Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°2 Exercice 1

Restitution organisée de connaissances

L'objectif de cet exercice est de démontrer le théorème de limite par comparaison.

Soient

(u_n)

(v_n)

deux suites telles qu'à partir d'un certain rang

u_n \leq v_n

.
On suppose de plus que

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty}

et on considère un nombre réel

A

D'après l'hypothèse sur la suite $(u_n)$ , que peut-on dire de l'intervalle $]A\,;+\infty[$ ?

Correction

Puisque la suite

(u_n)

diverge vers

+\infty

, par définition, on sait que l'intervalle

]A\,;+\infty[

va contenir, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite

(u_n)

Démontrer alors que la suite $(v_n)$ diverge vers l'infini.

Correction

D'après la question précédente, nous savons qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite

(u_n)

vérifient :

A < u_n.

Or, par hypothèse, à partir d'un certain rang,

u_n \leq v_n

.
Ainsi, pour

n

assez grand on a :

A < u_n \leq v_n

, c'est-à-dire :

A < v_n

.
On peut alors affirmer qu'à partir d'un certain rang tous les termes de la suite

(v_n)

sont dans l'intervalle

]A\,;+\infty[

, et donc que la suite

(v_n)

diverge vers

+\infty

Exercice 2 Déterminer les limites suivantes :

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^2+\sqrt{n}}

Correction

Nous savons que

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^2 = +\infty}

et que

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt{n}=+\infty}

.

Ainsi, par somme de limites :

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^2+\sqrt{n}=+\infty}

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^2-2n^3+1 }

Correction

Pour tout entier

n>0

on a :

$n^2-2n^3+1$	$=$	$n^3\left(\dfrac{n^2}{n^3}-2+\dfrac{1}{n^3} \right)$
	$=$	$n^3\left(\dfrac{1}{n}-2+\dfrac{1}{n^3} \right)$ .

Or,

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}}=0

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n^3}} = 0

.

Ainsi,

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{1}{n}-2+\dfrac{1}{n^3} \right)=-2}

.

De plus

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^3=+\infty}

, donc par produits de limites :

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^2-2n^3+1=-\infty.}

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{n^2+3n+1}{n+2}}

Correction

Pour tout entier

n>0

$\dfrac{n^2+3n+1}{n+2}$	$=$	$\dfrac{n^2\left(1+\dfrac{3n}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}\right)}{n\left(1+\dfrac{2}{n}\right)}$
	$=$	$\dfrac{n^2\left(1+\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)}{n\left(1+\dfrac{2}{n}\right)}$
	$=$	$\dfrac{n\left(1+\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)}{1+\dfrac{2}{n}}$ .

Or,

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}}=0

, donc

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{2}{n}}=0

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{3}{n}}=0

.
De plus,

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n^2}=0}

, ainsi :

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{n^2+3n+1}{n+2}}

=

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{n\times(1+0)}{1+0}}

=

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} n}

=

+\infty

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}3\times(0,9)^n+1\,993}

Correction

Puisque

0,9\in[0\,;1[

, on a

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}(0,9)^n}=0

, ainsi :

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}3\times(0,9)^n+1\,993}

=

3\times0+1\,993

=

1\,993

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}1,2^n-1,4^n}

Correction

Pour tout entier

n

$1,2^n-1,4^n$	$=$	$1,4^n\left(\dfrac{1,2^n}{1,4^n}-1 \right)$
	$=$	$1,4^n\left(\left(\dfrac{1,2}{1,4}\right)^n-1 \right)$
	$=$	$1,4^n\left(\left(\dfrac{6}{7}\right)^n-1 \right)$ .

On a que

\dfrac{6}{7}\in[0\,;1[

, donc

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{6}{7}\right)^n-1}

=

0-1

=

-1

.

De plus, puisque

1,4 >1

, on a

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}1,4^n=+\infty}

et donc :

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}1,2^n-1,4^n} = -\infty.

