1ère ∼ Spécialité mathématique
Dérivation
Définition n°1 -- Nombre dérivé
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Soient $a$ et $x$ deux réels de $I$.
Si lorsque $x$ se rapproche de $a$, le taux d'accroissement $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ se rapproche d'un nombre alors la fonction $f$ est dite dérivable en $a$ et : $$f'(a) = \lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a},$$ s'appelle le nombre dérivée de $f$ en $a$.
Propriété n°1 -- Équation de la tangente
Soit $f$ une fonction dérivable en $a$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
1. Le nombre dérivée $f'(a)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $a$.
2. L'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $a$ est : $$y=f'(a)(x-a)+f(a).$$
$f(x)$ $f'(x)$
$c$ (constante) $0$
$ax$ $a$
$x^2$ $2x$
$x^n$ $nx^{n-1}$
$\dfrac{1}{x}$ $-\dfrac{1}{x^2}$
$\dfrac{1}{x^n}$ $-\dfrac{-n}{x^{n+1}}$
$\sqrt{x}$ $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\sqrt{ax+b}$ $\dfrac{a}{2\sqrt{ax+b}}$
$f(x)$ $f'(x)$
$k\times u$ $k\times u'$
$u+v$ $u'+v'$
$uv$ $u'v+uv'$
$\dfrac{u}{v}$ $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
$g(ax+b)$ $ag'(ax+b)$
Lecture graphique
Pour déterminer graphiquement un nombre dérivé $f'(a)$ il faut calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ en $a$.

Exercice
Dans le repère ci-contre est tracée la courbe représentative d'une fonction $f$, ainsi que sa tangente en $1$. Déterminer $f'(1)$.
Solution
Les points $(1\,;0)$ et $(2\,;3)$ sont sur la tangente. Ainsi : $f'(1) = \dfrac{3-0}{2-1}$ $=$ $3$.