Terminale ∼ Spécialité mathématique
Suites numériques (2) Limite d'une suite Quelques exemples On considère les trois suites ci-dessous :
$\circ$ $\displaystyle{u_n = 3+\frac{ (-1)^n }{ n^2 } }$
$\circ$ $v_n = n^2$
$\circ$ $w_n = (-1)^n$

Compléter le tableau ci-dessous :

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8
$u_n$
$v_n$
$w_n$

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8
$u_n$	2	3,25	2,8889	3,0625	2,96	3,027778	2,9796	3,015625
$v_n$	1	4	9	16	25	36	49	64
$w_n$	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1

Nous pouvons décrire le comportement de ces suites en émettant les conjectures suivantes :
$\circ$ $(u_n)$ semble pouvoir être aussi proche que l'on veut du nombre $3$.
$\circ$ $(v_n)$ semble pouvoir être aussi grand que l'on veut.
$\circ$ $(w_n)$ prend alternativement deux valeurs.

On peut donc dire que :
$\circ$ $(u_n)$ semble possèder une valeur limite $3$,
$\circ$ $(v_n)$ semble « exploser » vers $+\infty$,
$\circ$ $(w_n)$ n'a pas de valeur limite lorsque $n$ grandit.

De manière, plus synthétique, on pourrait noter :
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}$ $=$ $3$ et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n}$ $=$ $+\infty$.
Il n'y a aucune écriture pour $(w_n)$ car cette suite ne possède pas de limite.

Définitions
On dit qu'une suite $(u_n)$ tend vers $\ell$ si, tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note alors : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n} $ $=$ $\ell$.
Sur le graphique ci-dessous, nous pouvons voir qu'à partir d'un certain rang tous les termes de la suite semblent être dans l'intervalle délimitant la zone coloriée aussi petite soit elle.

Déplacer les points A et B, et faire glisser le graphique (shift+souris)

Première page de l'ouvrage de Cauchy qui définit de manière rigoureuse la notion de limite (1823)

Les suites non convergentes sont dites divergentes, et certaines suites divergent vers $+\infty$. -- Suite divergent vers $+\infty$
Une suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ si, tout intervalle ouvert du type $]A;+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note alors : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}$ $=$ $+\infty$.

Exemples

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n^2}$ $=$ $+\infty$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt{n}}$ $=$ $+\infty$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}}$ $=$ $0$

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n=n^3+1$ et $A$ un nombre réel.

Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
Écrire un algorithme Python comportant une fonction qui retourne le premier rang à partir duquel tous les termes de la suite sont plus grand que $A$.

La fonction $f$ définie par $f(x)=x^3+1$ est croissante sur $\mathbb{R}$. En effet sa dérivée qui vaut $f'(x)$ $=$ $3x^2$ est positive sur $\mathbb{R}$.
def seuil(A): n = 0 while n**3+1 < A: n = n+1 return n print(seuil(100))

Opération sur les limites Limite d'une somme

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n}$	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n}$	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n+v_n}$	$ \ell +\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	f.i

« f.i » signifie forme indéterminée et qu'il faut fournir des efforts supplémentaires pour donner la limite. En effet lorsqu'une suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ et une suite $(v_n)$ vers $-\infty$, on ne peut connaître sans calculs préliminaires la limite de $(u_n+v_n)$.

Voici plusieurs situations :

Pour tout entier $n$, on pose $u_n=n^2+1$ et $v_n=-n^2$. On a bien :
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n =}$ $+\infty$ et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n =}$ $-\infty$.
Par ailleurs : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n +v_n=}$ $1$.
Pour tout entier $n$, on pose $u_n=n^2+n$ et $v_n=-n^2$. On a bien :
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n =}$ $+\infty$ et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n =}$ $-\infty$.
Dans ce cas : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n +v_n}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} n}$ $=$ $+\infty$.
Pour tout entier $n$, on pose $u_n=n^2$ et $v_n=-n^2-n$. On a bien :
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n =}$ $+\infty$ et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n =}$ $-\infty$.
Et enfin : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n +v_n}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} -n}$ $=$ $-\infty$.

Nous voyons donc bien que la suite $(u_n+v_n)$ peut avoir n'importe quelle limite sous ses hypothèses. Il sera donc nécessaire de déterminer la limite dans cette situation après quelques calculs.

