Terminale ∼ Spécialité mathématique
Combinatoire et dénombrement
Tout cocher/décocher
Définition n°1
Soit
n
n
n
un entier naturel. On appelle factorielle de
n
n
n
, le nombre entier noté
n
!
n!
n
!
qui est égale au produit de tous les entiers de
1
1
1
jusqu'à
n
n
n
, si
n
≥
1
n\geq1
n
≥
1
, ou qui vaut
1
1
1
si
n
=
0
n=0
n
=
0
.
Définition n°2
Soit
n
n
n
un entier naturel et
E
E
E
un ensemble possèdant
n
n
n
éléments.
On dit alors que
E
E
E
est un ensemble fini et son nombre d'éléments est appelé
cardinal
de
E
E
E
. On le note
card
(
E
)
\text{card}(E)
card
(
E
)
.
Définition n°3
On dit que deux ensembles
A
A
A
et
B
B
B
sont disjoints si
A
∩
B
A\cap B
A
∩
B
=
=
=
∅
\varnothing
∅
.
Propriété n°1
Soient
A
A
A
et
B
B
B
deux ensembles disjoints. On a alors :
card
(
A
∪
B
)
\text{card}(A\cup B)
card
(
A
∪
B
)
=
=
=
card
(
A
)
+
card
(
B
)
\text{card}(A)+\text{card}(B)
card
(
A
)
+
card
(
B
)
.
Propriété n°2
Soit
n
n
n
un entier naturel non nul, et
A
1
A_1
A
1
,
A
2
A_2
A
2
,
…
\dots
…
,
A
n
A_n
A
n
des ensembles finis, deux à deux disjoints. On a :
card
(
A
1
∪
A
2
∪
…
∪
A
n
)
\operatorname{card}\left(A_{1} \cup A_{2} \cup \ldots \cup A_{n}\right)
card
(
A
1
∪
A
2
∪
…
∪
A
n
)
=
=
=
card
(
A
1
)
+
card
(
A
2
)
+
⋯
+
card
(
A
n
)
\operatorname{card}\left(A_{1}\right)+\operatorname{card}\left(A_{2}\right)+\dots+\operatorname{card}\left(A_{n}\right)
card
(
A
1
)
+
card
(
A
2
)
+
⋯
+
card
(
A
n
)
.
Définition n°4
Un couple de deux éléments
a
a
a
et
b
b
b
d'un ensemble
E
E
E
est la donnée de ces deux éléments dans un ordre particulier. On le note
(
a
;
b
)
(a\,;b)
(
a
;
b
)
.
Un triplet de trois éléments
a
a
a
,
b
b
b
et
c
c
c
d'un ensemble
E
E
E
est la donnée de ces trois éléments dans un ordre particulier. On le note
(
a
;
b
;
c
)
(a\,;b\,;c)
(
a
;
b
;
c
)
.
Définition n°5
Soient
A
A
A
et
B
B
B
deux ensembles. Le produit cartésien de
E
E
E
et
F
F
F
, noté
E
×
F
E\times F
E
×
F
, est l'ensemble des couples
(
e
;
f
)
(e\,;f)
(
e
;
f
)
avec
e
e
e
et
f
f
f
des éléments respectifs de
E
E
E
et
F
F
F
.
Propriété n°3
Soient
E
E
E
et
F
F
F
deux ensembles finis. On a :
card
(
E
×
F
)
\text{card}(E\times F)
card
(
E
×
F
)
=
=
=
card
(
E
)
×
card
(
F
)
\text{card}(E)\times\text{card}(F)
card
(
E
)
×
card
(
F
)
.
Propriété n°4
Soit
n
n
n
un entier naturel non nul, et
A
1
A_1
A
1
,
A
2
A_2
A
2
,
…
\dots
…
,
A
n
A_n
A
n
des ensembles finis. On a :
card
(
A
1
×
A
2
×
…
×
A
n
)
\operatorname{card}\left(A_{1} \times A_{2} \times \ldots \times A_{n}\right)
card
(
A
1
×
A
2
×
…
×
A
n
)
=
=
=
card
(
A
1
)
×
card
(
A
2
)
×
⋯
×
card
(
A
n
)
\operatorname{card}\left(A_{1}\right)\times\operatorname{card}\left(A_{2}\right)\times\dots\times\operatorname{card}\left(A_{n}\right)
card
(
A
1
)
×
card
(
A
2
)
×
⋯
×
card
(
A
n
)
.
Définition n°6
Soit
A
A
A
un ensemble fini et
k
k
k
un entier naturel non nul. On appelle
k
k
k
-uplet
de
A
A
A
un élément de
A
k
A^k
A
k
.
