1ère ∼ Spécialité mathématique
Géométrie
Produit scalaire
u⃗⋅v⃗=∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣×cos⁡(u⃗,v⃗).\vec{u}\cdot\vec{v} = ||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times\cos(\vec{u},\,\vec{v}).
Produit scalaire
Si u⃗=(xy)\vec{u}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et v⃗=(x′y′)\vec{v}=\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} alors : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′.\vec{u}\cdot\vec{v} = xx'+yy'.
Propriété n°1Orthogonalité
u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux si et seulement si u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\cdot\vec{v} = 0.
Propriété n°2
  • u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}
  • u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}
  • (k1u⃗)⋅(k2v⃗)=(k1×k2)u⃗⋅v⃗(k_1\vec{u})\cdot(k_2\vec{v}) = (k_1\times k_2)\vec{u}\cdot\vec{v}
Propriété n°3
  • u⃗⋅u⃗=∣∣u⃗∣∣2\vec{u}\cdot\vec{u} = ||\vec{u}||^2
  • ∣∣u⃗+v⃗∣∣2=∣∣u⃗∣∣2+∣∣v∣∣2+2u⃗⋅v⃗||\vec{u}+\vec{v}||^2=||\vec{u}||^2+||v||^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}
Propriété n°4 -- Équation cartésienne d'une droite
Soit (d)(d) une droite du plan dont une équation cartésienne est ax+by=cax+by=c.
  • Le vecteur u⃗=(−ba)\vec{u}=\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} est un vecteur directeur de (d)(d).
  • Le vecteur n⃗=(ab)\vec{n}=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} est un vecteur normal à (d)(d).