Exercice 3 Soit

(u_n)

la suite définie par

u_0=140

et pour tout entier

n

u_{n+1}=\dfrac{1}{5}u_n+50

Quel(s) terme(s) de la suite $(u_n)$ l'algorithme ci-dessous permet-il d'afficher ?
u = 140 for i in range(1,10): u = 0.2*u+50 print(u)
xxxxxxxxxx

1
u = 140
2
for i in range(1,10):
3
u = 0.2*u+50
4
print(u)

Correction

Le premier terme de la suite

u_0

n'est pas affiché car la première instruction print s'exécute après le calcul de

u_1

à la ligne 3.
Ainsi, le premier terme affiché est

u_1

. La boucle for étant exécutée

9

fois (car range(1,10) = [1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9]) tous les termes de

u_1

jusqu'à

u_9

sont en fait affichés.
On peut vérifier cela en exécutant l'algorithme :

xxxxxxxxxx
 
u = 140
for i in range(1,10):
    u = 0.2*u+50
    print(u)

Exécuter

Recopier et compléter le tableau ci-dessous et émettre une conjecture sur le sens de variations de la suite $(u_n)$ .

$n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$

$u_n$

Correction

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$u_n$	$140$	$78$	$65,6$	$63,12$	$62,624$

La suite

(u_n)

semble être strictement décroissante.

Soit $f$ la fonction défine sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{5}x+50$ . Donner les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

Correction

f

est une fonction affine de coefficient directeur

\dfrac{1}{5}>0

. Elle est donc strictement croissante sur

\mathbb{R}

Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ : $62,5 \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 140$ .

Correction

Initialisation
On a

u_0=140

u_1=78

. Ainsi :

62,5 \leq u_1 \leq u_0 \leq 140

est bien vérifiée.
La propriété est initialisée à

n=0

.

Hérédité
Supposons que un certain entier

n

62,5 \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 140.

Montrons alors que :

62,5 \leq u_{n+2} \leq u_{n+1} \leq 140.

D'après l'hypothèse de récurrence on a :

$62,5$	$\leq$	$u_{n+1}$	$\leq$	$u_{n}$	$\leq$	$140$
$f(62,5)$	$\leq$	$f(u_{n+1})$	$\leq$	$f(u_{n})$	$\leq$	$f(140)$	La fonction $f$ étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$
$62,5$	$\leq$	$u_{n+2}$	$\leq$	$u_{n+1}$	$\leq$	$78$	car $f(u_n)=u_{n+1}$
$62,5$	$\leq$	$u_{n+2}$	$\leq$	$u_{n+1}$	$\leq$	$140$	car $78 < 140$ .

Conclusion
D'après le principe de récurrence, pour tout entier

n

62,5 \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 140

Démontrer alors que la suite $(u_n)$ est convergente.

Correction

D'après la question précédente la suite

(u_n)

est décroissante, puisque pour tout entier

n

u_{n+1} \leq u_n

.
De plus, la suite

(u_n)

est minorée par

62,5

, elle est donc convergente.

Question bonus

n

u_n= \dfrac{77,5}{5^n}+62,5

\alpha

(u_n)

\alpha

f(x)=x

Correction

On a

5>1

, donc

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}5^n}

=

+\infty

et donc

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{77,5}{5^n}}

=

0

.
Ainsi,

\alpha =

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}

=

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{77,5}{5^n}+62,5}

=

62,5

.

Vérifions maintenant que

\alpha = 62,5

est bien solution de

f(x)=x

$f(x)$	$=$	$x$
$\dfrac{1}{5}x+50$	$=$	$x$
$\dfrac{1}{5}x-x$	$=$	$-50$
$-\dfrac{4}{5}x$	$=$	$-50$
$x$	$=$	$50\dfrac{5}{4}$
$x$	$=$	$62,5$ .

On peut conclure que

\alpha

est bien solution de l'équation

f(x)=x