DM ∼ Méthode d'Euler On s'intéresse dans ce devoir à une fonction $f$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, dont on note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
Cette fonction vérifie $f(0)=4$ et pour chacun des point de sa courbe $\mathscr{C}$, le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}$ est égale à l'opposé de la moitié de son ordonnée.
  1. Pour tout réel $x$ trouver une relation entre $f'(x)$ et $f(x)$.
  2. En partant du principe que localement une courbe et sa tangente sont très proche, on admet qu'étant donné un point $M$ de $\mathscr{C}$ et la tangente correspondante $T$, un point de $T$ proche de $M$ est aussi proche de $\mathscr{C}$.
    Dans le graphique ci-dessous on a tracé le point $(0\,;4)$ de $\mathscr{C}$.
  3. À partir du graphique précédent, conjecturer la famille de fonction à laquelle semble appartenir $f$.
    1. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T_0$ à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $0$.
    2. Déterminer l'ordonnée du point d'abscisse $0,5$ de $T_0$ et expliquer pourquoi ce nombre peut être considéré comme une valeur approchée de $f(0,5)$.
    3. Déterminer alors, en utilisant cette valeur approchée de $f(0,5)$, l'équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $0,5$.
    4. En déduire selon la même méthode une valeur approchée de $f(1)$.
    5. Compléter le tableau suivant :
      $x_0$ Équation de la tangente en $x_0$ Valeur approchée de $f(x_0+0,5)$
      $0$
      $0,5$
      $1$
      $1,5$
      $2$
      $2,5$
      $3$
      $3,5$
      $4$
    6. Placer les points obtenus dans le tableau précédent dans le repère ci-dessous :
  4. Pour obtenir un plus grand nombre de points, la méthode précédente est difficilement applicable avec de tels calculs à la main. On utilise donc un algorithme en Python.
    On cherche à établir tout d'abord des résultats qui nous serons utiles pour cet algorithme.
    1. On considère un point $M(t\,;f(t))$ de $\mathscr{C}$. Montrer que l'équation réduite de la tangente $T_t$ à $\mathscr{C}$ en $M$ est : $y=-\dfrac{1}{2}f(t)(x-t)+f(t)$.
    2. Déterminer une expression simple des coordonnées du point de $T_t$ d'abscisse $t+0,1$.
    3. On applique dans cette question la méthode de la question 4 pour un pas de $0,1$ à la place de $0,5$.
      En utilisant la question précédente, compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il affiche la liste de toutes les coordonnées de tous les points obtenus par cette méthode entre $0$ et $4$. x = 0 y = 4 L = [ [x,y] ] while x < 4: x = x+0.1 y = L.append([x,y]) print( )
    4. L'algorithme suivant, n'est pas écrit en Python, mais permet de tracer les points obtenus par la méthode précédente. Compléter le pour obtenir le graphique associé. Xmin = -0.5 Xmax = 4.2 Ymin = -0.5 Ymax = 5 traceG() traceX() traceY() couleur = bleu x = 0 y = 4 point([x,y]) while( x < 4 ){ x = x + 0.1 y = point([x,y]) }
    5. Modifier cet algorithme pour obtenir plus d'une centaine de points sur $[0\,;10]$. On pensera à modifier, entre autre, la ligne n°2. Xmin = -0.5 Xmax = 4.2 Ymin = -0.5 Ymax = 5 traceG() traceX() traceY() couleur = bleu trait = 0.2 x = 0 y = 4 point([x,y]) while( x < 4 ){ x = x + 0.1 y = point([x,y]) }