Terminale ∼ Spécialité mathématiques
Géométrie dans l'espace (2)
Définition n°1
Soient $\vec{u} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix}x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$ deux vecteurs. Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec v$ est le nombre réel noté $\vec{u}\cdot\vec{v}$ tel que : $\vec{u} \cdot \vec{v}$ $=$ $xx'$ $+$ $yy'$ $+$ $zz'.$
Définition n°2
Soit $\vec u \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ un vecteur et $M$ un point tel que $\vec u =\overrightarrow{OM}$. La norme du vecteur $\vec u $ est le réel positif : $ ||\vec u||$ $=$ $OM$ $=$ $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ $=$ $\sqrt{\vec u \cdot \vec u}. $
Définition n°3
Soient $A$ et $B$ deux points de l'espace. La distance $AB$ est définie par la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
En conclusion, $ M(x;y;z)\in \mathscr{S}(A,r)$ si et seulement si : $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2+(z-z_A)^2$ $=$ $r^2.$
Propriété n°1
Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs de l'espace. $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u}\cdot\vec{v}=0.$
Définition n°4
Soient deux vecteurs de base d'un plan ou trois vecteurs de base de l'espace. Si ces vecteurs sont orthogonaux la base est dite orthogonale et si de plus les vecteurs sont de norme $1$ la base est dite orthonormée.
Un repère orthonormée est la donnée d'un point et d'une base orthonormée.
Propriété n°2
  1. Pour tous vecteurs $\vec u$, $\vec v$ : $\vec u \cdot \vec v$ $=$ $\vec v \cdot \vec u$.
  2. Pour tous vecteurs $\vec u$, $\vec u'$ et $\vec v$ : $(\vec u + \vec u')\cdot\vec v$ $=$ $\vec u \cdot\vec v +\vec u' \cdot\vec v$.
  3. Pour tous vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et tout $k \in \mathbb{R}$ : $(k\vec u)\cdot\vec v$ $=$ $k\times \vec u \cdot \vec v$.
  4. Pour tout vecteur $\vec u$ : $\vec{0}\cdot\vec u$ $=$ $\vec u \cdot\vec{0}$ $=$ $0$.
Propriété n°3
  1. Pour tout vecteur $\vec u \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ : $\| \vec u \|^2$ $=$ $\vec u \cdot \vec u$ $=$ $x^2 + y^2 +z^2$.

  2. Pour tout vecteur $\vec u$ et tout $k \in \mathbb{R}$ : $\| k\vec u \|$ $=$ $|k|\| \vec u \|$.

  3. Pour tous vecteurs $\vec u$, $\vec v$ : $\| \vec u + \vec v \|^2$ $=$ $\|\vec u \|^2 + 2\vec u . \vec v + \|\vec v \|^2$.

  4. Pour tous vecteurs $\vec u$, $\vec v$ : $\vec u \cdot \vec v$ $=$ $\dfrac{1}{2}\left(\| \vec u + \vec v \|^2 -\|\vec u \|^2 - \|\vec v \|^2\right)$.

  5. Pour tous vecteurs $\vec u$, $\vec v$ : $\vec u \cdot \vec v$ $=$ $\dfrac{1}{2}\left(\|\vec u \|^2 + \|\vec v \|^2 - \| \vec u - \vec v \|^2\right)$.

  6. Pour tous vecteurs $\vec u$, $\vec v$ : $\vec u \cdot \vec v$ $=$ $\dfrac{1}{4}\left(\| \vec u + \vec v \|^2- \| \vec u - \vec v \|^2\right)$.
Propriété n°4
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points de l'espace. $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ $=$ $AB$ $\times$ $AC$ $\times$ $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
Définition n°5
Soit $\vec n$ un vecteur non nul et $\mathscr{P}$ un plan de l'espace. On dit que $\vec n$ est normal à $\mathscr{P}$ si et seulement si toute droite de vecteur directeur $\vec n$ est perpendiculaire à $\mathscr{P}$.
Propriété n°5
Soit $A$ un point d'un plan $\mathscr P$ et $\vec n$ un vecteur normal à $\mathscr P$. Alors le plan $\mathscr P$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\overrightarrow{AM} \cdot \vec n$ $=$ $0$.
Définition n°6
Soit $\mathscr{P}$ un plan de vecteur normal $\vec n$ et $A$ un point de l'espace.
Supposons $A\not\in \mathscr{P}$ et posons $ \mathscr{D}$ $=$ $< A,\vec{n} >$, la droite engendrée par $A$ et le vecteur $\vec n$. (Cela signifie que $ \mathscr{D}$ est la droite passant par $A$ et dirigée par le vecteur $\vec n$).
Alors le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathscr P$ est : $H = \mathscr D \cap \mathscr P.$
Propriété n°6
On considère un plan $\mathscr{P}$ de l'espace ainsi qu'un point $A$. On note $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathscr{P}$.
Pour tout point $M\in\mathscr{P}$, $AH\leq AM$. Ainsi, le projeté orthogonal est le point de $\mathscr{P}$ le plus de proche de $A$.
Propriété n°7
Une droite $d$ est orthogonale à toute droite d'un plan $\mathscr P$ si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes $d_1$ et $d_2$ de ce plan.
Propriété n°8
Soit $\mathscr P$ un plan dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec u$ et $\vec v$. Soit $\vec n$ un vecteur de l'espace.
Si $\vec n$ est orthogonal à $\vec u$ et $\vec v$ alors $\vec n$ est normal à $\mathscr P$.
Propriété n°9
  1. Dans un repère orthonormé, un plan $\mathscr P$ de vecteur normal $\vec{n}$ $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ a une équation cartésienne de la forme : $ax + by +cz + d= 0$ où $d \in \mathbb{R}$ fixé.
  2. Réciproquement, si $a$, $b$, $c$ ne sont pas tous les trois nuls, l'ensemble $(E)$ des points $M(x;y;z)$ tels que $ax+by+cz+d =0$ est un plan de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$.
Définition n°7
Soient $A$ et $B$ deux points distincts de l'espace et soit $M$ le milieu du segment $[AB]$. Le plan médiateur de $[AB]$ est le plan perpendiculaire à $(AB)$ passant par $M$.
Propriété n°10
Soient $A$ et $B$ deux points distincts de l'espace. Le plan médiateur de $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $AM=BM$.
Propriété n°11
Soient $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ deux plans ayant pour vecteurs normaux respectifs $\vec n_1$ et $\vec n_2$. Alors : $\mathscr{P}_1 // \mathscr{P}_2$ $\Longleftrightarrow$ $\overrightarrow n_1$ et $\overrightarrow n_2$ sont colinéaires.
Propriété n°12
Soient $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ deux plans de vecteurs normaux respectifs $\overrightarrow{n_1}$ et $\overrightarrow{n_2}$.
les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{n_1}$ et $\overrightarrow{n_2}$ sont orthogonaux.