Terminale ∼ Spécialité mathématique
Combinatoire et dénombrement
Définition n°1
Soit nn un entier naturel. On appelle factorielle de nn, le nombre entier noté n!n! qui est égale au produit de tous les entiers de 11 jusqu'à nn, si n1n\geq1, ou qui vaut 11 si n=0n=0.
Définition n°2
Soit nn un entier naturel et EE un ensemble possèdant nn éléments.
On dit alors que EE est un ensemble fini et son nombre d'éléments est appelé cardinal de EE. On le note card(E)\text{card}(E).
Définition n°3
On dit que deux ensembles AA et BB sont disjoints si ABA\cap B == \varnothing.
Propriété n°1
Soient AA et BB deux ensembles disjoints. On a alors : card(AB)\text{card}(A\cup B) == card(A)+card(B)\text{card}(A)+\text{card}(B).
Propriété n°2
Soit nn un entier naturel non nul, et A1A_1, A2A_2, \dots, AnA_n des ensembles finis, deux à deux disjoints. On a : card(A1A2An)\operatorname{card}\left(A_{1} \cup A_{2} \cup \ldots \cup A_{n}\right) == card(A1)+card(A2)++card(An)\operatorname{card}\left(A_{1}\right)+\operatorname{card}\left(A_{2}\right)+\dots+\operatorname{card}\left(A_{n}\right).
Définition n°4
  • Un couple de deux éléments aa et bb d'un ensemble EE est la donnée de ces deux éléments dans un ordre particulier. On le note (a;b)(a\,;b).
  • Un triplet de trois éléments aa, bb et cc d'un ensemble EE est la donnée de ces trois éléments dans un ordre particulier. On le note (a;b;c)(a\,;b\,;c).
Définition n°5
Soient AA et BB deux ensembles. Le produit cartésien de EE et FF, noté E×FE\times F, est l'ensemble des couples (e;f)(e\,;f) avec ee et ff des éléments respectifs de EE et FF.
Propriété n°3
Soient EE et FF deux ensembles finis. On a : card(E×F)\text{card}(E\times F) == card(E)×card(F)\text{card}(E)\times\text{card}(F).
Propriété n°4
Soit nn un entier naturel non nul, et A1A_1, A2A_2, \dots, AnA_n des ensembles finis. On a : card(A1×A2××An)\operatorname{card}\left(A_{1} \times A_{2} \times \ldots \times A_{n}\right) == card(A1)×card(A2)××card(An)\operatorname{card}\left(A_{1}\right)\times\operatorname{card}\left(A_{2}\right)\times\dots\times\operatorname{card}\left(A_{n}\right).
Définition n°6
Soit AA un ensemble fini et kk un entier naturel non nul. On appelle kk-uplet de AA un élément de AkA^k.
Définition n°7
Une partie d'un ensemble EE est un ensemble formé d'éléments de EE.
Propriété n°5
Soit EE un ensemble fini de cardinal nNn\in\mathbb{N}. Le nombre de parties de EE est de 2n2^n.
Définition n°8
Soient AA un ensemble non vide de cardinal nn et kk un entier naturel inférieur ou égal à nn.
Un arrangement de kk éléments de AA est un kk-uplet d'éléments distincts de AA.
Propriété n°6
Soient AA un ensemble fini non vide à nn elements et kk un entier naturel tel que knk \leq n.
Le nombre de kk-arrangements de AA est égal à : Ank\mathcal{A}_{n}^{k} == n×(n1)××(nk+1)n \times(n-1) \times \dots \times(n-k+1) == n!(nk)!\dfrac{n !}{(n-k) !}.
Définition n°9
Soit AA un ensemble fini non vide de cardinal nn.
Une permutation de AA est un nn-uplet d'éléments distincts de AA.
Propriété n°7
Le nombre de permutations sur un ensemble de cardinal est de n!n!.
Définition n°10
Soit AA un ensemble fini de cardinal nn et kk un entier naturel tel que knk\leq n.
Une combinaison de kk éléments de AA est une partie de AA de cardinal kk.
Le nombre de combinaisons de kk éléments parmi nn est noté (nk){n \choose k}.
Propriété n°8
Soient nn et kk deux entiers naturels tels que knk \leq n. Le nombre de combinaisons de kk éléments d'un ensemble de cardinal nn vérifie :
(nk)\displaystyle{ {n \choose k} } == n!k!(nk)!\dfrac{n!}{k!(n-k)!}.
Propriété n°9
Soit nNn\in\mathbb{N}.
  • (n0)\displaystyle{n \choose 0} == 11,
  • si n1n\geq1, (n1)\displaystyle{n \choose 1} == nn,

  • si n2n\geq2, (n2)\displaystyle{n \choose 2} == n(n1)2\dfrac{n(n-1)}{2}.
Propriété n°10
Soient nn et kk deux entiers naturels tels que knk \leq n. On a alors :
(nk)\displaystyle{ n \choose k } == (nnk)\displaystyle{ n \choose n-k }.
Propriété n°11
Soient nn et kk deux entiers naturels tels que 1kn11\leq k \leq n-1. On a alors :
(nk)\displaystyle{ n \choose k } == (n1k1)+(n1k)\displaystyle{ n-1 \choose k-1 }+\displaystyle{ n-1 \choose k }.
Propriété n°12
Pour tout entier nn : k=0n(nk)\displaystyle{\sum_{k=0}^n{n \choose k}} == 2n.2^n.