Terminale ∼ Spécialité mathématique
Intégration
Définition n°1
Soit ff une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b][a\,;b] (c'est-à-dire que : ∀\forall x∈[a;b]x\in[a\,;b], f(x)≥0f(x)\geq 0).
On note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j}).
L'intégrale de aa à bb de ff est l'aire du domaine du plan compris entre la droite d'équation x=ax=a, la courbe Cf\mathcal{C}_f, la droite d'équation x=bx=b et l'axe (Ox)(Ox). On note ce nombre : ∫abf(x)dx.\displaystyle{\int_a^b f(x)\mathrm{d}x.}
aa
bb
∫abf(x)dx\displaystyle{\intabf(x)\mathrm{d}x}
Définition n°2
Soit ff une fonction continue sur un intervalle [a;b][a\,;b].
On note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j}).
Le nombre réel ∫abf(t)dt\displaystyle{\int_a^bf(t)dt} est l'aire du domaine du plan précédent comptée positivement lorsque Cf\mathcal{C}_f est au dessus de (Ox)(Ox), et négativement lorsque Cf\mathcal{C}_f est au dessous.
Définition n°3
Soit ff une fonction continue sur un intervalle [a;b][a;b].
On pose alors : ∫baf(t)dt\displaystyle{\int_b^a f(t)\mathrm{d}t} == −∫abf(t)dt.\displaystyle{-\int_a^bf(t)\mathrm{d}t.}
Propriété n°1 -- Relation de Chasles
Soit f:I→Rf:I\rightarrow\mathbb{R} une fonction continue, et soient aa, bb et cc des éléments de II. On a alors : ∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx\displaystyle{\int_a^b f(x)\mathrm{d}x + \int_b^cf(x)\mathrm{d}x} == ∫acf(x)dx.\displaystyle{\int_a^cf(x)\mathrm{d}x.}
Propriété n°2 -- Linéarité
Soient f:[a;b]→Rf:[a;b]\rightarrow\mathbb{R} et g:[a;b]→Rg:[a;b]\rightarrow\mathbb{R} deux fonctions continues, et λ∈R\lambda\in\mathbb{R}.
  1. ∫ab(f(x)+g(x))dx\displaystyle{\int_a^b (f(x)+g(x))\mathrm{d}x} == ∫abf(x)dx+∫abg(x)dx\displaystyle{\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)\mathrm{d}x}.
  2. ∫abλf(x)dx\displaystyle{\int_a^b\lambda f(x)\mathrm{d}x} == λ∫abf(x)dx.\displaystyle{\lambda\int_a^bf(x)\mathrm{d}x.}
Propriété n°3 -- Positivité
Soit f:[a;b]→Rf:[a;b]\rightarrow\mathbb{R} une fonction continue sur un intervalle [a;b][a\,;b]. Si pour tout x∈[a;b]x\in[a\,;b], f(x)≥0f(x)\geq0, alors ∫abf(x)dx\displaystyle{\int_a^b f(x)\mathbb{d}x} ≥0\geq 0.
Propriété n°4 -- Positivité
Soient ff et gg deux fonctions continues sur un intervalle [a;b][a\,;b].
Si pour tout x∈[a;b]x\in[a\,;b], f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x) alors ∫abf(x)dx\displaystyle{\int_a^b f(x)\mathrm{d}x} ≤\leq ∫abg(x)dx.\displaystyle{\int_a^b g(x)\mathrm{d}x.}
Définition n°4
Soit ff une fonction continue sur un intervalle [a;b][a;b].
La valeur moyenne de ff sur [a;b][a\,;b] est donnée par le nombre réel : 1b−a∫abf(x)dx.\displaystyle{\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\mathrm{d}x.}
Propriété n°5 -- Inégalité de la moyenne
Soit ff une fonction continue sur un intervalle [a;b][a\,;b]. On considère mm et MM deux réels tels que : pour tout x∈[a;b]x\in[a\,;b], m≤f(x)≤Mm\leq f(x)\leq M. On a alors : m≤1b−a∫abf(x)dx≤M.\displaystyle{m\leq\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\leq M.}
Propriété n°6
Soit ff une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b][a;b]. Alors la fonction FF définie sur [a;b][a\,;b] par : ∫axf(t)dt\displaystyle{\int_a^x f(t)\mathrm{d}t} est dérivable sur [a;b][a\,;b] et a pour dérivée ff.
Propriété n°7
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
Propriété n°8
Soit ff une fonction continue sur un intervalle [a;b][a\,;b], et soit FF une primitive de ff. Alors : ∫abf(t)dt\displaystyle{\int_a^b f(t)dt} == F(b)−F(a).F(b)-F(a).
Propriété n°9
Soit ff une fonction continue sur un intervalle II. Soit x0∈Ix_0\in I fixé. Alors, la fonction FF définie sur II par F(x)=∫x0xf(t)dt,\displaystyle{F(x)=\int_{x_0}^x f(t)\mathrm{d}t,} est la primitive de ff qui s'annule en x0x_0.
Propriété n°10
Soient uu et vv deux fonctions dérivables sur un intervalle [a;b][a\,;b] telles ques u′u' et v′v' sont continues sur [a;b][a\,;b]. On a alors :

∫abu(x)v′(x)dx\displaystyle{\int_a^b u(x)v'(x)\text{d}x} == [u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x)dx\left[ u(x)v(x) \right]_a^b-\displaystyle{\int_a^b u'(x)v(x)\text{d}x}.