Limite d'un produit

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n}$	$\ell$	$\ell\neq0$	$\infty$	$0$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n}$	$\ell'$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty} u_n\times v_n}$	$ \ell \times \ell'$	$\infty$	$\infty$	f.i

Pour le cas où $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n=\infty}$ et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n = \infty}$, on ne précise pas dans ce tableau si ce sont des $+$ ou $-$ l'infini. La limite du produit divergera vers $\infty$ en appliquant la règle des signes.
On utilise cette règle dans l'exemple suivant :

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}(3-n^2)(-4n^3-n+1)=}$ $+\infty$.
En effet, $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}3-n^2=}$ $-\infty$ et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}-4n^3-n+1=}$ $-\infty$.
On obtient le résultat en appliquant la règle sur les produits de limites précédente.

Limite d'un quotient

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n}$	$\ell$	$\ell$	$\infty$	$\infty$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n}$	$\ell'\neq 0$	$\infty$	$\ell'$	$\infty$
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{u_n}{v_n}}$	$\displaystyle{\frac{\ell}{\ell'}}$	$0$	$\infty$	f.i

On cherche à déterminer :$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{5}{3+\sqrt{n}}}$.
On a: $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}3+\sqrt{n}=}$ $+\infty$ et donc d'après la règle sur les quotients de limites on obtient : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{5}{3+\sqrt{n}}=}$ $0$.

Limites et comparaisons
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que à partir d'un certain rang :

$u_n\leq v_n.$ Si $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=}$ $+\infty$ alors $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=}$ $+\infty$. Preuve
On considère un intervalle ouvert de la forme $]A;+\infty[$.
On cherche à démontrer qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite $(v_n)$ sont dans cet intervalle. C'est-à-dire, que l'on veut montrer qu'à partir d'un certain rang $v_n>A$.
Puisque $(u_n)$ diverge vers $+\infty$, on sait, qu'à partir d'un certain rang, $u_n>A.$
Or, par hypothèse, $v_n>u_n$.
Ainsi, à partir d'un certain rang, $v_n>A$.

-- Encadrement des limites
Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que à partir d'un certain rang :

$u_n\leq v_n\leq w_n.$ Si $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}w_n}$ $=$ $\ell$ alors $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=}$ $\ell$.

Dans le graphique précédent nous pouvons observer deux suites encadrer une troisième. Et puisque les deux premières convergent vers $\ell$, la suite comprise entre les deux se trouve coincée et doit, elle aussi, converger vers $\ell$.
Cette propriété est également connue sous le nom imagé de "théorème des gendarmes", ou plus prosaïquement théorème d'encadrement des limites. Déterminons la limite de la suite $(u_n)$, définie pour $n\in\mathbb{N}^*$ par $\displaystyle{u_n=\frac{(-1)^n}{n}}$.
Pour tout entier $n\geq1$ :

	$-1$	$\leq$	$(-1)^n$	$\leq$	$1$
$\Longleftrightarrow$	$\dfrac{-1}{n}$	$\leq$	$\dfrac{(-1)^n}{n}$	$\leq$	$\dfrac{1}{n}.$

Or, on sait que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{-1}{n}}$ $=$ $0$, et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}=}$ $0.$
Ainsi, d'après le théorème d'encadrement des limites : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{(-1)^n}{n}}$ $=$ $0.$

Comportement des suites arithmétiques et géométriques -- Comportement des suites arithmétiques
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ :
$\circ$ si $r>0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $+\infty$.
$\circ$ si $r<0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $-\infty$.
$\circ$ si $r=0$ alors $(u_n)$ est constante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $u_0$. Preuve
On sait que : $u_{n+1}$ $=$ $u_n+r$, donc $u_{n+1}-u_n$ $=$ $r$ est du signe de $r$.
Par ailleurs, $u_n$ $=$ $u_0+n\times r$.
Ainsi, si $r>0$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n\times r}$ $=$ $+\infty$, et, si $r<0$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n\times r}=$ $-\infty$.

