Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°2
Restitution organisée de connaissances
L'objectif de cet exercice est de démontrer le théorème de limite par comparaison.

Soient (un)(u_n) et (vn)(v_n) deux suites telles qu'à partir d'un certain rang un≤vnu_n \leq v_n.
On suppose de plus que lim⁡n→+∞un=+∞\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty} et on considère un nombre réel AA.
  1. D'après l'hypothèse sur la suite (un)(u_n), que peut-on dire de l'intervalle ]A;+∞[]A\,;+\infty[ ?
    2. Puisque la suite (un)(u_n) diverge vers +∞+\infty, par définition, on sait que l'intervalle ]A;+∞[]A\,;+\infty[ va contenir, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite (un)(u_n).
  2. Démontrer alors que la suite (vn)(v_n) diverge vers l'infini.
    3. D'après la question précédente, nous savons qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite (un)(u_n) vérifient : A<un.A < u_n. Or, par hypothèse, à partir d'un certain rang, un≤vnu_n \leq v_n.
    Ainsi, pour nn assez grand on a : A<un≤vnA < u_n \leq v_n, c'est-à-dire : A<vnA < v_n.
    On peut alors affirmer qu'à partir d'un certain rang tous les termes de la suite (vn)(v_n) sont dans l'intervalle ]A;+∞[]A\,;+\infty[, et donc que la suite (vn)(v_n) diverge vers +∞+\infty.
Déterminer les limites suivantes :

lim⁡n→+∞n2+n\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^2+\sqrt{n}} Nous savons que lim⁡n→+∞n2=+∞\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^2 = +\infty} et que lim⁡n→+∞n=+∞\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt{n}=+\infty}.

Ainsi, par somme de limites : lim⁡n→+∞n2+n=+∞\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^2+\sqrt{n}=+\infty}. lim⁡n→+∞n2−2n3+1\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^2-2n^3+1 } Pour tout entier n>0n>0 on a :
n2−2n3+1n^2-2n^3+1 == n3(n2n3−2+1n3)n^3\left(\dfrac{n^2}{n^3}-2+\dfrac{1}{n^3} \right)
== n3(1n−2+1n3)n^3\left(\dfrac{1}{n}-2+\dfrac{1}{n^3} \right).

Or, lim⁡n→+∞1n=0\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}}=0 et lim⁡n→+∞1n3=0\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n^3}} = 0.

Ainsi, lim⁡n→+∞(1n−2+1n3)=−2\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{1}{n}-2+\dfrac{1}{n^3} \right)=-2}.

De plus lim⁡n→+∞n3=+∞\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^3=+\infty}, donc par produits de limites : lim⁡n→+∞n2−2n3+1=−∞.\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^2-2n^3+1=-\infty.} lim⁡n→+∞n2+3n+1n+2\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{n^2+3n+1}{n+2}} Pour tout entier n>0n>0 :
n2+3n+1n+2\dfrac{n^2+3n+1}{n+2} == n2(1+3nn2+1n2)n(1+2n)\dfrac{n^2\left(1+\dfrac{3n}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}\right)}{n\left(1+\dfrac{2}{n}\right)}
== n2(1+3n+1n2)n(1+2n)\dfrac{n^2\left(1+\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)}{n\left(1+\dfrac{2}{n}\right)}
== n(1+3n+1n2)1+2n\dfrac{n\left(1+\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)}{1+\dfrac{2}{n}}.
Or, lim⁡n→+∞1n=0\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}}=0, donc lim⁡n→+∞2n=0\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{2}{n}}=0 et lim⁡n→+∞3n=0\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{3}{n}}=0.
De plus, lim⁡n→+∞1n2=0\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n^2}=0}, ainsi :

lim⁡n→+∞n2+3n+1n+2\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{n^2+3n+1}{n+2}} == lim⁡n→+∞n×(1+0)1+0\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{n\times(1+0)}{1+0}} == lim⁡n→+∞n\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} n} == +∞+\infty. lim⁡n→+∞3×(0,9)n+1993\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}3\times(0,9)^n+1\,993} Puisque 0,9∈[0;1[0,9\in[0\,;1[, on a lim⁡n→+∞(0,9)n=0\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}(0,9)^n}=0, ainsi :

lim⁡n→+∞3×(0,9)n+1993\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}3\times(0,9)^n+1\,993} == 3×0+19933\times0+1\,993 == 19931\,993. lim⁡n→+∞1,2n−1,4n\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}1,2^n-1,4^n} Pour tout entier nn :
1,2n−1,4n1,2^n-1,4^n == 1,4n(1,2n1,4n−1)1,4^n\left(\dfrac{1,2^n}{1,4^n}-1 \right)
== 1,4n((1,21,4)n−1)1,4^n\left(\left(\dfrac{1,2}{1,4}\right)^n-1 \right)
== 1,4n((67)n−1)1,4^n\left(\left(\dfrac{6}{7}\right)^n-1 \right).

