Terminale ∼ Spécialité mathématique
Fonctions trigonométriques
Tout cocher/décocher
t
t
t
0
0
0
π
6
\dfrac{\pi}{6}
6
π
π
4
\dfrac{\pi}{4}
4
π
π
3
\dfrac{\pi}{3}
3
π
π
2
\dfrac{\pi}{2}
2
π
sin
(
t
)
\sin(t)
sin
(
t
)
0
1
2
\dfrac{1}{2}
2
1
2
2
\dfrac{\sqrt{2}}{2}
2
2
3
2
\dfrac{\sqrt{3}}{2}
2
3
1
cos
(
t
)
\cos(t)
cos
(
t
)
1
3
2
\dfrac{\sqrt{3}}{2}
2
3
2
2
\dfrac{\sqrt{2}}{2}
2
2
1
2
\dfrac{1}{2}
2
1
0
tan
(
t
)
\tan(t)
tan
(
t
)
0
3
3
\dfrac{\sqrt{3}}{3}
3
3
1
3
\sqrt{3}
3
×
Propriété n°1
Pour tous réels
x
x
x
:
•
cos
(
−
x
)
\cos(-x)
cos
(
−
x
)
=
=
=
cos
(
x
)
\cos(x)
cos
(
x
)
•
sin
(
−
x
)
\sin(-x)
sin
(
−
x
)
=
=
=
−
sin
(
x
)
-\sin(x)
−
sin
(
x
)
Propriété n°2
Pour tous réels
x
x
x
:
cos
2
x
+
sin
2
x
\cos^2 x + \sin^2 x
cos
2
x
+
sin
2
x
=
=
=
1
1
1
.
Propriété n°3
Pour tous réels
a
a
a
et
b
b
b
on a :
•
cos
(
a
+
b
)
\cos(a+b)
cos
(
a
+
b
)
=
=
=
cos
a
cos
b
−
sin
a
sin
b
\cos a\cos b - \sin a\sin b
cos
a
cos
b
−
sin
a
sin
b
•
sin
(
a
+
b
)
\sin(a+b)
sin
(
a
+
b
)
=
=
=
cos
a
sin
b
+
cos
b
sin
a
\cos a\sin b + \cos b\sin a
cos
a
sin
b
+
cos
b
sin
a
Propriété n°4
Pour tous réels
a
a
a
et
b
b
b
on a :
•
cos
a
cos
b
\cos a\cos b
cos
a
cos
b
=
=
=
1
2
(
cos
(
a
−
b
)
+
cos
(
a
+
b
)
)
\dfrac{1}{2}\left( \cos(a-b)+\cos(a+b) \right)
2
1
(
cos
(
a
−
b
)
+
cos
(
a
+
b
)
)
•
sin
a
sin
b
\sin a\sin b
sin
a
sin
b
=
=
=
1
2
(
cos
(
a
−
b
)
−
cos
(
a
+
b
)
)
\dfrac{1}{2}\left( \cos(a-b)-\cos(a+b) \right)
2
1
(
cos
(
a
−
b
)
−
cos
(
a
+
b
)
)
•
sin
a
cos
b
\sin a\cos b
sin
a
cos
b
=
=
=
1
2
(
sin
(
a
+
b
)
+
sin
(
a
−
b
)
)
\dfrac{1}{2}\left( \sin(a+b)+\sin(a-b) \right)
2
1
(
sin
(
a
+
b
)
+
sin
(
a
−
b
)
)
Propriété n°5
-- Formules de linéarisation
Pour tout réel
x
x
x
:
∙
\bullet
∙
cos
2
x
\cos^2 x
cos
2
x
=
=
=
1
+
cos
(
2
x
)
2
\dfrac{1+\cos(2x)}{2}
2
1
+
cos
(
2
x
)
∙
\bullet
∙
sin
2
x
\sin^2 x
sin
2
x
=
=
=
1
−
cos
(
2
x
)
2
\dfrac{1-\cos(2x)}{2}
2
1
−
cos
(
2
x
)
1
8
0
180
1
8
0
degrés
=
=
=
π
\pi
π
radians.