-- Comportement des suites géométriques de raison $q>1$
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q>1$ :
$\circ$ si $u_0>0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $+\infty$.
$\circ$ si $u_0<0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $-\infty$.
Pour démontrer cette propriété nous aurons besoin du résultat suivant appelé inégalité de Bernoulli :

-- Lemme -- Inégalité de Bernoulli
Soit $a$ un nombre réel strictement positif. Alors pour tout entier $n$ :

$(1+a)^n\geq 1+na.$

Preuve du lemme
Procédons par récurrence sur $n$.

Initialisation
Pour $n=0$ : $(1+a)^n$ $=$ $(1+a)^0$ $=$ $1$ et $1+na$ $=$ $1+0\times a$ $=$ $1$.
La propriété est bien initialisée à $n=0$.

Hérédité
Supposons que pour un certain entier $n$,

$(1+a)^n\geq 1+na,$
et montrons alors que :

$(1+a)^{ n+1}\geq1+(n+1)a.$
D'après l'hypothèse de récurrence on a :

$(1+a)^n$	$\geq$	$1+na$
$(1+a)(1+a)^n$	$\geq$	$(1+a)(1+na)$	car $1+a>0$
$(1+a)^{n+1}$	$\geq$	$1+na+a+na^2$
$(1+a)^{n+1}$	$\geq$	$1+(n+1)a +na^2$
$(1+a)^{n+1}$	$\geq$	$1+(n+1)a$.

Le passage de l'avant-dernière à la dernière ligne se justifie par le fait qu'un nombre à qui l'on retire une quantité positive (ici $na^2$) devient plus petit.

Conclusion
D'après le principe de récurrence, nous avons démontré que : $\forall a\in\mathbb{R}^*_+, \text{ }\forall n\in\mathbb{N},\text{ }(1+a)^n\geq1+na.$

Preuve de la propriété sur les suites géométriques de raison $q>1$
On note $(u_n)$ une telle suite, et nous avons : $u_{n+1}$ $=$ $qu_n.$
Ainsi, la raison étant en particulier positive, tous les termes de la suite seront de même signe.
Et puisque $q>1$, $\:u_{n+1}$ $>$ $u_n\:$ si $u_0>0$, ou encore $u_{n+1}< u_n\:$ si $u_0<0$.
La suite $(u_n)$ est bien croissante si $u_0>0$, et décroissante si $u_0<0$.

Pour déterminer la limite de $(u_n)$, il nous suffit de faire la remarque suivante : puisque $q>1$, il existe un réel $a>0$ tel que $q= 1+a$.
Or, pour tout entier $n$, $u_n$ $=$ $u_0\times q^n$. C'est-à-dire : $u_n$ $=$ $u_0(1+a)^n.$ Si $u_0>0$, alors d'après le lemme : $u_n \geq u_0(1+na),$ et si $u_0<0$, alors : $u_n \leq u_0(1+na).$
On a, $a>0$, donc $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}1+na}$ $=$ $+\infty$.
Ainsi, par comparaison de limites :
Si $u_0>0$, $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=}$ $+\infty$.
Si $u_0<0$, $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=}$ $-\infty$.

-- Comportement des suites géométriques de raison $q\in]0;1[$
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q\in]0;1[$ :
$\circ$ si $u_0>0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $0$.
$\circ$ si $u_0<0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}$ $0$.

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}3,1^n =}$ $+\infty$.
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}-3\times(0,8)^n =}$ $0$.
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}(-0,2)^n=}$ $0$, à l'aide du théorème d'encadrement ($-0,2^n\leq(-0,2)^n\leq0,2^n$) .
La suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $1$ et de raison $-2,6$ est telle que $u_n=$ $(-2,6)^n$, et ne possède pas de limite.

