Terminale ∼ Spécialité mathématiques Fonction logarithme népérien Quelques questions pour démarrer
Résoudre $x^2=4$.
Cette équation possède deux solutions :$-2$ et $2$.
Pour $a>0$, existe-t-il un nombre positif qui élevé au carré vaut $a$ ?
En étudiant la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$par$f(x)=x^2-a$, le théorème de la bijection nous assure l'existenceetl'unicité d'un tel nombre.
Par définition, si $a>0$, alors $\sqrt{a}$ est la solution positive de l'équation $x^2=a$.
Quel est l'image du point $A(2;4)$ par la symétrie d'axe $D:y=x$ ?
Déplacerle point $A$
Le point $B(4,2)$ est le symétrique de $A$ par rapport à $D$.
Retenons que la symétrie d'axe $D$ : $y=x$échange les coordonnées.
Ainsi, le point $M(x;y)$ a pour image $M' (y;x)$.
Existe-t-il un nombre strictement positif dont l'exponentielle vaut $b$ ?
Si $b\leq0$ la réponse est négative.
Si $b>0$ le théorème de la bijection appliqué à la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\text{e}^x-b$ nous permet de répondre par l'affirmative.
Définition et propriétésDéfinition
Pour tout nombre réel $b$ strictement positif, il existe un unique réel$\alpha$tel que$\exp(\alpha)=b$.
On appelle ce nombre le logarithme népérien de $b$.
On le note $\alpha=\ln(b)$.
$\ln(1)$$=$$0$.
$\ln(\text{e})$$=$$1$.
Pour tout $x$ strictement positif, $\text{e}^{\ln(x)}$$=$$x$.
Pour tout $x$ réel, $\ln(\text{e}^{x})$$=$$x$.
Extrait de l'œvre de John Napier qui introduit les logarithmes en 1614
Propriétés algébriques-- Logarithme népérien d'un produit
Pour tout réel $a$ et $b$ strictement positifs, on a :
$\ln(ab)$$=$$\ln(a)+\ln(b).$Preuve
On va calculer et comparer $\text{e}^{\ln(ab)}$et$\text{e}^{\ln(a)+\ln(b)}$.
On a d'une part : $\text{e}^{\ln(ab)}$$=$$ab$.
D'autre part : $\text{e}^{\ln(a)+\ln(b)}$$=$$\text{e}^{\ln(a)} \times \text{e}^{\ln(b)}$$=$$ab$.
Or, $\text{e}^{A}=\text{e}^{B}$$\Longleftrightarrow$$A=B$.
D'où, $\ln(ab)= \ln(a)+\ln(b)$. -- Logarithme népérien de l'inverse
Pour tout réel $a$ strictement positif, on a :
$\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)$$=$$- \ln(a).$Preuve
On utilise la propriété précédente : $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)+\ln(a)$$=$$\ln\left(\dfrac{1}{a}\times a\right)$$=$$\ln(1)$$=$$0.$
D'où $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)$ $=$ $-\ln(a)$. -- Logarithme népérien d'un quotient
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a :
$\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$$=$$\ln(a) - \ln(b).$Preuve
On utilise les deux propriétés précédentes :
$\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$$=$$\ln\left(a\times \dfrac{1}{b}\right)$$=$$\ln(a)+\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)$$=$$\ln(a)-\ln(b).$ -- Logarithme népérien d'une puissance
Pour tout réel $a$ strictement positif et tout entier naturel $n$, on a :
$\ln(a^{n})$$=$$n\times \ln(a).$Preuve
Remarquons tout d'abord que : $\ln(a^2)$$=$$\ln(a\times a)$$=$$\ln(a)+\ln(a)$$=$$2\ln(a)$. De même : $\ln(a^3)$$=$$\ln(a\times a^2)$$=$$\ln(a)+2\ln(a)$$=$$3\ln(a)$.
En généralisant, pour $n$ assez grand, on a :
$\ln(a^{n})$$=$$\ln(a)+\ln(a^{n-1})$.
Donc, $\ln(a^{n})$$=$$\ln(a)+ \ln(a)+\ln(a^{n-2})$. On répète jusqu'à obtenir :
$\ln(a^{n})$$=$$\underbrace{\ln(a)+ \ln(a)+\cdots+\ln(a)}_{n \text{ fois}}$$=$$n\times \ln(a)$.
