Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°2
Question de cours
  1. Donner la définition d'une suite majorée.
    2. Une suite numérique $(u_n)$ est majorée lorsque tous ses termes sont inférieurs à une même constante $M$ appelée majorant.
  2. Donner la définition d'une suite décroissante.
    3. Une suite $(u_n)$ est décroissante, si pour tout entier $n$, $u_{n+1}\leq u_n$.
Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{5}x(3-x)^2$.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0,5$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
  1. Justifier que pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{3}{5}(x-1)(x-3)$.
    2. Pour tout réel $x$ on a :
    $f(x)=\dfrac{1}{5}x(x^2-6x+9)$ $=$ $\dfrac{1}{5}(x^3-6x^2+9x)$.
    Ainsi, pour tout réel $x$ :
    $f'(x)=\dfrac{1}{5}(3x^2-12x+9)$ $=$ $\dfrac{3}{5}(x^2-4x+3)$.
    On remarque que : $(x-1)(x-3)$ $=$ $x^2-3x-x+3$ $=$ $x^2-4x+3$, ainsi, on a bien :
    $f'(x)=\dfrac{3}{5}(x-1)(x-3)$.
  2. En déduire les variations de $f$ sur $[0\,;\,1]$.
    3. Pour déterminer les variations de $f$ sur $[0\,;\,1]$, on détermine tout d'abord le signe de $f'$ sur cet intervalle.
    Or, si $x\leq 1$ alors $x-1 \leq 0$ ainsi que $x-3\leq 0$.
    D'après la règle des signes, pour tout $x\in [0\,;\,1]$ on a $f'(x) \geq 0$ et on peut alors affirmer que la fonction $f$ est croissante sur $[0\,;\,1]$.
  3. Recopier et compléter le tableau ci-dessous et émettre une conjecture sur le sens de variations de la suite $(u_n)$.
    $n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$
    $u_n$
    À l'aide de la calculatrice et en arrondissant à $10^{-3}$, on a :
    $n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$
    $u_n$ $0,5$ $0,625$ $0,705$ $0,743$ $0,757$
    On peut alors conjecturer que la suite semble être croissante.
  4. Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ : 2 $0 \leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 1$.
    5. Initialisation
    Pour $n=0$ on a $u_n= u_0=0,5$ et $u_{n+1} = u_1 = 0,625$.
    Ainsi, on a bien, pour $n=0$ : $\,\,0 \leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 1$.

    Hérédité
    Supposons que pour un certain entier $n$ on a : $$0 \leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 1.$$ Montrons alors que : $$0 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 1.$$

    D'après l'hypothèse de récurrence on a :
    $0$ $\leq$ $u_{n}$ $\leq$ $u_{n+1}$ $\leq$ $1$
    $f(0)$ $\leq$ $f(u_{n})$ $\leq$ $f(u_{n+1})$ $\leq$ $f(1)$ car $f$ est croissante sur $[0\,;\,1]$.
    $0$ $\leq$ $u_{n+1}$ $\leq$ $u_{n+2}$ $\leq$ $0,8$ par définition de $(u_n)$
    $\Rightarrow$ $0$ $\leq$ $u_{n+1}$ $\leq$ $u_{n+2}$ $\leq$ $1$ car $0,8 <1$.


    Conclusion
    D'après le principe de récurrence, pour tout entier $n$ on a : $$0 \leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 1.$$
  5. Que peut-on en déduire pour la suite $(u_n)$ ?
    6. D'après l'encadrement de la question précédente, on peut affirmer que la suite $(u_n)$ est croissante car pour tout entier $n$, $u_{n} \leq u_{n+1}$.
    Elle est de plus minorée par $0$ et majorée par $1$.
  6. Recopier et compléter la fonction Python suivante suite(n) qui prend comme paramètre le rang $n$ et renvoie la valeur du terme $u_n$. def suite(n): u = ... for i in range(0,n): ... return u
    7. def suite(n): u = 0.5 for i in range(0,n): u = 1/5*u*(3-u)**2 return u