Terminale ∼ Spécialité mathématique
Démonstration par récurrence Démontrer par récurrence les propriétés suivantes.

1. Pour tout entier naturel $n$, $\,\displaystyle{\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}}$.
2. Pour tout entier naturel $n\geq1$, $\,2^n \geq n$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x-x^2$.
La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=\dfrac{2}{3}$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1}=u_n(2-u_n)$.

1. Étudier les variations de $f$ sur $[0\,;1]$.
2. En déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que la suite $(u_n)$ est croissante.

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 400$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1} = 0,9u_n + 60.$$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$.
3. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a l'inégalité $$0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 600.$$