On peut synthétiser les résultats précédents dans les tableaux ci-dessous :

	$q\leq -1$	$-1 < q < 1$	$q = 1$	$q > 1$
$\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow+\infty}q^n }$		$0$	$1$	$+\infty$

	$q <0 $	$0 \leq q < 1$	$q > 1$
sens de variation de $(q^n)$	non monotone	décroissante	croissante

	$q\leq -1$	$-1 < q < 1$	$q = 1$	$q > 1$ et $u_0 > 0$	$q > 1$ et $u_0 < 0$
$\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow+\infty}u_0q^n }$		$0$	$u_0$	$+\infty$	$-\infty$

	$q <0 $	$0 \leq q < 1$ et $u_0 > 0$	$0 \leq q < 1$ et $u_0 < 0$	$q > 1$ et $u_0 > 0$	$q > 1$ et $u_0 < 0$
sens de variation de $(u_0q^n)$	non monotone	décroissante	croissante	croissante	décroissante

Convergence et monotonie -- Suite croissante non majorée
Tout suite croissante non majorée diverge vers $+\infty$. -- Suite décroissante non minorée
Tout suite décroissante non minorée diverge vers $-\infty$. Preuve de la propriété 8
Soit $(u_n)$ une suite croissante, non majorée et $A>0$. Comme $(u_n)$ n'est pas majorée, il existe un entier $n_0$ tel que : $u_{n_0}>A$.
Or la suite $(u_n)$ est croissante, donc : pour tout $n\geq n_0$, $u_n\geq u_{n_0}> A$.
Ainsi, quelque soit le nombre $A$, l'intervalle $]A;+\infty[$ contient, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite $(u_n)$.
Ceci prouve que : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}$ $=$ $+\infty$.
Preuve de la propriété 9
Soit $(u_n)$ une suite décroissante non minorée. On pose, pour tout $n$, $v_n=-u_n$. On conclut en remarquant que $(v_n)$ vérifie la propriété 8.

-- Convergence monotone
Tout suite croissante majorée est convergente. -- Convergence monotone
Tout suite décroissante minorée est convergente. Preuve de la propriété 10
Soit $(u_n)$ une suite croissante majorée.
Toute suite majorée possède une infinité de majorants, nous admettrons ici qu'il en existe un plus petit. On le note $M$.
On veut démontrer que $(u_n)$ converge vers $M$.
Soit $I$ un intervalle ouvert contenant $M$. On cherche à montrer qu'à partir d'un certain rang tous les termes de la suite sont dans $I$.
Or, puisque $I$ est ouvert et qu'il contient $M$, il existe un réel $\epsilon>0$ tel que $]M-\epsilon;M+\epsilon[$ $\subset$ $I$.
On cherche alors à montrer que l'intervalle ouvert $]M-\epsilon;M+\epsilon[$ contient, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite.
$M$ est le plus petit majorant, donc $M-\epsilon$ n'est pas un majorant.
Ainsi, il existe $n_0$ tel que $u_{n_0} > M - \epsilon$, et puisque la suite est croissante :
$\forall n\geq n_0$, $\:M - \epsilon < u_n$.
Or, par définition de $M$, $\: u_n$ $<$ $M$ $<$ $M + \epsilon $.
Par conséquent :
$ \forall n\geq n_0$, $\: M-\epsilon < u_n < M + \epsilon$. $_{\square}$

-- Suite croissante et convergente
Toute suite croissante $(u_n)$ convergeant vers un réel $\ell$ vérifie : Pour tout entier $n$, $\,\, u_n\leq \ell.$ Preuve
Nous allons raisonner par l'absurde, en supposant le contraire de ce que nous voulons démontrer, et en arrivant ensuite à une contradiction.
On veut montrer que pour tout $n$, $u_n\leq \ell$.
Supposons alors qu'il existe un entier $n_0$ tel que : $u_{n_0}>\ell.$
Puisque $(u_n)$ est croissante, alors pour tout $n\geq n_0$, $\: u_n\geq u_{n_0}$ $\text{ (*)}$.
On pose $\epsilon=u_{n_0}-\ell$ et on remarque que $\epsilon>0$.
$(u_n)$ converge vers $\ell$, donc à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle $]\ell-\epsilon;\ell+\epsilon[$.
En particulier, à partir d'un certain rang :

$u_n$	$<$	$\ell+\epsilon$
$u_n$	$<$	$\ell +u_{n_0}-\ell$
$u_n$	$<$	$u_{n_0}$.

Cette dernière inégalité est en contradiction avec $(*)$.

Ainsi, le fait d'avoir supposé qu'il existe un entier $n_0$ tel que $u_{n_0}>\ell$, nous a amené à une contradiction.
La proposition contraire est donc vraie, à savoir que tous les termes de la suite $(u_n)$ sont inférieurs à $\ell$.