Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°2
Question de cours
  1. Donner la définition d'une suite majorée.
    2. Une suite numérique (un)(u_n) est majorée lorsque tous ses termes sont inférieurs à une même constante MM appelée majorant.
  2. Donner la définition d'une suite décroissante.
    3. Une suite (un)(u_n) est décroissante, si pour tout entier nn, un+1≤unu_{n+1}\leq u_n.
Soit ff la fonction définie pour tout x∈Rx\in\mathbb{R} par f(x)=15x(3−x)2f(x)=\dfrac{1}{5}x(3-x)^2.
On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=0,5u_0=0,5 et pour tout entier nn, un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n).
  1. Justifier que pour tout réel xx, f′(x)=35(x−1)(x−3)f'(x)=\dfrac{3}{5}(x-1)(x-3).
    2. Pour tout réel xx on a :
    f(x)=15x(x2−6x+9)f(x)=\dfrac{1}{5}x(x^2-6x+9) == 15(x3−6x2+9x)\dfrac{1}{5}(x^3-6x^2+9x).
    Ainsi, pour tout réel xx :
    f′(x)=15(3x2−12x+9)f'(x)=\dfrac{1}{5}(3x^2-12x+9) == 35(x2−4x+3)\dfrac{3}{5}(x^2-4x+3).
    On remarque que : (x−1)(x−3)(x-1)(x-3) == x2−3x−x+3x^2-3x-x+3 == x2−4x+3x^2-4x+3, ainsi, on a bien :
    f′(x)=35(x−1)(x−3)f'(x)=\dfrac{3}{5}(x-1)(x-3).
  2. En déduire les variations de ff sur [0;1][0\,;\,1].
    3. Pour déterminer les variations de ff sur [0;1][0\,;\,1], on détermine tout d'abord le signe de f′f' sur cet intervalle.
    Or, si x≤1x\leq 1 alors x−1≤0x-1 \leq 0 ainsi que x−3≤0x-3\leq 0.
    D'après la règle des signes, pour tout x∈[0;1]x\in [0\,;\,1] on a f′(x)≥0f'(x) \geq 0 et on peut alors affirmer que la fonction ff est croissante sur [0;1][0\,;\,1].
  3. Recopier et compléter le tableau ci-dessous et émettre une conjecture sur le sens de variations de la suite (un)(u_n).
    nn 00 11 22 33 44
    unu_n
    À l'aide de la calculatrice et en arrondissant à 10−310^{-3}, on a :
    nn 00 11 22 33 44
    unu_n 0,50,5 0,6250,625 0,7050,705 0,7430,743 0,7570,757
    On peut alors conjecturer que la suite semble être croissante.
  4. Montrer par récurrence que pour tout entier nn : 2 0≤un≤un+1≤10 \leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 1.
    5. Initialisation
    Pour n=0n=0 on a un=u0=0,5u_n= u_0=0,5 et un+1=u1=0,625u_{n+1} = u_1 = 0,625.
    Ainsi, on a bien, pour n=0n=0 : 0≤un≤un+1≤1\,\,0 \leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 1.

    Hérédité
    Supposons que pour un certain entier nn on a : 0≤un≤un+1≤1.0 \leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 1. Montrons alors que : 0≤un+1≤un+2≤1.0 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 1.

    D'après l'hypothèse de récurrence on a :
    00 ≤\leq unu_{n} ≤\leq un+1u_{n+1} ≤\leq 11
    f(0)f(0) ≤\leq f(un)f(u_{n}) ≤\leq f(un+1)f(u_{n+1}) ≤\leq f(1)f(1) car ff est croissante sur [0;1][0\,;\,1].
    00 ≤\leq un+1u_{n+1} ≤\leq un+2u_{n+2} ≤\leq 0,80,8 par définition de (un)(u_n)
    ⇒\Rightarrow 00 ≤\leq un+1u_{n+1} ≤\leq un+2u_{n+2} ≤\leq 11 car 0,8<10,8 <1.


    Conclusion
    D'après le principe de récurrence, pour tout entier nn on a : 0≤un≤un+1≤1.0 \leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 1.
  5. Que peut-on en déduire pour la suite (un)(u_n) ?
    6. D'après l'encadrement de la question précédente, on peut affirmer que la suite (un)(u_n) est croissante car pour tout entier nn, un≤un+1u_{n} \leq u_{n+1}.
    Elle est de plus minorée par 00 et majorée par 11.
  6. Recopier et compléter la fonction Python suivante suite(n) qui prend comme paramètre le rang nn et renvoie la valeur du terme unu_n. def suite(n): u = ... for i in range(0,n): ... return u
    7. def suite(n): u = 0.5 for i in range(0,n): u = 1/5*u*(3-u)**2 return u