On a que 67∈[0;1[\dfrac{6}{7}\in[0\,;1[, donc lim⁡n→+∞(67)n−1\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{6}{7}\right)^n-1} == 0−10-1 == −1-1.

De plus, puisque 1,4>11,4 >1, on a lim⁡n→+∞1,4n=+∞\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}1,4^n=+\infty} et donc : lim⁡n→+∞1,2n−1,4n=−∞.\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}1,2^n-1,4^n} = -\infty. Soit (un)(u_n) la suite définie par u0=140u_0=140 et pour tout entier nn, un+1=15un+50u_{n+1}=\dfrac{1}{5}u_n+50.
  1. Quel(s) terme(s) de la suite (un)(u_n) l'algorithme ci-dessous permet-il d'afficher ? u = 140 for i in range(1,10): u = 0.2*u+50 print(u)
    2. Le premier terme de la suite u0u_0 n'est pas affiché car la première instruction print s'exécute après le calcul de u1u_1 à la ligne 3.
    Ainsi, le premier terme affiché est u1u_1. La boucle for étant exécutée 99 fois (car range(1,10) = [1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9]) tous les termes de u1u_1 jusqu'à u9u_9 sont en fait affichés.
    On peut vérifier cela en exécutant l'algorithme : u = 140 for i in range(1,10): u = 0.2*u+50 print(u)
  2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous et émettre une conjecture sur le sens de variations de la suite (un)(u_n).
    nn 00 11 22 33 44
    unu_n
    3. nn 00 11 22 33 44
    unu_n 140140 7878 65,665,6 63,1263,12 62,62462,624
    La suite (un)(u_n) semble être strictement décroissante.
  3. Soit ff la fonction défine sur R\mathbb{R} par f(x)=15x+50f(x)=\dfrac{1}{5}x+50. Donner les variations de ff sur R\mathbb{R}.
    4. ff est une fonction affine de coefficient directeur 15>0\dfrac{1}{5}>0. Elle est donc strictement croissante sur R\mathbb{R}.
  4. Montrer par récurrence que pour tout entier nn : 2 62,5≤un+1≤un≤14062,5 \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 140.
    5. Initialisation
    On a u0=140u_0=140 et u1=78u_1=78. Ainsi : 62,5≤u1≤u0≤14062,5 \leq u_1 \leq u_0 \leq 140 est bien vérifiée.
    La propriété est initialisée à n=0n=0.

    Hérédité
    Supposons que un certain entier nn : 62,5≤un+1≤un≤140.62,5 \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 140. Montrons alors que : 62,5≤un+2≤un+1≤140.62,5 \leq u_{n+2} \leq u_{n+1} \leq 140. D'après l'hypothèse de récurrence on a :
    62,562,5 ≤\leq un+1u_{n+1} ≤\leq unu_{n} ≤\leq 140140
    f(62,5)f(62,5) ≤\leq f(un+1)f(u_{n+1}) ≤\leq f(un)f(u_{n}) ≤\leq f(140)f(140) La fonction ff étant strictement croissante sur R\mathbb{R}
    62,562,5 ≤\leq un+2u_{n+2} ≤\leq un+1u_{n+1} ≤\leq 7878 car f(un)=un+1f(u_n)=u_{n+1}
    62,562,5 ≤\leq un+2u_{n+2} ≤\leq un+1u_{n+1} ≤\leq 140140 car 78<14078 < 140.

    Conclusion
    D'après le principe de récurrence, pour tout entier nn : 2 62,5≤un+1≤un≤14062,5 \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 140.
  5. Démontrer alors que la suite (un)(u_n) est convergente.
    6. D'après la question précédente la suite (un)(u_n) est décroissante, puisque pour tout entier nn, un+1≤unu_{n+1} \leq u_n.
    De plus, la suite (un)(u_n) est minorée par 62,562,5, elle est donc convergente.     Question bonus
    On admet que pour tout entier nn, un=77,55n+62,5u_n= \dfrac{77,5}{5^n}+62,5 et on note α\alpha la limite de la suite (un)(u_n). Justifier que α\alpha est solution de l'équation f(x)=xf(x)=x. On a 5>15>1, donc lim⁡n→+∞5n\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}5^n} == +∞+\infty et donc lim⁡n→+∞77,55n\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{77,5}{5^n}} == 00.
    Ainsi, α=\alpha = lim⁡n→+∞un\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n} == lim⁡n→+∞77,55n+62,5\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{77,5}{5^n}+62,5} == 62,562,5.

    Vérifions maintenant que α=62,5\alpha = 62,5 est bien solution de f(x)=xf(x)=x.

    f(x)f(x) == xx
    15x+50\dfrac{1}{5}x+50 == xx
    15x−x\dfrac{1}{5}x-x == −50-50
    −45x-\dfrac{4}{5}x == −50-50
    xx == 505450\dfrac{5}{4}
    xx == 62,562,5.

    On peut conclure que α\alpha est bien solution de l'équation f(x)=xf(x)=x.