Terminale ∼ Spécialité mathématiques
Fonction logarithme népérien

Quelques questions pour démarrer
Définition et propriétés Définition
Pour tout nombre réel $b$ strictement positif, il existe un unique réel $\alpha$ tel que $\exp(\alpha)=b$.
On appelle ce nombre le logarithme népérien de $b$.
On le note $\alpha=\ln(b)$.

Extrait de l'œvre de John Napier qui introduit les logarithmes en 1614 Propriétés algébriques -- Logarithme népérien d'un produit
Pour tout réel $a$ et $b$ strictement positifs, on a : $\ln(ab)$ $=$ $\ln(a)+\ln(b).$
Preuve
On va calculer et comparer $\text{e}^{\ln(ab)}$ et $\text{e}^{\ln(a)+\ln(b)}$.
On a d'une part : $\text{e}^{\ln(ab)}$ $=$ $ab$.
D'autre part : $\text{e}^{\ln(a)+\ln(b)}$ $=$ $\text{e}^{\ln(a)} \times \text{e}^{\ln(b)}$ $=$ $ab$.
Or, $\text{e}^{A}=\text{e}^{B}$ $\Longleftrightarrow$ $A=B$.
D'où, $\ln(ab)= \ln(a)+\ln(b)$.
-- Logarithme népérien de l'inverse
Pour tout réel $a$ strictement positif, on a : $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)$ $=$ $- \ln(a).$
Preuve
On utilise la propriété précédente : $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)+\ln(a)$ $=$ $\ln\left(\dfrac{1}{a}\times a\right)$ $=$ $\ln(1)$ $=$ $0.$
D'où $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)$ $=$ $-\ln(a)$.
-- Logarithme népérien d'un quotient
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a : $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$ $=$ $\ln(a) - \ln(b).$
Preuve
On utilise les deux propriétés précédentes :
$\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$ $=$ $\ln\left(a\times \dfrac{1}{b}\right)$ $=$ $\ln(a)+\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)$ $=$ $\ln(a)-\ln(b).$ -- Logarithme népérien d'une puissance
Pour tout réel $a$ strictement positif et tout entier naturel $n$, on a : $\ln(a^{n})$ $=$ $n\times \ln(a).$
Preuve
Remarquons tout d'abord que : $\ln(a^2)$ $=$ $\ln(a\times a)$ $=$ $\ln(a)+\ln(a)$ $=$ $2\ln(a)$.
De même : $\ln(a^3)$ $=$ $\ln(a\times a^2)$ $=$ $\ln(a)+2\ln(a)$ $=$ $3\ln(a)$.
En généralisant, pour $n$ assez grand, on a :
$\ln(a^{n})$ $=$ $\ln(a)+\ln(a^{n-1})$.
Donc, $\ln(a^{n})$ $=$ $\ln(a)+ \ln(a)+\ln(a^{n-2})$.
On répète jusqu'à obtenir :
$\ln(a^{n})$ $=$ $\underbrace{\ln(a)+ \ln(a)+\cdots+\ln(a)}_{n \text{ fois}}$ $=$ $n\times \ln(a)$. Nous aurions pu démontrer directement cette propriété par récurrence.
-- Logarithme népérien d'une racine carrée
Pour tout réel $a$ strictement positif, on a : $\ln(\sqrt{a})$ $=$ $\dfrac{1}{2} \times \ln(a).$
Preuve
On a : $\ln(a)$ $=$ $\ln((\sqrt{a})^{2})$ $=$ $2 \times \ln(\sqrt{a}) $.
D'où $\ln(\sqrt{a})$ $=$ $\dfrac{1}{2} \times \ln(a)$.
Fonction logarithme népérien Définition
On appelle fonction logarithme népérien, la fonction qui à tout réel $x$ de l'intervalle $]0\, ; +\infty [$ associe le réel $\ln(x)$.
Déplacer le point A
Limites de la fonction ln
Preuve
On procède par changement de variable à partir des limites de la fonction exponentielle.
On pose $x=\text{e}^X$, expression équivalente à $X$ $=$ $\ln(x)$.