Nous aurions pu démontrer directement cette propriété par récurrence. -- Logarithme népérien d'une racine carrée
Pour tout réel $a$ strictement positif, on a :
$\ln(\sqrt{a})$$=$$\dfrac{1}{2} \times \ln(a).$Preuve
On a : $\ln(a)$$=$$\ln((\sqrt{a})^{2})$$=$$2 \times \ln(\sqrt{a}) $.
D'où $\ln(\sqrt{a})$ $=$ $\dfrac{1}{2} \times \ln(a)$.
Fonction logarithme népérienDéfinition
On appelle fonction logarithme népérien, la fonction qui à tout réel $x$ de l'intervalle
$]0\, ; +\infty [$ associe le réel $\ln(x)$.
On dit que les fonctions $\ln$ et $\exp$ sont réciproques.
Pour tout réel $x>0$ et pour tout réel $y$, on a : $y = \ln(x)$si et seulement si$x = \text{e}^{y}$.
Dans un repère orthonormal, les courbes $(E)$ et $(L)$, qui représentent respectivement les fonctions $\exp$ et $\ln$, sont symétriquespar rapport à la droite d'équation $y = x$.
Pour tout réel $x > 0$ et pour tout réel $y$ on a : $M'(x;y)\in(L)$ si et seulement si $M(y;x)\in(E)$.
Preuve
On procède par changement de variable à partir des limites de la fonction exponentielle.
On pose $x=\text{e}^X$, expression équivalente à $X$ $=$ $\ln(x)$.
On a alors : $x\rightarrow 0^{+}$$\Longleftrightarrow$$\text{e}^X\rightarrow 0^{+}$$\Longleftrightarrow$$X\rightarrow-\infty$.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln(x)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{X\rightarrow+\infty}\ln\left( \text{e}^X \right)}$$=$$\displaystyle{\lim_{X\rightarrow+\infty}X}$$=$$+\infty$.Dérivabilité et continuité de la fonction ln
La fonction $\ln$ est continue et dérivable sur $]0\, ;+\infty [$ et pour tout réel $x$ strictement positif,
$(\ln(x))'$$=$$\dfrac{1}{x}.$Preuve
Pour tout réel $x$, $(\exp(x))'$ $=$ $\exp(x)$$\neq$ $0$ donc la courbe représentative de la fonction exponentielle n'admet que des tangentes non horizontale en chacun de ses points.
Ainsi par symétrie, la courbe représentative de la fonction $\ln$ admet en tout point une tangente non verticale.
La fonction $\ln$ est donc dérivable sur $]0\, ;+\infty [$ et est donc aussi continue sur cet intervalle.
Pour le calcul de la dérivée on utilise : $(\text{e}^{u})'$ $=$ $u' \times \text{e}^{u}$ pour dériver l'égalité $\text{e}^{\ln(x)}$$=$$x$.
$(\text{e}^{\ln(x)})'$
$=$
$(\ln(x))' \times \text{e}^{\ln(x)}$
$\Longleftrightarrow$
$(x)'$
$=$
$(\ln(x))' \times x$
$\Longleftrightarrow$
$1$
$=$
$(\ln(x))' \times x$
$\Longleftrightarrow$
$\dfrac{1}{x}$
$=$
$(\ln(x))'.$
Déterminer l'expression de la dérivée des fonctions suivantes sur $[0;+\infty[$ :
$f(x)=\ln(x)+\dfrac{1}{x}$
$g(x)=x \ln(x) -x$
$h(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$
Pour la fonction $f$, nous dérivons terme à terme :
$f'(x)$ $=$ $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}$$=$$\dfrac{x-1}{x^2}$.
Pour la fonction $g$ nous utilisons la formule de dérivation d'un produit, $(uv)'$$=$$u'v+v'u$, pour $x\times\ln(x)$.
$g'(x)$ $=$ $1\times\ln(x)+x\dfrac{1}{x}-1$$=$$\ln(x)+1-1$$=$$\ln(x)$.
Ce résultat est intéressant. En effet, nous venons de rencontrer une fonction telle que sa dérivée est la fonction $\ln$. On dit que la fonction $g$ est une primitive de la fonction $\ln$.
Pour la fonction $h$ nous utilisons la formule de dérivation d'un quotient $\left(\dfrac{u}{v}\right)'$$=$$\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$.
$h'(x)$ $=$ $\dfrac{\frac{1}{x}\times x-1\times\ln(x)}{x^2}$$=$$\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$.
Déterminer les équations des tangentes à la courbe représentant la fonction $\ln$ aux points d'abscisse respective $\text{e}$ et $1$.