Définition n°7
Une
partie
d'un ensemble
E
E
E
est un ensemble formé d'éléments de
E
E
E
.
Propriété n°5
Soit
E
E
E
un ensemble fini de cardinal
n
∈
N
n\in\mathbb{N}
n
∈
N
. Le nombre de parties de
E
E
E
est de
2
n
2^n
2
n
.
Définition n°8
Soient
A
A
A
un ensemble non vide de cardinal
n
n
n
et
k
k
k
un entier naturel inférieur ou égal à
n
n
n
.
Un
arrangement
de
k
k
k
éléments de
A
A
A
est un
k
k
k
-uplet d'éléments distincts de
A
A
A
.
Propriété n°6
Soient
A
A
A
un ensemble fini non vide à
n
n
n
elements et
k
k
k
un entier naturel tel que
k
≤
n
k \leq n
k
≤
n
.
Le nombre de
k
k
k
-arrangements de
A
A
A
est égal à :
A
n
k
\mathcal{A}_{n}^{k}
A
n
k
=
=
=
n
×
(
n
−
1
)
×
⋯
×
(
n
−
k
+
1
)
n \times(n-1) \times \dots \times(n-k+1)
n
×
(
n
−
1
)
×
⋯
×
(
n
−
k
+
1
)
=
=
=
n
!
(
n
−
k
)
!
\dfrac{n !}{(n-k) !}
(
n
−
k
)
!
n
!
.
Définition n°9
Soit
A
A
A
un ensemble fini non vide de cardinal
n
n
n
.
Une
permutation
de
A
A
A
est un
n
n
n
-uplet d'éléments distincts de
A
A
A
.
Propriété n°7
Le nombre de permutations sur un ensemble de cardinal est de
n
!
n!
n
!
.
Définition n°10
Soit
A
A
A
un ensemble fini de cardinal
n
n
n
et
k
k
k
un entier naturel tel que
k
≤
n
k\leq n
k
≤
n
.
Une
combinaison
de
k
k
k
éléments de
A
A
A
est une partie de
A
A
A
de cardinal
k
k
k
.
Le nombre de combinaisons de
k
k
k
éléments parmi
n
n
n
est noté
(
n
k
)
{n \choose k}
(
k
n
)
.
Propriété n°8
Soient
n
n
n
et
k
k
k
deux entiers naturels tels que
k
≤
n
k \leq n
k
≤
n
. Le nombre de combinaisons de
k
k
k
éléments d'un ensemble de cardinal
n
n
n
vérifie :
(
n
k
)
\displaystyle{ {n \choose k} }
(
k
n
)
=
=
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
\dfrac{n!}{k!(n-k)!}
k
!
(
n
−
k
)
!
n
!
.
Propriété n°9
Soit
n
∈
N
n\in\mathbb{N}
n
∈
N
.
(
n
0
)
\displaystyle{n \choose 0}
(
0
n
)
=
=
=
1
1
1
,
si
n
≥
1
n\geq1
n
≥
1
,
(
n
1
)
\displaystyle{n \choose 1}
(
1
n
)
=
=
=
n
n
n
,
si
n
≥
2
n\geq2
n
≥
2
,
(
n
2
)
\displaystyle{n \choose 2}
(
2
n
)
=
=
=
n
(
n
−
1
)
2
\dfrac{n(n-1)}{2}
2
n
(
n
−
1
)
.
Propriété n°10
Soient
n
n
n
et
k
k
k
deux entiers naturels tels que
k
≤
n
k \leq n
k
≤
n
. On a alors :
(
n
k
)
\displaystyle{ n \choose k }
(
k
n
)
=
=
=
(
n
n
−
k
)
\displaystyle{ n \choose n-k }
(
n
−
k
n
)
.
Propriété n°11
Soient
n
n
n
et
k
k
k
deux entiers naturels tels que
1
≤
k
≤
n
−
1
1\leq k \leq n-1
1
≤
k
≤
n
−
1
. On a alors :
(
n
k
)
\displaystyle{ n \choose k }
(
k
n
)
=
=
=
(
n
−
1
k
−
1
)
+
(
n
−
1
k
)
\displaystyle{ n-1 \choose k-1 }+\displaystyle{ n-1 \choose k }
(
k
−
1
n
−
1
)
+
(
k
n
−
1
)
.
Propriété n°12
Pour tout entier
n
n
n
:
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
\displaystyle{\sum_{k=0}^n{n \choose k}}
k
=
0
∑
n
(
k
n
)
=
=
=
2
n
.
2^n.
2
n
.
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