Terminale ∼ Spécialité mathématiques
Géométrie dans l'espace (2)
Définition n°1
Soient u⃗(xyz)\vec{u} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} et v⃗(x′y′z′)\vec{v} \begin{pmatrix}x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} deux vecteurs. Le produit scalaire de u⃗\vec{u} et v⃗\vec v est le nombre réel noté u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v} tel que : u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} == xx′xx' ++ yy′yy' ++ zz′.zz'.
Définition n°2
Soit u⃗(xyz)\vec u \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} un vecteur et MM un point tel que u⃗=OM→\vec u =\overrightarrow{OM}. La norme du vecteur u⃗\vec u est le réel positif : ∣∣u⃗∣∣ ||\vec u|| == OMOM == x2+y2+z2\sqrt{x^2+y^2+z^2} == u⃗⋅u⃗.\sqrt{\vec u \cdot \vec u}.
Définition n°3
Soient AA et BB deux points de l'espace. La distance ABAB est définie par la norme du vecteur AB→\overrightarrow{AB}.
En conclusion, M(x;y;z)∈S(A,r) M(x;y;z)\in \mathscr{S}(A,r) si et seulement si : (x−xA)2+(y−yA)2+(z−zA)2(x-x_A)^2+(y-y_A)^2+(z-z_A)^2 == r2.r^2.
Propriété n°1
Soient u⃗\vec u et v⃗\vec v deux vecteurs de l'espace. u⃗\vec u et v⃗\vec v sont orthogonaux si et seulement si u⃗⋅v⃗=0.\vec{u}\cdot\vec{v}=0.
Définition n°4
Soient deux vecteurs de base d'un plan ou trois vecteurs de base de l'espace. Si ces vecteurs sont orthogonaux la base est dite orthogonale et si de plus les vecteurs sont de norme 11 la base est dite orthonormée.
Un repère orthonormée est la donnée d'un point et d'une base orthonormée.
Propriété n°2
  1. Pour tous vecteurs u⃗\vec u, v⃗\vec v : u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v == v⃗⋅u⃗\vec v \cdot \vec u.
  2. Pour tous vecteurs u⃗\vec u, u⃗′\vec u' et v⃗\vec v : (u⃗+u⃗′)⋅v⃗(\vec u + \vec u')\cdot\vec v == u⃗⋅v⃗+u⃗′⋅v⃗\vec u \cdot\vec v +\vec u' \cdot\vec v.
  3. Pour tous vecteurs u⃗\vec u, v⃗\vec v et tout k∈Rk \in \mathbb{R} : (ku⃗)⋅v⃗(k\vec u)\cdot\vec v == k×u⃗⋅v⃗k\times \vec u \cdot \vec v.
  4. Pour tout vecteur u⃗\vec u : 0⃗⋅u⃗\vec{0}\cdot\vec u == u⃗⋅0⃗\vec u \cdot\vec{0} == 00.
Propriété n°3
  1. Pour tout vecteur u⃗(xyz)\vec u \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} : ∥u⃗∥2\| \vec u \|^2 == u⃗⋅u⃗\vec u \cdot \vec u == x2+y2+z2x^2 + y^2 +z^2.

  2. Pour tout vecteur u⃗\vec u et tout k∈Rk \in \mathbb{R} : ∥ku⃗∥\| k\vec u \| == ∣k∣∥u⃗∥|k|\| \vec u \|.

  3. Pour tous vecteurs u⃗\vec u, v⃗\vec v : ∥u⃗+v⃗∥2\| \vec u + \vec v \|^2 == ∥u⃗∥2+2u⃗.v⃗+∥v⃗∥2\|\vec u \|^2 + 2\vec u . \vec v + \|\vec v \|^2.

  4. Pour tous vecteurs u⃗\vec u, v⃗\vec v : u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v == 12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)\dfrac{1}{2}\left(\| \vec u + \vec v \|^2 -\|\vec u \|^2 - \|\vec v \|^2\right).

  5. Pour tous vecteurs u⃗\vec u, v⃗\vec v : u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v == 12(∥u⃗∥2+∥v⃗∥2−∥u⃗−v⃗∥2)\dfrac{1}{2}\left(\|\vec u \|^2 + \|\vec v \|^2 - \| \vec u - \vec v \|^2\right).

