Terminale ∼ Spécialité mathématique
Suites numériques (1)
Propriété n°1 -- Principe de récurrence
On veut montrer qu'une propriété $P_n$ est vraie pour tout entier $n\geq n_0$, avec $n_0$ le premier entier où la propriété est vérifiée (généralement $n_0=0$ ou $n_0=1$).
$\circ$ Initialisation
On vérifie que $P_{n_0}$ est vraie.
$\circ$ Hérédité
On démontre que si $P_n$ est vraie pour un certain entier $n$, alors cela implique que $P_{n+1}$ est vraie.
$\circ$ Conclusion
On peut alors conclure que $P_n$ est vraie pour tout $n\geq n_0$.
Définition n°1 -- Suite numérique
Une suite numérique $(u_n)$ est une fonction dont la variable est un entier naturel $n$.
$$\begin{array}{crcl} u_n : & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & n & \longmapsto & u(n)= u_n, \text{ pour }n\geq n_0. \end{array}$$
$u_{n_0}$ est le premier terme de la suite.

$u_n$ est le terme de rang $n$, ou terme général de la suite.
Définition n°2 -- Suite majorée
Une suite numérique $(u_n)$ est majorée lorsque tous ses termes sont inférieurs à une même constante $M$ appelée majorant.
Ainsi, pour tout entier $n\geq0$, $\,\,u_n\leq M$.
Définition n°3 -- Suite minorée
Une suite numérique $(u_n)$ est minorée lorsque tous ses termes sont supérieurs à une même constante $m$ appelée minorant. Ainsi, pour tout entier $n\geq0$, $\,\,u_n\geq m$.
Définition n°4 -- Suite bornée
Une suite numérique $(u_n)$ est bornée lorsqu'elle est à la fois minorée et majorée. Ainsi, il existe deux réels $m$ et $M$, tels que pour tout entier $n\geq0$, $\,\,m\leq u_n\leq M$.
Définition n°5 -- Sens de variation d'une suite
Soit $(u_n)$ une suite numérique.
  • La suite $(u_n)$ est croissante, si pour tout entier $n$, $u_{n+1}\geq u_n$.
  • La suite $(u_n)$ est décroissante, si pour tout entier $n$, $u_{n+1}\leq u_n$.
  • La suite $(u_n)$ est stationnaire, si il existe $c\in\mathbb{R}$ tel que pour tout entier $n$, $u_n=c$.