Terminale ∼ Spécialité mathématique
Dérivation

Tout cocher/décocher

Définition n°1 -- Nombre dérivé
La fonction

f

est dite dérivable en

a

si

\displaystyle{\lim_{x\mapsto a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}

existe et est finie. Dans ce cas cette limite s'appelle le nombre dérivé de

f

en

a

. On le note

f'(a)

, c'est-à-dire :

\displaystyle{f'(a)=\lim_{x\mapsto a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}

ou encore,

\displaystyle{f'(a)=\lim_{h\mapsto 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}.

Définition n°2 -- Fonction dérivable
On dit que

f

est dérivable sur l'intervalle

I

si elle est dérivable en tout nombre de

I

.
On peut alors définir une fonction qui à tout

x

de

I

associe le nombre

f'(x)

.
On l'appelle la fonction dérivée de la fonction

f

sur

I

et on la note

f'

.

Définition n°3 -- Tangente à une courbe
On note

\mathcal{C}_f

la courbe représentative de la fonction

f

dans un repère. On considère le point

A(a,f(a))

. Si le nombre

f'(a)

existe on a alors que, la tangente à

\mathcal{C}_f

au point d'abscisse

a

est la droite passant par

A

et de coefficient directeur

f'(a)

.

Propriété n°1 -- Équation de la tangente
Soit

f

une fonction dérivable en

a

. L'équation réduite de la tangente à

\mathcal{C}_f

au point d'abscisse

a

, est donnée par :

y=f'(a)(x-a)+f(a).

$f(x)$	$f'(x)$	Intervalle de dérivabilité
$c$ (constante)	0	$\mathbb{R}$
$x$	1	$\mathbb{R}$
$x^n$ ( $n\in\mathbb{N}^*$ )	$nx^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$
$\dfrac{1}{x^n}$	$-\dfrac{n}{x^{n+1}}$	$]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0;+\infty[$
$\text{e}^x$	$\text{e}^x$	$\mathbb{R}$

Propriété n°2

(u+v)'

=

u'+v'

(k\times u)'

=

k\times u'

(u\times v)'

=

u'v+v'u

\left(\dfrac{1}{v}\right)'

=

-\dfrac{v'}{v^2}

\left(\dfrac{u}{v}\right)'

=

\dfrac{u'v-v'u}{v^2}

Définition n°4 -- Fonction composée
Soit

v

est une fonction définie sur un intervalle

J

et

u

une fonction définie sur un intervalle

I

tel que, pour tout réel

x

de

I

,

u(x)

appartient à

J

.

On appelle fonction composée

v\circ u

la fonction

f

définie pour tout

x

appartenant à

I

par :

f(x)

=

v \circ u(x)

=

v(u(x)).

Propriété n°3
Soit

v

est une fonction dérivable sur un intervalle

J

et

u

une fonction dérivable sur un intervalle

I

tel que, pour tout réel

x

de

I

,

u(x)

appartient à

J

. On a alors :

(v \circ u)'

=

u'\times (v'\circ u)

.
C'est-à-dire, pour tout réel

x\in I

tel que

u(x)\in J

:

(v \circ u)'(x)

=

u'(x)\times v'( u(x))

.

Propriété n°4
Soient

u

et

f

deux fonctions dérivables sur un intervalle

I

.

(u^n)'

=

nu'u^{n-1}

(pour

n\in\mathbb{N}

,

n\geq1

)

\left(\text{e}^u\right)'

=

u'\text{e}^u

.

Si

u

ne s'annule pas sur

I

,

\left(\dfrac{1}{u^n}\right)'

=

-\dfrac{nu'}{u^{n+1}}

(pour

n\in\mathbb{N}

)

Si

u

est strictement positive sur

I

,

(\sqrt{u})'

=

\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}

Pour tous réels

a

et

b

,

\displaystyle{\left(f(ax+b)\right)'}

=

a\times f'(ax+b)

.

Propriété n°5
Soit

f

une fonction définie sur intervalle

I

.

\circ

Si pour tout

x\in I

,

f'(x)>0

, sauf peut-être en un nombre fini de valeurs où

f'(x)=0

, alors

f

est strictement croissante sur

I

.

\circ

Si pour tout

x\in I

,

f'(x)<0

, sauf peut-être en un nombre fini de valeurs où

f'(x)=0

, alors

f

est strictement décroissante sur

I

.

\circ

Si pour tout

x\in I

,

f'(x)=0

alors

f

est constante sur

I

.

Propriété n°6 -- Extremun local
Soit

f

une fonction dérivable sur un intervalle

I

contenant

x_0

.
Si

f'

s'annule, en changeant de signe en

x_0

, alors

f(x_0)

est un extremum local pour

f

sur

I

.