Une suite numérique $(u_n)$ est majorée lorsque tous ses termes sont inférieurs à une même constante $M$ appelée majorant.

Une suite $(u_n)$ est décroissante, si pour tout entier $n$, $u_{n+1}\leq u_n$.

Pour tout réel $x$ on a :
$f(x)=\dfrac{1}{5}x(x^2-6x+9)$ $=$ $\dfrac{1}{5}(x^3-6x^2+9x)$.
Ainsi, pour tout réel $x$ :
$f'(x)=\dfrac{1}{5}(3x^2-12x+9)$ $=$ $\dfrac{3}{5}(x^2-4x+3)$.
On remarque que : $(x-1)(x-3)$ $=$ $x^2-3x-x+3$ $=$ $x^2-4x+3$, ainsi, on a bien :
$f'(x)=\dfrac{3}{5}(x-1)(x-3)$.

Pour déterminer les variations de $f$ sur $[0\,;\,1]$, on détermine tout d'abord le signe de $f'$ sur cet intervalle.
Or, si $x\leq 1$ alors $x-1 \leq 0$ ainsi que $x-3\leq 0$.
D'après la règle des signes, pour tout $x\in [0\,;\,1]$ on a $f'(x) \geq 0$ et on peut alors affirmer que la fonction $f$ est croissante sur $[0\,;\,1]$.

Initialisation
Pour $n=0$ on a $u_n= u_0=0,5$ et $u_{n+1} = u_1 = 0,625$.
Ainsi, on a bien, pour $n=0$ : $\,\,0 \leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 1$.

Hérédité
Supposons que pour un certain entier $n$ on a : $0 \leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 1.$ Montrons alors que : $0 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 1.$

D'après l'hypothèse de récurrence on a :

	$0$	$\leq$	$u_{n}$	$\leq$	$u_{n+1}$	$\leq$	$1$
	$f(0)$	$\leq$	$f(u_{n})$	$\leq$	$f(u_{n+1})$	$\leq$	$f(1)$	car $f$ est croissante sur $[0\,;\,1]$.
	$0$	$\leq$	$u_{n+1}$	$\leq$	$u_{n+2}$	$\leq$	$0,8$	par définition de $(u_n)$
$\Rightarrow$	$0$	$\leq$	$u_{n+1}$	$\leq$	$u_{n+2}$	$\leq$	$1$	car $0,8 <1$.

Conclusion
D'après le principe de récurrence, pour tout entier $n$ on a : $0 \leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 1.$

D'après l'encadrement de la question précédente, on peut affirmer que la suite $(u_n)$ est croissante car pour tout entier $n$, $u_{n} \leq u_{n+1}$.
Elle est de plus minorée par $0$ et majorée par $1$.

def suite(n): u = 0.5 for i in range(0,n): u = 1/5*u*(3-u)**2 return u

xxxxxxxxxx

 

1

def suite(n):

2

    u = 0.5

3

    for i in range(0,n):

4

       u = 1/5*u*(3-u)**2

5

    return u

Exécuter