Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°3
Recopier et complèter cette propriété du cours :
« Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si il existe deux réels . . . . . . . . . . .»
Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ non tous nuls tels que $\vec{w}$ $=$ $\lambda \vec{u} + \mu\vec{v}$.
On se place dans un repère de l'espace et on considère les points $A(0\,;\,3\,;-2)$, $B(-1\,;\,2\,;1)$ et $C(2\,;\,1\,;-8)$, ainsi qu'un vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ -9 \end{pmatrix}$.
Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
On regarde pour cela si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
Or, $\dfrac{x_{\overrightarrow{AC}}}{x_{\overrightarrow{AB}}}$ $=$ $-2$ $\neq$ $\dfrac{y_{\overrightarrow{AC}}}{y_{\overrightarrow{AB}}}$ $=$ $2$. Ainsi, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
Remarque : on peut dire que $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
Le vecteur $\vec{u}$ dirige-t-il la droite $(AB)$ ?
On a $\vec{u} = -3\overrightarrow{AB}$. Ces deux vecteurs sont donc colinéaires et le vecteur $\vec{u}$ dirige la droite $(AB)$.
Donner une paramétrisation de la droite $d$ parallèle à $(AB)$ passant par $C$.
La droite $d$ est dirigée par $\overrightarrow{AB}$ et passe par $C$, on a pour paramétrisation :
$\left\{ \begin{array}{rcl}
x & = & x_C+x_{\overrightarrow{AB}}t \\
y & = & y_C+y_{\overrightarrow{AB}}t \\
z & = & z_C+z_{\overrightarrow{AB}}t
\end{array} \right., t\in\mathbb{R}$
$\Longleftrightarrow$
$\left\{ \begin{array}{rcl}
x & = & 2-t \\
y & = & 1-t \\
z & = & -8+3t
\end{array} \right., t\in\mathbb{R}$
Donner les coordonnées d'un point de la droite $d$ qui ne soit pas le point $C$.
On remplace par exemple $t$ par $1$ dans la paramétrisation précédente et on obtient $(1\,;\, 0 \,;\, -5)$.
Le point $D(12\,;\, 11 \,;\, -38)$ appartient-il à $d$ ?
Pour que $D$ appartiennent à $d$ il faut qu'il faut $t\in\mathbb{R}$ tel que :
$$\left\{ \begin{array}{rcl}
x_D & = & 2-t \\
y_D & = & 1-t \\
z_D & = & -8+3t
\end{array}\right.$$
On résout l'équation avec $x_D$ :
$x_D = 2-t$ $\Longleftrightarrow$ $12 = 2-t$ $\Longleftrightarrow$ $t=-10$.
En remplaçant $t$ par $-10$ dans la paramétrisation on regarde si on obtient bien $y_D$ et $z_D$.
En $y$ : $1-t=1-(-10)$ $=$ $11$ $=$ $y_D$.
En $z$ : $-8+3\times(-10)$ $=$ $-8-30$ $=$ $-38$ $=$ $z_D$.
Ainsi $D$ appartient à la droite $d$.
Soient $d$ et $d'$ deux droites d'un repère de l'espace dont les représentations paramètriques respectives sont :
$\left\{ \begin{array}{rcl}
x & = & 3+4t \\
y & = & 7-2t \\
z & = & 3t
\end{array} \right., t\in\mathbb{R}$
20
$\left\{ \begin{array}{rcl}
x & = & 3t' \\
y & = & -t'+6 \\
z & = & 4t'-6
\end{array} \right., t'\in\mathbb{R}$
Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur pour $d$ puis pour $d'$. En déduire si les droites $d$ et $d'$ sont parallèles ou non.
Il suffit pour cela de regarder les coefficients de $t$ et $t'$ dans les paramétrisations.
Le vecteur $\vec{u}=\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix}$ dirige $d$.
Le vecteur $\vec{v}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix}$ dirige $d'$.
On a alors que $\dfrac{y_{\vec{u}}}{y_{\vec{v}}} = 2 \neq \dfrac{z_{\vec{u}}}{z_{\vec{v}}} = \dfrac{3}{4}$. Les vecteurs directeurs de $d$ et $d'$ ne sont pas colinéaires et donc les droites ne sont pas parallèles.
Les droites $d$ et $d'$ sont-elles sécantes ? Si oui déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
Pour répondre à cette question il nous résoudre le système suivant :
Le système n'admet donc pas de solution et les droites $d$ et $d'$ sont ainsi non sécantes. Puisqu'elles ne sont ni parallèles, ni sécantes, elles sont non coplanaires.
Soient $A(1\,;\, -1 \,;\, 0)$ un point de l'espace et $M$ un point de $d$.
En utilisant la représentation paramètrique de la droite $d$, justifier qu'il existe une réel $t$ tel que $AM^2 = 29t^2-16t+68$.
Puisque $M\in d$, il existe $t\in\mathbb{R}$ tel que $M( 3+4t \,;\, 7-2t \,;\, 3t)$.
On a alors :
$AM^2$
$=$
$(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2+(z_M-xz_A)^2$
$=$
$(3+4t-1)^2+(7-2t+1)^2+(3t)^2$
$=$
$(4t+2)^2+(8-2t)^2+9t^2$
$=$
$16t^2+16t+4+64-32t+4t^2+9t^2$
$=$
$29t^2-16t+68$.
Déterminer la valeur de $t$ pour laquelle $AM^2$ est minimal. En déduire la distance du point $A$ à la droite $d$.
$AM^2$ est un polynôme du second degré avec $a=29>0$, $b=-16$ et $c=68$. Il est minimal pour $t=-\dfrac{b}{2a}$ $=$ $\dfrac{16}{58}$ $=$ $\dfrac{8}{29}$.
La fonction racine carrée étant strictement croissante sur $[0\,; +\infty[$, la distance $AM = \sqrt{AM^2}$ est minimale pour cette même valeur de $t$ et vaut :