Terminale ∼ Spécialité mathématique
Suites numériques (1) Démonstration par récurrence Complétons et observons les résultats du tableau ci-dessous :
Sommes des nombres impairs Est-ce un carré ?
$1$ $1^2$
$1+3$ $2^2$
$1+3+5$ $3^2$
$1+3+5+7$ $4^2$
Pour quels entiers $n$ la propriété suivante est-elle vraie ? $$P_n:\text{ }\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2$$ La somme commençant à $k=1$, la formule n'a de sens qu'à partir de $n=1$. Regardons donc si $P_1$ est vraie. $\displaystyle{\sum_{k=1}^1(2k-1)}$ $=$ $2\times 1 - 1$ $=$ $1$ et $1^2=1$. Ainsi $P_1$ est bien vérifiée.

Pour $n=2$ :
$\displaystyle{\sum_{k=1}^2(2k-1)}$ $=$ $(2\times 1 - 1)$ $+$ $(2\times 2 - 1)$ $=$ $4$ et $2^2=4$. Nous avons donc que $P_2$ est également vérifiée.

On pourrait vérifier encore pour quelques entiers que la propriété est vraie, cependant ceci ne constitue pas une preuve. Un calcul direct serait également assez compliqué, surtout avec un sigma. Pour démontrer que cette égalité est vraie pour tout entier $n\geq1$, nous allons découvrir une nouvelle façon de raisonner.

Nous allons démontrer que cette propriété est vraie pour tout entier $n\geq1$ en appliquant le principe de récurrence. -- Principe de récurrence
On veut montrer qu'une propriété $P_n$ est vraie pour tout entier $n\geq n_0$, avec $n_0$ le premier entier où la propriété est vérifiée (généralement $n_0=0$ ou $n_0=1$).
$\circ$ Initialisation
On vérifie que $P_{n_0}$ est vraie.
$\circ$ Hérédité
On démontre que si $P_n$ est vraie pour un certain entier $n$, alors cela implique que $P_{n+1}$ est vraie.
$\circ$ Conclusion
On peut alors conclure que $P_n$ est vraie pour tout $n\geq n_0$. Avant de démontrer que notre propriété $P_n$ est vraie pour tout entier $n\geq1$, essayons de mieux appréhender ce principe de récurrence. Pour cela faisons une analogie avec des insectes.
Prenons donc l'exemple d'une rangée d'insectes, alignés du premier insecte au dernier, celui-ci pouvant être infiniment loin, et mettons-les dans un contexte d'épidémie :
Si l'un est malade il transmet la maladie de manière certaine à son voisin de droite, et seulement à celui-ci.
On peut alors se poser la question s'ils vont tous être malades ?
La réponse est évidemment oui si le premier insecte l'est. Si c'est le 10ème insecte qui est le premier à tomber malade, tous les suivants le seront, mais pas ceux d'avant.
On peut dire que l'insecte numéro $n$ transmet la maladie à l'insecte numéro $n+1$. Ceci est un processus de transmission (d'hérédité), et dès que celui-ci est initialisé, c'est-à-dire) si un insecte numéro $n_0$ est malade, alors tous les suivants le seront également.

Montrons maintenant, par récurrence, que : $\displaystyle{P_n:\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2}$ est vraie pour tout $n\geq1$.
$\circ$ Initialisation
Pour $n=1$ : $\displaystyle{\sum_{k=1}^1(2k-1)=2\times1-1=1=1^2}$, donc $P_1$ est vérifiée.
$\circ$ Hérédité
Considérons un entier naturel $n$ tel que la proposition $P_n$ est vraie, c'est-à-dire $\displaystyle{\sum_{k=1}^n(2k-1)}$ $=$ $n^2$.
Montrons alors, en utilisant cette hypothèse (dite hypothèse de récurrence), que $P_{\color{red}{n+1}}$ est vraie, c'est-à-dire que $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\color{red}{n+1}}(2k-1)}$ $=$ $({\color{red}{n+1}})^2$.
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)}$ $=$ $\displaystyle{\sum_{k=1}^n(2k-1)+ \sum_{k=n+1}^{n+1}(2k-1)}$
$=$ $\displaystyle{n^2+ 2(n+1)-1}$
$=$ $n^2+2n+1$
$=$ $(n+1)^2 \text{ } _\square$


