Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°2
Restitution organisée de connaissances
L'objectif de cet exercice est de démontrer le théorème de limite par comparaison.

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles qu'à partir d'un certain rang $u_n \leq v_n$.
On suppose de plus que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty}$ et on considère un nombre réel $A$.
  1. D'après l'hypothèse sur la suite $(u_n)$, que peut-on dire de l'intervalle $]A\,;+\infty[$ ?
    2. Puisque la suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$, par définition, on sait que l'intervalle $]A\,;+\infty[$ va contenir, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite $(u_n)$.
  2. Démontrer alors que la suite $(v_n)$ diverge vers l'infini.
    3. D'après la question précédente, nous savons qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite $(u_n)$ vérifient : $$A < u_n.$$ Or, par hypothèse, à partir d'un certain rang, $u_n \leq v_n$.
    Ainsi, pour $n$ assez grand on a : $A < u_n \leq v_n$, c'est-à-dire : $A < v_n$.
    On peut alors affirmer qu'à partir d'un certain rang tous les termes de la suite $(v_n)$ sont dans l'intervalle $]A\,;+\infty[$, et donc que la suite $(v_n)$ diverge vers $+\infty$.
Déterminer les limites suivantes :

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^2+\sqrt{n}}$ Nous savons que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^2 = +\infty}$ et que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt{n}=+\infty}$.

Ainsi, par somme de limites : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^2+\sqrt{n}=+\infty}$. $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^2-2n^3+1 }$ Pour tout entier $n>0$ on a :
$n^2-2n^3+1$ $=$ $n^3\left(\dfrac{n^2}{n^3}-2+\dfrac{1}{n^3} \right)$
$=$ $n^3\left(\dfrac{1}{n}-2+\dfrac{1}{n^3} \right)$.

Or, $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}}=0$ et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n^3}} = 0$.

Ainsi, $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{1}{n}-2+\dfrac{1}{n^3} \right)=-2}$.

De plus $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^3=+\infty}$, donc par produits de limites : $$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^2-2n^3+1=-\infty.}$$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{n^2+3n+1}{n+2}}$ Pour tout entier $n>0$ :
$\dfrac{n^2+3n+1}{n+2}$ $=$ $\dfrac{n^2\left(1+\dfrac{3n}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}\right)}{n\left(1+\dfrac{2}{n}\right)}$
$=$ $\dfrac{n^2\left(1+\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)}{n\left(1+\dfrac{2}{n}\right)}$
$=$ $\dfrac{n\left(1+\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)}{1+\dfrac{2}{n}}$.
Or, $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}}=0$, donc $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{2}{n}}=0$ et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{3}{n}}=0$.
De plus, $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n^2}=0}$, ainsi :

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{n^2+3n+1}{n+2}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{n\times(1+0)}{1+0}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} n}$ $=$ $+\infty$. $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}3\times(0,9)^n+1\,993}$ Puisque $0,9\in[0\,;1[$, on a $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}(0,9)^n}=0$, ainsi :

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}3\times(0,9)^n+1\,993}$ $=$ $3\times0+1\,993$ $=$ $1\,993$. $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}1,2^n-1,4^n}$ Pour tout entier $n$ :
$1,2^n-1,4^n$ $=$ $1,4^n\left(\dfrac{1,2^n}{1,4^n}-1 \right)$
$=$ $1,4^n\left(\left(\dfrac{1,2}{1,4}\right)^n-1 \right)$
$=$ $1,4^n\left(\left(\dfrac{6}{7}\right)^n-1 \right)$.

On a que $\dfrac{6}{7}\in[0\,;1[$, donc $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{6}{7}\right)^n-1}$ $=$ $0-1$ $=$ $-1$.

De plus, puisque $1,4 >1$, on a $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}1,4^n=+\infty}$ et donc : $$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}1,2^n-1,4^n} = -\infty.$$ Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=140$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{5}u_n+50$.
  1. Quel(s) terme(s) de la suite $(u_n)$ l'algorithme ci-dessous permet-il d'afficher ? u = 140 for i in range(1,10): u = 0.2*u+50 print(u)
    2. Le premier terme de la suite $u_0$ n'est pas affiché car la première instruction print s'exécute après le calcul de $u_1$ à la ligne 3.
    Ainsi, le premier terme affiché est $u_1$. La boucle for étant exécutée $9$ fois (car range(1,10) = [1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9]) tous les termes de $u_1$ jusqu'à $u_9$ sont en fait affichés.
    On peut vérifier cela en exécutant l'algorithme : u = 140 for i in range(1,10): u = 0.2*u+50 print(u)
  2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous et émettre une conjecture sur le sens de variations de la suite $(u_n)$.
    $n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$
    $u_n$
    3. $n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$
    $u_n$ $140$ $78$ $65,6$ $63,12$ $62,624$
    La suite $(u_n)$ semble être strictement décroissante.
  3. Soit $f$ la fonction défine sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{5}x+50$. Donner les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
    4. $f$ est une fonction affine de coefficient directeur $\dfrac{1}{5}>0$. Elle est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
  4. Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ : 2 $62,5 \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 140$.
    5. Initialisation
    On a $u_0=140$ et $u_1=78$. Ainsi : $62,5 \leq u_1 \leq u_0 \leq 140$ est bien vérifiée.
    La propriété est initialisée à $n=0$.

    Hérédité
    Supposons que un certain entier $n$ : $$62,5 \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 140.$$ Montrons alors que : $$62,5 \leq u_{n+2} \leq u_{n+1} \leq 140.$$ D'après l'hypothèse de récurrence on a :
    $62,5$ $\leq$ $u_{n+1}$ $\leq$ $u_{n}$ $\leq$ $140$
    $f(62,5)$ $\leq$ $f(u_{n+1})$ $\leq$ $f(u_{n})$ $\leq$ $f(140)$ La fonction $f$ étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$
    $62,5$ $\leq$ $u_{n+2}$ $\leq$ $u_{n+1}$ $\leq$ $78$ car $f(u_n)=u_{n+1}$
    $62,5$ $\leq$ $u_{n+2}$ $\leq$ $u_{n+1}$ $\leq$ $140$ car $78 < 140$.

    Conclusion
    D'après le principe de récurrence, pour tout entier $n$ : 2 $62,5 \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 140$.
  5. Démontrer alors que la suite $(u_n)$ est convergente.
    6. D'après la question précédente la suite $(u_n)$ est décroissante, puisque pour tout entier $n$, $u_{n+1} \leq u_n$.
    De plus, la suite $(u_n)$ est minorée par $62,5$, elle est donc convergente.     Question bonus
    On admet que pour tout entier $n$, $u_n= \dfrac{77,5}{5^n}+62,5$ et on note $\alpha$ la limite de la suite $(u_n)$. Justifier que $\alpha$ est solution de l'équation $f(x)=x$. On a $5>1$, donc $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}5^n}$ $=$ $+\infty$ et donc $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{77,5}{5^n}}$ $=$ $0$.
    Ainsi, $\alpha =$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{77,5}{5^n}+62,5}$ $=$ $62,5$.

    Vérifions maintenant que $\alpha = 62,5$ est bien solution de $f(x)=x$.

    $f(x)$ $=$ $x$
    $\dfrac{1}{5}x+50$ $=$ $x$
    $\dfrac{1}{5}x-x$ $=$ $-50$
    $-\dfrac{4}{5}x$ $=$ $-50$
    $x$ $=$ $50\dfrac{5}{4}$
    $x$ $=$ $62,5$.

    On peut conclure que $\alpha$ est bien solution de l'équation $f(x)=x$.