_n+2$.
La suite $(v_n)$ est définie pour tout entier $n$ par $v_n=u_n+1$.

1. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
2. Exprimer alors $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.

Solution

1. Pour tout entier $n$ :
   

   $v_{n+1}$	$=$	$u_{n+1}+1$
   	$=$	$3u_n+2+1$
   	$=$	$3u_n+3$
   	$=$	$3(u_n+1)$
   	$=$	$3v_n$.

   La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $3$.
2. $v_0$ $=$ $u_0+1$ $=$ $4+1$ $=$ $5$.
   On a alors :
   $v_n=v_0\times3^n$ et donc $v_n=5\times3^n$.
   De plus :
   $v_n=u_n+1$ donc $u_n=v_n-1$.
   Ainsi : $u_n=5\times3^{n}+1$.