On a alors : $x\rightarrow 0^{+}$ $\Longleftrightarrow$ $\text{e}^X\rightarrow 0^{+}$ $\Longleftrightarrow$ $X\rightarrow-\infty$.

Ainsi :

$\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}0}\ln(x)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{X\rightarrow-\infty}\ln\left( \text{e}^X \right)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{X\rightarrow-\infty}X }$ $=$ $-\infty$.

De même :

$x\rightarrow +\infty$ $\Longleftrightarrow$ $\text{e}^X\rightarrow +\infty$ $\Longleftrightarrow$ $X\rightarrow+\infty$.

On peut alors conclure :

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln(x)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{X\rightarrow+\infty}\ln\left( \text{e}^X \right)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{X\rightarrow+\infty}X}$ $=$ $+\infty$. Dérivabilité et continuité de la fonction ln
La fonction $\ln$ est continue et dérivable sur $]0\, ;+\infty [$ et pour tout réel $x$ strictement positif, $(\ln(x))'$ $=$ $\dfrac{1}{x}.$
Preuve
Pour tout réel $x$, $(\exp(x))'$ $=$ $\exp(x)$ $\neq$ $0$ donc la courbe représentative de la fonction exponentielle n'admet que des tangentes non horizontale en chacun de ses points.
Ainsi par symétrie, la courbe représentative de la fonction $\ln$ admet en tout point une tangente non verticale.
La fonction $\ln$ est donc dérivable sur $]0\, ;+\infty [$ et est donc aussi continue sur cet intervalle.

Pour le calcul de la dérivée on utilise : $(\text{e}^{u})'$ $=$ $u' \times \text{e}^{u}$ pour dériver l'égalité $\text{e}^{\ln(x)}$ $=$ $x$.
$(\text{e}^{\ln(x)})'$ $=$ $(\ln(x))' \times \text{e}^{\ln(x)}$
$\Longleftrightarrow$ $(x)'$ $=$ $(\ln(x))' \times x$
$\Longleftrightarrow$ $1$ $=$ $(\ln(x))' \times x$
$\Longleftrightarrow$ $\dfrac{1}{x}$ $=$ $(\ln(x))'.$
Déterminer l'expression de la dérivée des fonctions suivantes sur $[0;+\infty[$ :
  1. $f(x)=\ln(x)+\dfrac{1}{x}$
  2. $g(x)=x \ln(x) -x$
  3. $h(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$
  1. Pour la fonction $f$, nous dérivons terme à terme :
    $f'(x)$ $=$ $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}$ $=$ $\dfrac{x-1}{x^2}$.
  2. Pour la fonction $g$ nous utilisons la formule de dérivation d'un produit, $(uv)'$ $=$ $u'v+v'u$, pour $x\times\ln(x)$.
    $g'(x)$ $=$ $1\times\ln(x)+x\dfrac{1}{x}-1$ $=$ $\ln(x)+1-1$ $=$ $\ln(x)$.
    Ce résultat est intéressant. En effet, nous venons de rencontrer une fonction telle que sa dérivée est la fonction $\ln$. On dit que la fonction $g$ est une primitive de la fonction $\ln$.
  3. Pour la fonction $h$ nous utilisons la formule de dérivation d'un quotient $\left(\dfrac{u}{v}\right)'$ $=$ $\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$.
    $h'(x)$ $=$ $\dfrac{\frac{1}{x}\times x-1\times\ln(x)}{x^2}$ $=$ $\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$.
Déterminer les équations des tangentes à la courbe représentant la fonction $\ln$ aux points d'abscisse respective $\text{e}$ et $1$. Équation de la tangente en $\text{e}$
$y=(\ln(x))'_{x=\text{e}}(x-\text{e})+\ln(\text{e})$ $\Longleftrightarrow$ $y=\dfrac{1}{\text{e}}(x-\text{e})+1$ $\Longleftrightarrow$ $y=\dfrac{1}{e}x$.

Équation de la tangente en $1$
$y=(\ln(x))'_{x=\text{1}}(x-\text{1})+\ln(1)$ $\Longleftrightarrow$ $y=\dfrac{1}{1}(x-1)+0$ $\Longleftrightarrow$ $y=x-1$.