Ainsi, nous avons bien que si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
$\circ$ Conclusion
D'après le principe de récurrence la propriété $\displaystyle{P_n: \sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2}$ est vraie pour tout entier $n\geq1$.
Définitions -- Suite numérique
Une suite numérique $(u_n)$ est une fonction dont la variable est un entier naturel $n$.
$$\begin{array}{crcl} u_n : & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & n & \longmapsto & u(n)= u_n, \text{ pour }n\geq n_0. \end{array}$$
$u_{n_0}$ est le premier terme de la suite.
$u_n$ est le terme de rang $n$, ou terme général de la suite. Il existe plusieurs procédés pour définir une suite, nous en verrons deux :

$\circ$ à l'aide d'une fonction.
$\circ$ par récurrence. On considère la suite $(v_n)$, définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $\displaystyle{v_n=n+\frac{2}{n+1}}$.
On a que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n=f(n)$, avec $\displaystyle{f(x)=x+\frac{2}{x+1}}$.
Calculer : $v_0$, $v_1$ et $v_{100}$. $v_0$ $=$ $f(0)$ $=$ $0+\dfrac{2}{0+1}$ $=$ $2$, $v_1$ $=$ $f(1)$ $=$ $1+\dfrac{2}{1+1}$ $=$ $2$ et $v_{100}$ $=$ $f(100)$ $=$ $100+\dfrac{2}{100+1}$ $\approx$ $100,02$.
On peut représenter les premiers termes d'une suite à l'aide d'un nuage de points où les abscisses représentent les nombres $n$ et les ordonnées les nombres $u_n$ correspondants.
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$u_0=0,2$ et $\displaystyle{u_n=\frac{3u_{n-1}+2}{u_{n-1}+4}}$.
Ici, pour tout $n\geq1$, $u_n=g(u_{n-1})$, avec $\displaystyle{g(x)=\frac{3x+2}{x+4}}$.
Trouver des valeurs approchées de $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_{100}$. $ u_1$ $=$ $g(u_0)$ $=$ $g(0,2)$ $\approx$ $0,619 $, $ u_2$ $=$ $g(u_1)$ $\approx$ $g( 0,619 )$ $\approx$ $0,835 $, $ u_3$ $=$ $g(u_2)$ $\approx$ $g( 0,835 )$ $\approx$ $0,932 $.

Pour calculer $u_{100}$ cela va être un peu long, puisque nous allons devoir connaître $u_{99}$, mais pour calculer celui-ci il va nous falloir $u_{98}$, etc.