Équation de la tangente en $\text{e}$ $y=(\ln(x))'_{x=\text{e}}(x-\text{e})+\ln(\text{e})$$\Longleftrightarrow$$y=\dfrac{1}{\text{e}}(x-\text{e})+1$$\Longleftrightarrow$ $y=\dfrac{1}{e}x$.
Équation de la tangente en $1$ $y=(\ln(x))'_{x=\text{1}}(x-\text{1})+\ln(1)$$\Longleftrightarrow$$y=\dfrac{1}{1}(x-1)+0$$\Longleftrightarrow$ $y=x-1$.
La fonction logarithme népérien est strictement croissantesur $]0\,; +\infty[$.Preuve
On a vu que pour tout $x>0$, on a $(\ln(x))'$$=$$\dfrac{1}{x}$.Donc $(\ln(x))'>0$.
Si $x<1$ alors $\ln(x)<0$.
Si $x>1$ alors $\ln(x)>0$.
Cette propriété (ainsi que la suivante) vient du fait que la fonction $\ln$ est strictement croissantesur $]0\,;+\infty[$.
Pour tout réel $a>0$ et pour tout réel $b>0$ :
$ a < b $$\Longleftrightarrow$$ \ln(a) < \ln(b). $
Cette propriété est utile lorsqu'on résoud des inéquations.
Fonctions $\ln(u)$
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
Si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$ alors la fonction $\ln (u)$ est définie et dérivable sur $I$ et :
$(\ln(u))'$$=$$\dfrac{u'}{u}.$
Étudier la fonction définie par $f(x)=\ln(-x^2+4x+5)$ sur $]-1\,;5[$.
Si on considère le polynôme $p$ défini par $p(x)$ $=$ $-x^2+4x+5$, on a que son discriminant $\Delta$ vaut $36$ et ses deux racines sont $-1$ et $5$. Ce qui justifie bien que l'ensemble de définition de $f$ est $]-1\,;5[$.
On a alors que pour tout réel $x\in]-1\,;5[$ :
$f'(x)$$=$$\dfrac{p'(x)}{p(x)}$$=$$\dfrac{-2x+4}{-x^2+4x+5}$.
Sur $]-1\,;5[$ nous avons que $-x^2+4x+5$ $>0$. De plus $-2x+4\geq0$$\Longleftrightarrow$$x\leq2$.
On a donc le tableau de variations suivant pour $f$ :
Il nous reste à justifier les limites aux bornes.
Sur l'intervalle $]-1\,;5[$ le polynôme $p$ est positif, donc lorsque $x$ se rapproche de $-1$, $-x^2+4x+5$ se rapproche de $0$ en étant positif. Or $\ln(X)$ divergevers $-\infty$ quand $X$ se rapproche de $0$ en étant positif.
Ainsi par composition de limites : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-1}f(x)}$$=$$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-1}\ln(-x^2+4x+5)}$$=$$-\infty$.
Il en est de même lorsque $x$ se rapproche de $5$.
Croissances comparées-- Croissances comparées 1 $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}}$$=$$0$et$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0} x\ln(x)}$$=$$0$.Preuve Étude en $+\infty$.
On pose $X=\ln x$, donc $x$$=$$\text{e}^{X}$.
On remarque que : $X\rightarrow+\infty$$\Longleftrightarrow$$x\rightarrow+\infty$.
De plus, on a :
$\dfrac{\ln(x)}{x}$$=$$\dfrac{X}{\text{e}^{X}}$$=$$X\text{e}^{-X}$.
Or, d'après le cours sur la fonction exponentielle, $\displaystyle{\lim_{X\rightarrow+\infty} X\text{e}^{-X}}$$=$$0$.
Donc, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}}$$=$$0$.
Étude en $0$.
On pose $X=\dfrac{1}{x}$, donc $x$$=$$\dfrac{1}{X}$.
On a : $x\rightarrow0^+$$\Longleftrightarrow$$X\rightarrow+\infty$.
De plus :
$x\ln(x)$$=$$\dfrac{1}{X}\times \ln\left(\dfrac{1}{X}\right)$$=$$\dfrac{-\ln(X)}{X}$.
Donc d'après le résultat précédent, $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0} x\ln(x)}$$=$$0.$-- Croissances comparées 2 Pour tout entier $n\geq1$, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n}}$$=$$0$et$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0} x^n\ln(x)}$$=$$0$.Preuve: La démonstration découle immédiatement de la propriété 11 de croissances comparées et les propriétés opératoires des limites.