La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0\,; +\infty[$.
Preuve
On a vu que pour tout $x>0$, on a $(\ln(x))'$ $=$ $\dfrac{1}{x}$. Donc $(\ln(x))'>0$.
Cette propriété (ainsi que la suivante) vient du fait que la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$.

Pour tout réel $a>0$ et pour tout réel $b>0$ :
$ a < b $ $\Longleftrightarrow$ $ \ln(a) < \ln(b). $
Cette propriété est utile lorsqu'on résoud des inéquations.
Fonctions $\ln(u)$
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
Si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$ alors la fonction $\ln (u)$ est définie et dérivable sur $I$ et : $(\ln(u))'$ $=$ $\dfrac{u'}{u}.$
Étudier la fonction définie par $f(x)=\ln(-x^2+4x+5)$ sur $]-1\,;5[$. Si on considère le polynôme $p$ défini par $p(x)$ $=$ $-x^2+4x+5$, on a que son discriminant $\Delta$ vaut $36$ et ses deux racines sont $-1$ et $5$. Ce qui justifie bien que l'ensemble de définition de $f$ est $]-1\,;5[$.
On a alors que pour tout réel $x\in]-1\,;5[$ :
$f'(x)$ $=$ $\dfrac{p'(x)}{p(x)}$ $=$ $\dfrac{-2x+4}{-x^2+4x+5}$.
Sur $]-1\,;5[$ nous avons que $-x^2+4x+5$ $>0$. De plus $-2x+4\geq0$ $\Longleftrightarrow$ $x\leq2$.
On a donc le tableau de variations suivant pour $f$ :
$x$ $-1$ 2 $5$ $f'(x)$ interdit + 0 - interdit interdit $9$ interdit $f(x)$ interdit croissante décroissante interdit interdit $-\infty$ $-\infty$ interdit

Il nous reste à justifier les limites aux bornes.
Sur l'intervalle $]-1\,;5[$ le polynôme $p$ est positif, donc lorsque $x$ se rapproche de $-1$, $-x^2+4x+5$ se rapproche de $0$ en étant positif. Or $\ln(X)$ diverge vers $-\infty$ quand $X$ se rapproche de $0$ en étant positif.
Ainsi par composition de limites : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-1}f(x)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-1}\ln(-x^2+4x+5)}$ $=$ $-\infty$.
Il en est de même lorsque $x$ se rapproche de $5$.
Croissances comparées -- Croissances comparées 1
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}}$ $=$ $0$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0} x\ln(x)}$ $=$ $0$.
Preuve
Étude en $+\infty$.
On pose $X=\ln x$, donc $x$ $=$ $\text{e}^{X}$.
On remarque que : $X\rightarrow+\infty$ $\Longleftrightarrow$ $x\rightarrow+\infty$.
De plus, on a :
$\dfrac{\ln(x)}{x}$ $=$ $\dfrac{X}{\text{e}^{X}}$ $=$ $X\text{e}^{-X}$.
Or, d'après le cours sur la fonction exponentielle, $\displaystyle{\lim_{X\rightarrow+\infty} X\text{e}^{-X}}$ $=$ $0$.
Donc, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}}$ $=$ $0$.

Étude en $0$.
On pose $X=\dfrac{1}{x}$, donc $x$ $=$ $\dfrac{1}{X}$.
On a : $x\rightarrow0^+$ $\Longleftrightarrow$ $X\rightarrow+\infty$.
De plus :
$x\ln(x)$ $=$ $\dfrac{1}{X}\times \ln\left(\dfrac{1}{X}\right)$ $=$ $\dfrac{-\ln(X)}{X}$.
Donc d'après le résultat précédent, $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0} x\ln(x)}$ $=$ $0.$ -- Croissances comparées 2
Pour tout entier $n\geq1$, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n}}$ $=$ $0$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0} x^n\ln(x)}$ $=$ $0$.
Preuve: La démonstration découle immédiatement de la propriété 11 de croissances comparées et les propriétés opératoires des limites.