9
0
∘
=
90^{\circ} =
9
0
∘
=
π
2
\dfrac{\pi}{2}
2
π
radians
4
5
∘
=
45^{\circ} =
4
5
∘
=
π
4
\dfrac{\pi}{4}
4
π
radians
6
0
∘
=
60^{\circ} =
6
0
∘
=
π
3
\dfrac{\pi}{3}
3
π
radians
3
0
∘
=
30^{\circ} =
3
0
∘
=
π
6
\dfrac{\pi}{6}
6
π
radians
1
2
0
∘
=
120^{\circ} =
1
2
0
∘
=
2
π
3
\dfrac{2\pi}{3}
3
2
π
radians
3
1
5
∘
=
315^{\circ} =
3
1
5
∘
=
7
π
4
\dfrac{7\pi}{4}
4
7
π
radians ou
−
π
4
-\dfrac{\pi}{4}
−
4
π
radians à
2
π
2\pi
2
π
près.
0.5
1
−0.5
−1
0.5
1
−0.5
−1
0,0
M
M
M
p1
p2
cos
(
t
)
\cos(t)
cos
(
t
)
sin
(
t
)
\sin(t)
sin
(
t
)
p3
t
t
t
Définition n°1
La fonction qui à tout nombre réel
t
t
t
, associe le nombre
cos
(
t
)
\cos(t)
cos
(
t
)
est appelée fonction cosinus.
cos
:
t
⟼
cos
(
t
)
.
\cos:t\longmapsto\cos(t).
cos
:
t
⟼
cos
(
t
)
.
Définition n°2
La fonction qui à tout nombre réel
t
t
t
, associe le nombre
sin
(
t
)
\sin(t)
sin
(
t
)
est appelée fonction sinus.
sin
:
t
⟼
sin
(
t
)
.
\sin:t\longmapsto\sin(t).
sin
:
t
⟼
sin
(
t
)
.
Propriété n°6
-- Périodicité
Les fonctions cosinus et sinus sont
2
π
2\pi
2
π
-périodiques.
Pour tout réel
x
x
x
,
cos
(
x
+
2
π
)
=
\cos(x+2\pi)=
cos
(
x
+
2
π
)
=
cos
(
x
)
\cos(x)
cos
(
x
)
,
Pour tout réel
x
x
x
,
sin
(
x
+
2
π
)
=
\sin(x+2\pi)=
sin
(
x
+
2
π
)
=
sin
(
x
)
\sin(x)
sin
(
x
)
.
Propriété n°7
-- Parité
Pour tout réel
t
t
t
,
cos
(
−
t
)
=
\cos(-t)=
cos
(
−
t
)
=
cos
(
t
)
\cos(t)
cos
(
t
)
.
On dit que la fonction cosinus est
paire
.
Pour tout réel
t
t
t
,
sin
(
−
t
)
=
\sin(-t)=
sin
(
−
t
)
=
−
sin
(
t
)
-\sin(t)
−
sin
(
t
)
.
On dit que la fonction sinus est
impaire
.
Propriété n°8
∘
\circ
∘
La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
∘
\circ
∘
La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Propriété n°9
-- Déphasage
Pour tout
t
∈
R
t\in\mathbb{R}
t
∈
R
,
cos
(
t
−
π
2
)
=
\cos\left(t-\frac{\pi}{2}\right)=
cos
(
t
−
2
π
)
=
sin
(
t
)
\sin(t)
sin
(
t
)
.
0,0
π
\pi
π
2
π
2\pi
2
π
π
2
\dfrac{\pi}{2}
2
π
y
=
sin
(
x
)
y=\sin(x)
y
=
sin
(
x
)
y
=
cos
(
x
)
y=\cos(x)
y
=
cos
(
x
)
Propriété n°10
Pour tout réel
x
x
x
,
−
1
≤
cos
(
x
)
≤
1
-1\leq\cos(x)\leq 1
−
1
≤
cos
(
x
)
≤
1
.
