Terminale ∼ Spécialité mathématique
Continuité / Fonctions convexes
Tout cocher/décocher
Définition n°1
-- Fonction continue
Soient
I
I
I
un intervalle de
R
\mathbb{R}
R
,
f
f
f
une fonction définie sur
I
I
I
, et
a
a
a
un réel appartenant à l'intervalle
I
I
I
.
f
f
f
est continue en
a
a
a
si
lim
x
→
a
f
(
x
)
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}
x
→
a
lim
f
(
x
)
existe et vaut
f
(
a
)
f(a)
f
(
a
)
.
f
f
f
est continue sur
I
I
I
si pour tout réel
a
∈
I
a\in I
a
∈
I
:
f
f
f
est continue en
a
a
a
.
Propriété n°1
Les fonctions polynômes, rationnelles et racines sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
Il en est de même des fonctions construites à partir de celles-ci par addition, multiplication et composition.
Définition n°2
-- Fonction partie entière
La fonction partie entière est la fonction, fréquemment notée
E
E
E
, qui à tout réel
x
x
x
associe l'unique entier
n
n
n
tel que :
n
≤
x
<
n
+
1
.
n\leq x < n+1.
n
≤
x
<
n
+
1
.
Par ailleurs, comme nous pouvons le voir sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative de la fonction partie entière ressemble à un "escalier". Nous y observons des "sauts" au niveau de chacun des entiers. Nous parlons ici de discontinuité.
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
0,0
Propriété n°2
-- Théorème des valeurs intermédiaires
Soit
f
f
f
une fonction définie et continue sur un intervalle
I
I
I
, et soient
a
a
a
et
b
b
b
deux réels de
I
I
I
.
Si
k
k
k
est un réel compris entre les valeurs
f
(
a
)
f(a)
f
(
a
)
et
f
(
b
)
f(b)
f
(
b
)
, alors l'équation
f
(
x
)
=
k
f(x)=k
f
(
x
)
=
k
admet au moins une solution sur l'intervalle
I
I
I
.
Propriété n°3
-- Théorème de la bijection
Soit
f
f
f
une fonction définie sur un intervalle
[
a
;
b
]
[a;b]
[
a
;
b
]
. Si
f
f
f
est continue et strictement monotone sur l'intervalle
[
a
;
b
]
[a;b]
[
a
;
b
]
, alors pour tout réel
k
k
k
compris entre
f
(
a
)
f(a)
f
(
a
)
et
f
(
b
)
f(b)
f
(
b
)
l'équation
f
(
x
)
=
k
f(x)=k
f
(
x
)
=
k
admet une unique solution sur l'intervalle
[
a
;
b
]
[a;b]
[
a
;
b
]
.
Propriété n°4
Toute fonction dérivable sur un intervalle
I
I
I
est continue sur
I
I
I
.
Propriété n°5
Soit
f
f
f
une fonction définie sur intervalle
I
I
I
de
R
\mathbb{R}
R
, continue en
a
∈
I
a\in I
a
∈
I
. Soit
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
une suite convergeant vers
a
a
a
. On a alors :
lim
n
→
+
∞
f
(
u
n
)
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}f(u_n) }
n
→
+
∞
lim
f
(
u
n
)
=
=
=
f
(
lim
n
→
+
∞
u
n
)
\displaystyle{f\left( \lim_{n\rightarrow+\infty}u_n \right)}
f
(
n
→
+
∞
lim
u
n
)
=
=
=
f
(
a
)
f(a)
f
(
a
)
.
Propriété n°6
Soient une fonction
f
f
f
continue sur un intervalle
I
I
I
telle que pour tout
x
∈
I
x\in I
x
∈
I
,
f
(
x
)
∈
I
f(x)\in I
f
(
x
)
∈
I
, et
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
la suite définie par
u
0
∈
I
u_0\in I
u
0
∈
I
et pour tout entier
n
n
n
,
u
n
+
1
=
f
(
u
n
)
u_{n+1}=f(u_n)
u
n
+
1
=
f
(
u
n
)
.
Si
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
converge vers
ℓ
∈
I
\ell\in I
ℓ
∈
I
, alors
ℓ
\ell
ℓ
est une solution de l'équation
f
(
x
)
=
x
f(x)=x
f
(
x
)
=
x
.
Définition n°3
Soit
f
f
f
une fonction définie sur un intervalle
I
I
I
et
C
\mathcal{C}
C
sa courbe représentative dans un repère du plan.
On dit que
f
f
f
est
convexe
sur
I
I
I
, si pour tous réels
a
a
a
et
b
b
b
de
I
I
I
, la portion de
C
\mathcal{C}
C
comprise entre les points
A
(
a
;
f
(
a
)
)
A(a\,;f(a))
A
(
a
;
f
(
a
)
)
et
B
(
b
;
f
(
b
)
)
B(b\,;f(b))
B
(
b
;
f
(
b
)
)
est
en dessous
du segment
[
A
B
]
[AB]
[
A
B
]
.
On dit que
f
f
f
est
concave
sur
I
I
I
, si pour tous réels
a
a
a
et
b
b
b
de
I
I
I
, la portion de
C
\mathcal{C}
C
comprise entre les points
A
(
a
;
f
(
a
)
)
A(a\,;f(a))
A
(
a
;
f
(
a
)
)
et
B
(
b
;
f
(
b
)
)
B(b\,;f(b))
B
(
b
;
f
(
b
)
)
est
au-dessus
du segment
[
A
B
]
[AB]
[
A
B
]
.
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
2
4
6
8
−2
0,0
A
B
Graphe d'une fonction convexe
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
2
4
6
8
−2
0,0
A
B
Graphe d'une fonction concave
Définition n°4
Soit
f
f
f
une fonction deux fois dérivable sur un intervalle
I
I
I
et
C
\mathcal{C}
C
sa courbe représentative dans un repère et
a
∈
I
a \in I
a
∈
I
.
Le point
A
(
a
;
f
(
a
)
)
A(a;f(a))
A
(
a
;
f
(
a
)
)
de
C
\mathcal{C}
C
est un
point d'inflexion
de
C
\mathcal{C}
C
si et seulement si
f
′
′
f''
f
′
′
s'annule en changeant de signe en
a
a
a
. Graphiquement,
C
\mathcal{C}
C
admet une tangente qui traverse la courbe
C
\mathcal{C}
C
en ce point
A
A
A
.
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
2
4
6
8
−2
0,0
–
o
+
←
↓
↑
→
Point d'inflexion en
x
=
1
x=1
x
=
1
Propriété n°7
Soit
f
f
f
une fonction deux fois dérivable sur un intervalle
I
I
I
.
Les propositions suivantes sont équivalentes :
f
f
f
est convexe sur
I
I
I
,
f
′
f'
f
′
est croissante sur
I
I
I
,
f
′
′
f''
f
′
′
est positive sur
I
I
I
.
Propriété n°8
Soit
f
f
f
une fonction deux fois dérivable sur un intervalle
I
I
I
.
Les propositions suivantes sont équivalentes :
f
f
f
est concave sur
I
I
I
,
f
′
f'
f
′
est décroissante sur
I
I
I
,
f
′
′
f''
f
′
′
est négative sur
I
I
I
.
Propriété n°9
Soit
f
f
f
une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle
[
a
;
b
]
[a\,;b]
[
a
;
b
]
de
R
\mathbb{R}
R
.
Si
f
′
′
f''
f
′
′
est positive, alors la courbe représentative de
f
f
f
est au-dessus de ses tangentes.
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