1ère ∼ Spécialité mathématique
Géométrie
Produit scalaire
$$\vec{u}\cdot\vec{v} = ||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times\cos(\vec{u},\,\vec{v}).$$
Produit scalaire
Si $\vec{u}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}=\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ alors : $$\vec{u}\cdot\vec{v} = xx'+yy'.$$
Propriété n°1Orthogonalité
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.
Propriété n°2
  • $\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}$
  • $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$
  • $(k_1\vec{u})\cdot(k_2\vec{v}) = (k_1\times k_2)\vec{u}\cdot\vec{v}$
Propriété n°3
  • $\vec{u}\cdot\vec{u} = ||\vec{u}||^2$
  • $||\vec{u}+\vec{v}||^2=||\vec{u}||^2+||v||^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}$
Propriété n°4 -- Équation cartésienne d'une droite
Soit $(d)$ une droite du plan dont une équation cartésienne est $ax+by=c$.
  • Le vecteur $\vec{u}=\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
  • Le vecteur $\vec{n}=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $(d)$.