Terminale ∼ Spécialité mathématique
Géométrie dans l'espace (1)
Propriété n°1

Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles.
Propriété n°2

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite contenue par le plan.
Propriété n°3

Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l'un sont parallèles à deux droites sécantes de l'autre.
Propriété n°4

Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
Définition n°1

Deux droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont dites orthogonales s'il existe une droite $\mathscr{D}'_1$ parallèle à $\mathscr{D}_1$ et une droite $\mathscr{D}'_2$ parallèle à $\mathscr{D}_2$ telles que $\mathscr{D}'_1$ et $\mathscr{D}'_2$ soient perpendiculaires dans le plan qu'elles déterminent.
Définition n°2

Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Propriété n°5

Si une droite est perpendiculaire à un plan alors elle est orthogonale à toutes les droites du plan.
Propriété n°6

Les propriétés vues pour les vecteurs du plan restent valables pour les vecteurs de l'espace.
Propriété n°7

  • Si $O$, $I$, $J$ et $K$ sont quatre points non coplanaires de l'espace et si $\vec{i} =\overrightarrow{OI} $, $\vec{j} =\overrightarrow{OJ} $ et $\vec{k} =\overrightarrow{OK} $, alors le quadruplet $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ constitue un repère de l'espace.
  • Pour tout point $M$ de l'espace il existe un unique triplet de réels $(x;y;z)$ tels que $\overrightarrow{OM}=x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$.

    On appelle ce triplet les coordonnées du point $M$ où :
    • $x$ est l'abscisse,
    • $y$ est l'ordonnée,
    • $z$ est la cote.

  • Pour tout vecteur $\vec{u}$ de l'espace il existe un unique triplet de réels $(x;y;z)$ tels que $\vec{u}=x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$. On appelle ce triplet les coordonnées du vecteur $\vec{u}$.
Propriété n°8

Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ deux points de l'espace.
  • $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées : $(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$.

  • Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées : $\left( \dfrac{x_A+x_B}{2}; \dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2} \right)$.

  • Si le repère est orthonormé alors : $AB$ $=$ $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2)}$.
Définition n°3

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires si il existe une constante réelle $\lambda$ telle que $\vec{v}$ $=$ $\lambda\vec{u}$.
Propriété n°9

  • Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
  • Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
Définition n°4

Des vecteurs sont coplanaires si, et seulement si, leurs représentants de même origine $A$ ont leurs extrémités dans un même plan passant par $A$.
Propriété n°10

Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ non tous nuls tels que :

$ \vec{w}$ $=$ $\lambda\vec{u} + \mu\vec{v}$
Définition n°5

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires. Soient $\mathscr{P}$ un plan de l'espace et $\Omega$ un point de $\mathscr{P}$.
Si les points $A$ et $B$ définis par $\overrightarrow{\Omega A}$ $=$ $\vec{u}$ et $\overrightarrow{\Omega B}$ $=$ $\vec{v}$ appartiennent à $\mathscr{P}$, on dit que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dirigent le plan $\mathscr{P}$.
Définition n°6

Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs coplanaires. Les réels $x$ et $y$ tels que $\vec{w} = x\vec{u}+y\vec{v}$ sont appelées les coordonnées de $\vec{w}$ dans la base $(\vec{u}\,;\vec{v})$.
Propriété n°11

Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires.
Définition n°7

Trois vecteurs de l'espace $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ qui ne sont pas coplanaires sont dits linéairement indépendants.
Propriété n°12

Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs de l'espace. Alors :
$\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont linéairement indépendants si et seulement si, pour tous réels $a$, $b$ et $c$, $a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}$ $=$ $\vec{0}$ implique $a$ $=$ $b$ $=$ $c$ $=$ $0$.
Propriété n°13
Caractérisation vectorielle d'une droite
On considère une droite $\mathscr{D}$ passant par un point $A$ et dirigée par un vecteur $\vec{u}$. Pour tout point $M$ de l'espace on a:
$M\in\mathscr{D}$ $\Longleftrightarrow$ $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires.
Propriété n°14
Caractérisation vectorielle d'un plan
On considère un plan $\mathscr{P}$ passant par un point $A$ et dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Pour tout point $M$ de l'espace on a:
$M\in\mathscr{P}$ $\Longleftrightarrow$ $\overrightarrow{AM}$, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont coplanaires.
Propriété n°15

Une droite $\mathscr{D}$ est parallèle à un plan $\mathscr{P}$ si, et seulement si, un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est un vecteur de $\mathscr{P}$ (au sens coplanaire à deux vecteurs non colinéaires de $\mathscr{P}$).
Propriété n°16

Si $\mathscr{D}$ est la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$. Alors :
$M(x;y;z) \in \mathscr{D}$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{rrr} x & = & x_A + t\times a \\ y & = & y_A + t\times b \\ z & = & z_A + t\times c \end{array} \right.$ $\text{ pour } t\in \mathbb{R}.$