Définition n°1 -- Fonction possédant une limite finie en l'infini
Soient

f

une fonction et

\ell

un réel. On dit que la fonction

f

tend vers

\ell

quand

x

tend vers

+\infty

si tout intervalle ouvert contenant

\ell

contient toutes les valeurs

f(x)

pour

x

assez grand.
On note alors :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\ell}

Définition n°2 -- Asymptote horizontale à une courbe
Soit

\mathcal{C}_f

la courbe représentative d'une fonction

f

, telle que

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\ell}

.
On dit alors que la droite d'équation

y=\ell

est asymptote horizontale à la courbe

\mathcal{C}_f

+\infty

Définition n°3 -- Fonction possédant une limite infinie en l'infini
Soient

f

une fonction. On dit que la fonction

f

tend vers

+\infty

quand

x

tend vers

+\infty

, si tout intervalle du type

]A;+\infty[

contient toutes les valeurs de

f(x)

pour

x

assez grand.
On note alors :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty}

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x}$ $=$ $+\infty$ .
Pour $n\geq 1$ , $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^n}$ $=$ $+\infty$ .
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{x}}$ $=$ $+\infty$ .
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x}$ $=$ $-\infty$ .
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^3}$ $=$ $-\infty$ .
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2n+1}}$ $=$ $-\infty$ .
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2}$ $=$ $+\infty$ .
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2n}}$ $=$ $+\infty$ .

Définition n°4 -- Fonction possédant une limite finie en un réel
Soient

f

une fonction,

a

\ell

deux réels. On dit que la limite de

f

a

est égale

\ell

si tout intervalle ouvert contenant

\ell

contient toutes les valeurs

f(x)

dès que

x

est suffisamment proche de

a

.
On note alors :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\ell}

Définition n°5 -- Fonction possédant une limite infinie en un réel
Soient

f

une fonction et

a

un réel. On dit que

f

diverge vers

+\infty

a

si tout intervalle ouvert de la forme

]A\,;+\infty[

contient toutes les valeurs

f(x)

dès que

x

est suffisamment proche de

a

.
On note alors :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty}

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{1}{x}}$ $=$ $-\infty$ .

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{1}{x}}$ $=$ $+\infty$ .

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x^2}}$ $=$ $+\infty$ .

Limite	Interprétation graphique
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty}$ ou $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty}$	La droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}$ . 0,0 a
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=b}$ ou $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=b}$	La droite d'équation $y=b$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$ . 0,0 b

$\lim f$	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim g$	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim f+g$	$\ell+\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	forme indéterminée

$\lim f$	$\ell$	$\ell>0$	$\ell>0$	$\ell<0$	$\ell<0$
$\lim g$	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$
$\lim f\times g$	$\ell\times\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$

$\lim f$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$0$
$\lim g$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$ ou $-\infty$
$\lim f\times g$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	Forme indéterminée

$\lim f$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$\infty$
$\lim g$	$\ell'\neq0$	$\infty$	$\ell'>0$	$\ell'<0$	$\ell'>0$	$\ell'<0$	$\infty$
$\lim\dfrac{f}{g}$	$\dfrac{\ell}{\ell'}$	$0$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	Forme indéterminée

$\lim f$	$\ell>0$	$\ell>0$	$\ell<0$	$\ell<0$	$0$
$\lim g$	$0^+$	$0^-$	$0^+$	$0^-$	$0$
$\lim \dfrac{f}{g}$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	Forme indéterminée

Propriété n°1

La limite d'une fonction polynôme en $+\infty$ ou $-\infty$ est la limite de son terme de plus haut degré.
La limite d'une fonction rationnelle en $+\infty$ ou $-\infty$ est la limite du quotient des termes de plus haut degré.

Définition n°6 -- Fonction composée
Soit

v

est une fonction définie sur un intervalle

J

u

une fonction définie sur un intervalle

I

tel que, pour tout réel

x

I

u(x)

appartient à

J

.

On appelle fonction composée

v\circ u

la fonction

f

définie pour tout

x

appartenant à

I

par :

f(x)

=

v \circ u(x)

=

v(u(x)).

Propriété n°2 -- Limite d'une fonction composée
Soient

f

g

h

trois fonctions telles que

f=g\circ h

.

Si

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} h(x)=b}

\displaystyle{\lim_{X\rightarrow b}g(X)=c}

, alors on a :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} g(h(x))}

=

c.

Propriété n°4 -- Encadrement de limites (ou théorème des gendarmes)
Si pour

x

assez grand,

u(x)\leq f(x)\leq v(x)

, et si avec

\ell\in\mathbb{R}

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}u(x)}

=

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}v(x)}

=

\ell

,

alors,

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)}

=

\ell

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{2n}}$ $=$ $+\infty$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{2n+1}}$ $=$ $+\infty$	$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2n}}$ $=$ $+\infty$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2n+1}}$ $=$ $-\infty$
$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x^{n}} }$ $=$ $0$ $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1}{x^{n}} }$ $=$ $0$ Allez l'OM	$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{1}{x^{n}} }$ $=$ $+\infty$ $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{1}{x^{2n}} }$ $=$ $+\infty$ $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{1}{x^{2n+1}} }$ $=$ $-\infty$
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \text{e}^x }$ $=$ $+\infty$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \text{e}^{-x} }$ $=$ $0$	$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} \text{e}^x }$ $=$ $0$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} \text{e}^{-x} }$ $=$ $+\infty$
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n} }$ $=$ $+\infty$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} x^n\text{e}^{-x} }$ $=$ $0$ 4	$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{x^n}{\text{e}^{x}} }$ $=$ $0$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty} x^n \text{e}^{x} }$ $=$ $0$