Terminale ∼ Spécialité mathématique
Suites numériques (1)
Propriété n°1 -- Principe de récurrence
On veut montrer qu'une propriété PnP_n est vraie pour tout entier n≥n0n\geq n_0, avec n0n_0 le premier entier où la propriété est vérifiée (généralement n0=0n_0=0 ou n0=1n_0=1).
∘\circ Initialisation
On vérifie que Pn0P_{n_0} est vraie.
∘\circ Hérédité
On démontre que si PnP_n est vraie pour un certain entier nn, alors cela implique que Pn+1P_{n+1} est vraie.
∘\circ Conclusion
On peut alors conclure que PnP_n est vraie pour tout n≥n0n\geq n_0.
Définition n°1 -- Suite numérique
Une suite numérique (un)(u_n) est une fonction dont la variable est un entier naturel nn.
un:N⟶Rn⟼u(n)=un, pour n≥n0.\begin{array}{crcl} u_n : & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & n & \longmapsto & u(n)= u_n, \text{ pour }n\geq n_0. \end{array}
un0u_{n_0} est le premier terme de la suite.

unu_n est le terme de rang nn, ou terme général de la suite.
Définition n°2 -- Suite majorée
Une suite numérique (un)(u_n) est majorée lorsque tous ses termes sont inférieurs à une même constante MM appelée majorant.
Ainsi, pour tout entier n≥0n\geq0, un≤M\,\,u_n\leq M.
Définition n°3 -- Suite minorée
Une suite numérique (un)(u_n) est minorée lorsque tous ses termes sont supérieurs à une même constante mm appelée minorant. Ainsi, pour tout entier n≥0n\geq0, un≥m\,\,u_n\geq m.
Définition n°4 -- Suite bornée
Une suite numérique (un)(u_n) est bornée lorsqu'elle est à la fois minorée et majorée. Ainsi, il existe deux réels mm et MM, tels que pour tout entier n≥0n\geq0, m≤un≤M\,\,m\leq u_n\leq M.
Définition n°5 -- Sens de variation d'une suite
Soit (un)(u_n) une suite numérique.
  • La suite (un)(u_n) est croissante, si pour tout entier nn, un+1≥unu_{n+1}\geq u_n.
  • La suite (un)(u_n) est décroissante, si pour tout entier nn, un+1≤unu_{n+1}\leq u_n.
  • La suite (un)(u_n) est stationnaire, si il existe c∈Rc\in\mathbb{R} tel que pour tout entier nn, un=cu_n=c.