Terminale ∼ Spécialité mathématique
Suites numériques (2)
Définition n°1

On dit qu'une suite (un)(u_n) tend vers \ell si, tout intervalle ouvert contenant \ell contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Définition n°2 -- Suite divergent vers ++\infty
Une suite (un)(u_n) diverge vers ++\infty si, tout intervalle ouvert du type ]A;+[]A;+\infty[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
  • limn+n2\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^2} == ++\infty
  • limn+n\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt{n}} == ++\infty
  • limn+1n\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}} == 00
limn+un\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n} \ell \ell \ell ++\infty -\infty ++\infty
limn+vn\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n} \ell' ++\infty -\infty ++\infty -\infty -\infty
limn+un+vn\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n+v_n} + \ell +\ell' ++\infty -\infty++\infty-\inftyf.i
« f.i » signifie forme indéterminée et qu'il faut fournir des efforts supplémentaires pour donner la limite. En effet lorsqu'une suite (un)(u_n) diverge vers ++\infty et une suite (vn)(v_n) vers -\infty, on ne peut connaître sans calculs préliminaires la limite de (un+vn)(u_n+v_n).
limn+un\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n} \ell 0\ell\neq0 \infty 00
limn+vn\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n} \ell' \infty \infty \infty
limnun×vn\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty} u_n\times v_n}× \ell \times \ell'\infty\inftyf.i
limn+un\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n} \ell \ell \infty \infty
limn+vn\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n} 0\ell'\neq 0 \infty \ell' \infty
limn+unvn\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{u_n}{v_n}} \displaystyle{\frac{\ell}{\ell'}} 00 \infty f.i
Propriété n°1
Soient (un)(u_n) et (vn)(v_n) deux suites telles que à partir d'un certain rang :

unvn.u_n\leq v_n. Si limn+un=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=} ++\infty alors limn+vn=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=} ++\infty.
Propriété n°2 -- Encadrement des limites
Soient (un)(u_n), (vn)(v_n) et (wn)(w_n) trois suites telles que à partir d'un certain rang :

unvnwn.u_n\leq v_n\leq w_n. Si limn+un\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n} == limn+wn\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}w_n} == \ell alors limn+vn=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=} \ell.
Définition n°3 -- Suite arithmétique
Une suite numérique (un)(u_n) est arithmétique s'il existe une constante rr, appelée raison, telle que :
nN,\forall n\in\mathbb{N},  un+1=un+r,\text{ }u_{n+1}=u_n+r, u0\,u_0 étant donné.
Suites arithmétiques
  • pour tout entier nn, un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r,
  • pour tout entier nn, un=u0+nru_n= u_0+nr,
  • pour tout entiers nn et mm, un=um+(nm)ru_n= u_m+(n-m)r,
  • pour tout entier nn, k=0nuk\displaystyle{\sum_{k=0}^nu_k} == u0+u1++unu_0+u_1+\cdots+u_n == (u0+un)(n+1)2\dfrac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}.
Définition n°4 -- Suite géométrique
Une suite numérique (un)(u_n) est géométrique s'il existe une constante qq, appelée raison, telle que :
nN,\forall n\in\mathbb{N},  un+1=qun,\text{ }u_{n+1}=qu_n, u0\,u_0 étant donné.
Suites géométriques
  • pour tout entier nn, un+1=qunu_{n+1}=qu_n,
  • pour tout entier nn, un=u0qnu_n= u_0q^n,
  • pour tout entiers nn et mm, un=umqnmu_n= u_mq^{n-m},
  • pour tout entier nn, k=0nuk\displaystyle{\sum_{k=0}^nu_k} == u0+u1++unu_0+u_1+\cdots+u_n == u01qn+11qu_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.
Propriété n°3 -- Comportement des suites arithmétiques
Soit (un)(u_n) une suite arithmétique de raison rr :
\circ si r>0r>0 alors (un)(u_n) est strictement croissante et limn+un=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =} ++\infty.
\circ si r<0r<0 alors (un)(u_n) est strictement décroissante et limn+un=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =} -\infty.
\circ si r=0r=0 alors (un)(u_n) est constante et limn+un=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =} u0u_0.
Propriété n°4 -- Comportement des suites géométriques de raison q>1q>1
Soit (un)(u_n) une suite géométrique de raison q>1q>1 :
\circ si u0>0u_0>0 alors (un)(u_n) est strictement croissante et limn+un=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =} ++\infty.
\circ si u0<0u_0<0 alors (un)(u_n) est strictement décroissante et limn+un=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =} -\infty.
Propriété n°5 -- Lemme -- Inégalité de Bernoulli
Soit aa un nombre réel strictement positif. Alors pour tout entier nn :

(1+a)n1+na.(1+a)^n\geq 1+na.
Propriété n°6 -- Comportement des suites géométriques de raison q]0;1[q\in]0;1[
Soit (un)(u_n) une suite géométrique de raison q]0;1[q\in]0;1[ :
\circ si u0>0u_0>0 alors (un)(u_n) est strictement décroissante et limn+un=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =} 00.
\circ si u0<0u_0<0 alors (un)(u_n) est strictement croissante et limn+un=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =} 00.
Suites géométriques
q1q\leq -1 1<q<1-1 < q < 1 q=1q = 1 q>1q > 1
limn+qn\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow+\infty}q^n } 00 11 ++\infty
q<0q <0 0q<10 \leq q < 1 q>1q > 1
sens de variation de (qn)(q^n) non monotone décroissante croissante
q1q\leq -1 1<q<1-1 < q < 1 q=1q = 1 q>1q > 1 et u0>0u_0 > 0 q>1q > 1 et u0<0u_0 < 0
limn+u0qn\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow+\infty}u_0q^n } 00 u0u_0 ++\infty -\infty
q<0q <0 0q<10 \leq q < 1 et u0>0u_0 > 0 0q<10 \leq q < 1 et u0<0u_0 < 0 q>1q > 1 et u0>0u_0 > 0 q>1q > 1 et u0<0u_0 < 0
sens de variation de (u0qn)(u_0q^n) non monotone décroissante croissante croissante décroissante
Propriété n°7 -- Suite croissante non majorée
Tout suite croissante non majorée diverge vers ++\infty.
Propriété n°8 -- Suite décroissante non minorée
Tout suite décroissante non minorée diverge vers -\infty.
Propriété n°9 -- Convergence monotone
Tout suite croissante majorée est convergente.
Propriété n°10 -- Convergence monotone
Tout suite décroissante minorée est convergente.
Propriété n°11 -- Suite croissante et convergente
Toute suite croissante (un)(u_n) convergeant vers un réel \ell vérifie : Pour tout entier nn, un.\,\, u_n\leq \ell.