  6. Pour tous vecteurs u⃗\vec u, v⃗\vec v : u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v == 14(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗−v⃗∥2)\dfrac{1}{4}\left(\| \vec u + \vec v \|^2- \| \vec u - \vec v \|^2\right).
Propriété n°4
Soient AA, BB et CC trois points de l'espace. AB→⋅AC→ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} == ABAB ×\times ACAC ×\times cos⁡(AB→,AC→)\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}).
Définition n°5
Soit n⃗\vec n un vecteur non nul et P\mathscr{P} un plan de l'espace. On dit que n⃗\vec n est normal à P\mathscr{P} si et seulement si toute droite de vecteur directeur n⃗\vec n est perpendiculaire à P\mathscr{P}.
Propriété n°5
Soit AA un point d'un plan P\mathscr P et n⃗\vec n un vecteur normal à P\mathscr P. Alors le plan P\mathscr P est l'ensemble des points MM de l'espace tels que AM→⋅n⃗\overrightarrow{AM} \cdot \vec n == 00.
Définition n°6
Soit P\mathscr{P} un plan de vecteur normal n⃗\vec n et AA un point de l'espace.
Supposons A̸∈PA\not\in \mathscr{P} et posons D \mathscr{D} == <A,n⃗>< A,\vec{n} >, la droite engendrée par AA et le vecteur n⃗\vec n. (Cela signifie que D \mathscr{D} est la droite passant par AA et dirigée par le vecteur n⃗\vec n).
Alors le projeté orthogonal de AA sur P\mathscr P est : H=D∩P.H = \mathscr D \cap \mathscr P.
Propriété n°6
On considère un plan P\mathscr{P} de l'espace ainsi qu'un point AA. On note HH le projeté orthogonal de AA sur P\mathscr{P}.
Pour tout point M∈PM\in\mathscr{P}, AH≤AMAH\leq AM. Ainsi, le projeté orthogonal est le point de P\mathscr{P} le plus de proche de AA.
Propriété n°7
Une droite dd est orthogonale à toute droite d'un plan P\mathscr P si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes d1d_1 et d2d_2 de ce plan.
Propriété n°8
Soit P\mathscr P un plan dirigé par deux vecteurs non colinéaires u⃗\vec u et v⃗\vec v. Soit n⃗\vec n un vecteur de l'espace.
Si n⃗\vec n est orthogonal à u⃗\vec u et v⃗\vec v alors n⃗\vec n est normal à P\mathscr P.
Propriété n°9
  1. Dans un repère orthonormé, un plan P\mathscr P de vecteur normal n⃗\vec{n} (abc)\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} a une équation cartésienne de la forme : ax+by+cz+d=0ax + by +cz + d= 0 où d∈Rd \in \mathbb{R} fixé.
  2. Réciproquement, si aa, bb, cc ne sont pas tous les trois nuls, l'ensemble (E)(E) des points M(x;y;z)M(x;y;z) tels que ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d =0 est un plan de vecteur normal n⃗(abc)\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}.
Définition n°7
Soient AA et BB deux points distincts de l'espace et soit MM le milieu du segment [AB][AB]. Le plan médiateur de [AB][AB] est le plan perpendiculaire à (AB)(AB) passant par MM.
Propriété n°10
Soient AA et BB deux points distincts de l'espace. Le plan médiateur de [AB][AB] est l'ensemble des points MM de l'espace tels que AM=BMAM=BM.
Propriété n°11
Soient P1\mathscr{P}_1 et P2\mathscr{P}_2 deux plans ayant pour vecteurs normaux respectifs n⃗1\vec n_1 et n⃗2\vec n_2. Alors : P1//P2\mathscr{P}_1 // \mathscr{P}_2 ⟺\Longleftrightarrow n→1\overrightarrow n_1 et n→2\overrightarrow n_2 sont colinéaires.
Propriété n°12
Soient P1\mathscr{P}_1 et P2\mathscr{P}_2 deux plans de vecteurs normaux respectifs n1→\overrightarrow{n_1} et n2→\overrightarrow{n_2}.
les plans P1\mathscr{P}_1 et P2\mathscr{P}_2 sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs n1→\overrightarrow{n_1} et n2→\overrightarrow{n_2} sont orthogonaux.