On utilise alors l'algorithme suivant : u = 0.2 for i in range (1,101): u = (3*u+2)/(u+4) print(str(i)+" : "+str(u))
Après exécution, on trouve la valeur approchée suivante : $u_{100}\approx 1$.
Étant donnée une suite $(u_n)$ définie par récurrence à l'aide de la relation $u_{n+1}=f(u_n)$, on représente les premiers termes de la suite dans un repère du plan à l'aide la droite d'équation $y=x$ et la courbe représentative de la fonction $f$. On notera cette dernière $\mathcal{C}$.
On place $u_0$ sur l'axe des abscisses, et puisque $u_1=f(u_0)$ (c'est-à-dire que $u_1$ est l'image de $u_0$ par $f$), on peut visualiser $u_1$ sur l'axe des ordonnées à l'aide de $\mathcal{C}$.
Il n'est cependant pas pratique d'avoir $u_0$ sur l'axe des abscisses et $u_1$ sur l'axe des ordonnées. On utilise donc la droite d'équation $y=x$ (la droite où les points ont même abscisse et ordonnée) pour « ramener » $u_1$ sur l'axe des abscisses.
On construit ensuite $u_2$ à partir de $u_1$ de la même façon, et ainsi de suite pour les termes suivants.
Déplacer le curseur
-- Suite majorée
Une suite numérique $(u_n)$ est majorée lorsque tous ses termes sont inférieurs à une même constante $M$ appelée majorant.
Ainsi, pour tout entier $n\geq0$, $\,\,u_n\leq M$. -- Suite minorée
Une suite numérique $(u_n)$ est minorée lorsque tous ses termes sont supérieurs à une même constante $m$ appelée minorant. Ainsi, pour tout entier $n\geq0$, $\,\,u_n\geq m$. -- Suite bornée
Une suite numérique $(u_n)$ est bornée lorsqu'elle est à la fois minorée et majorée. Ainsi, il existe deux réels $m$ et $M$, tels que pour tout entier $n\geq0$, $\,\,m\leq u_n\leq M$. La suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $u_n=\dfrac{1}{n^2+1}$ est bornée. En effet, pour tout entier $n$, $\displaystyle{0\leq \frac{1}{n^2+1}\leq 1}$.
-- Sens de variation d'une suite
Soit $(u_n)$ une suite numérique. Lorsqu'on ne connaît pas a priori le sens de variation d'une suite $(u_n)$ il est alors plus pratique d'étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$. En effet :
$u_{n+1}-u_n\geq0$ $\Longleftrightarrow$ $u_{n+1}\geq u_n$ $\Longleftrightarrow$ $(u_n)$ est croissante.
$u_{n+1}-u_n\leq0$ $\Longleftrightarrow$ $u_{n+1}\leq u_n$ $\Longleftrightarrow$ $(u_n)$ est décroissante.

Une suite peut-être monotone à partir d'un certain rang $n_0$. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=2$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$.
  1. Démontrer par récurrence sur $n$, que pour tout entier $n$, $0\leq u_{n+1} \leq u_n \leq 2$.
  2. Que peut-on en conclure pour la suite $(u_n)$ ?
  1. Initialisation
    On a $u_0$ $=$ $2$ et $u_1$ $=$ $\sqrt{u_0}$ $=$ $\sqrt{2}$ $\approx$ $1,414\,2$.
    Ainsi, on a bien $0\leq u_1 \leq u_0 \leq 2$.
    La propriété est bien initialisée à $n=0$.

    Hérédité
    On suppose que pour un certain entier $n$ on a : $$0\leq u_{n+1} \leq u_n \leq 2.$$ On cherche alors à montrer que : $$0\leq u_{n+2} \leq u_{n+1} \leq 2.$$ D'après l'hypothèse de récurrence on a :
    $0$ $\leq$ $u_{n+1}$ $\leq$ $u_{n}$ $\leq$ $2$
    $\sqrt{0}$ $\leq$ $\sqrt{u_{n+1}}$ $\leq$ $\sqrt{u_{n}}$ $\leq$ $\sqrt{2}$ La fonction racine carrée étant croissante sur $[0\,;\,+\infty[$
    $0$ $\leq$ $u_{n+2}$ $\leq$ $u_{n+1}$ $\leq$ $\sqrt{2}$ par définition de $(u_n)$
    $0$ $\leq$ $u_{n+2}$ $\leq$ $u_{n+1}$ $\leq$ $2$.

    Conclusion
    D'après le principe de récurrence, pour tout entier $n$ on a : $$0\leq u_{n+1} \leq u_{n} \leq 2.$$
  2. L'encadrement précédent nous permet d'affirmer que $(u_n)$ est minorée par $0$, majorée par $2$.
    Elle est de plus décroissante puisque pour tout entier $n$, $u_{n+1}$ $\leq$ $u_n$.