Pour tout réel
x
x
x
,
−
1
≤
sin
(
x
)
≤
1
-1\leq\sin(x)\leq 1
−
1
≤
sin
(
x
)
≤
1
.
Propriété n°11
-- Dérivation
∘
\circ
∘
Pour tout
x
∈
R
x\in\mathbb{R}
x
∈
R
,
(
cos
(
x
)
)
′
=
(\cos(x))'=
(
cos
(
x
)
)
′
=
−
sin
(
x
)
-\sin(x)
−
sin
(
x
)
.
∘
\circ
∘
Pour tout
x
∈
R
x\in\mathbb{R}
x
∈
R
,
(
sin
(
x
)
)
′
=
(\sin(x))'=
(
sin
(
x
)
)
′
=
cos
(
x
)
\cos(x)
cos
(
x
)
.
Propriété n°12
Soit
u
u
u
une fonction définie et dérivable sur intervalle
I
I
I
de
R
\mathbb{R}
R
.
Les fonctions
cos
u
\cos u
cos
u
et
sin
u
\sin u
sin
u
sont dérivables et :
∙
\bullet
∙
(
cos
u
)
′
(\cos u)'
(
cos
u
)
′
=
=
=
−
u
′
sin
u
-u'\sin u
−
u
′
sin
u
,
∙
\bullet
∙
(
sin
u
)
′
(\sin u)'
(
sin
u
)
′
=
=
=
u
′
cos
u
u'\cos u
u
′
cos
u
.
0,0
x
x
x
0
0
0
π
\pi
π
2
π
2\pi
2
π
0
0
0
−
-
−
+
+
+
cos
′
(
x
)
\cos'(x)
cos
′
(
x
)
cos
(
x
)
\cos(x)
cos
(
x
)
1
1
1
−
1
-1
−
1
1
1
1
π
2
\dfrac{\pi}{2}
2
π
0
0
0
3
π
2
\dfrac{3\pi}{2}
2
3
π
0
0
0
0,0
x
x
x
sin
′
(
x
)
\sin'(x)
sin
′
(
x
)
sin
(
x
)
\sin(x)
sin
(
x
)
−
π
2
-\dfrac{\pi}{2}
−
2
π
π
2
\dfrac{\pi}{2}
2
π
3
π
2
\dfrac{3\pi}{2}
2
3
π
0
0
0
+
+
+
−
-
−
−
1
-1
−
1
1
1
1
−
1
-1
−
1
0
0
0
0
0
0
π
\pi
π
0
0
0
Définition n°3
-- Fonction tangente
La fonction tangente est la fonction notée
tan
\tan
tan
, définie pour tout
x
≠
x\neq
x
≠
π
2
+
k
π
\frac{\pi}{2}+k\pi
2
π
+
k
π
,
k
∈
Z
k\in\mathbb{Z}
k
∈
Z
par :
tan
(
x
)
=
sin
(
x
)
cos
(
x
)
.
\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}.
tan
(
x
)
=
cos
(
x
)
sin
(
x
)
.
Son ensemble de définition est :
R
\mathbb{R}
R
\
{
π
2
+
k
π
,
k
∈
Z
}
\left\{ \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}
{
2
π
+
k
π
,
k
∈
Z
}
.
Propriété n°13
La fonction tangente est
π
\pi
π
-périodique.
Propriété n°14
La fonction tangente est impaire.
Propriété n°15
La fonction tangente est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
\
{
π
2
+
k
π
,
k
∈
Z
}
\left\{ \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}
{
2
π
+
k
π
,
k
∈
Z
}
et :
(
tan
(
x
)
)
′
=
(\tan(x))'=
(
tan
(
x
)
)
′
=
1
cos
2
(
x
)
\dfrac{1}{\cos^2(x)}
cos
2
(
x
)
1
=
=
=
1
+
tan
2
(
x
)
1+\tan^2(x)
1
+
tan
2
(
x
)
.
pour tout
x
x
x
de l'ensemble de définition.
Propriété n°16
La fonction tangente est strictement croissante sur chaque intervalle de son ensemble de définition.
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