Approximation des solutions d'une équation 1Méthode de la dichotomie On considère une fonction

f

strictement monotone sur un intervalle

[a\,;b]

et telle qu'il existe un unique

x_0\in[a\,;b]

solution de l'équation

f(x)=0

.
On cherche une valeur approchée de

x_0

, en procédant en plusieurs étapes :

Calcul du point médian : Calculer $c=\dfrac{a+b}{2}$ , milieu du segment $[a;\,b]$ .
Évaluation de la fonction : Déterminer le signe de $f(c)$ (en calculant $f(c)$ ).
Réduction de l'intervalle : Selon le signe de $f(c)$ , remplacer $a$ ou $b$ par $c$ de manière à réduire la taille de l'intervalle $[a;\, b]$ .
Si $f(c)$ a le même signe que $f(a)$ , remplacer $a$ par $c$ ; sinon, remplacez $b$ par $c$ .
Répéter le processus : Répéter les étapes précédentes jusqu'à obtenir un intervalle de largeur voulue ou suffisante en fonction du critère d'arrêt.

1.1Exemple

xxxxxxxxxx
 
def f(x):
    return x*x-2
​
def dicho(n):
    a = 0
    b = 10
    for i in range(0,n):
        c = (a+b)/2.0
        if f(c) < 0:
           a = c
        else:
           b = c
    return [a,b]
​
print(dicho(10))
print(dicho(20))
print(dicho(25))
print(dicho(30))
print(dicho(40))
print(dicho(43))

Exécuter

1.2Cas générique

xxxxxxxxxx
 
def f(x):
    return x*x-2
​
def t(x):
    return x**5-x-1
​
def dicho(g,a,b,n):
    for i in range(0,n):
        c = (a+b)/2.0
        if g(a)*g(c) > 0:
           a = c
        else:
           b = c
    return [a,b]
​
print(dicho(f,0,10,50))
print(dicho(t,0,10,50))

Exécuter

2Méthode de la sécante On considère une fonction

f

strictement monotone sur un intervalle

[a\,;b]

et telle qu'il existe un unique

x_0\in[a\,;b]

solution de l'équation

f(x)=0

.
On cherche une valeur approchée de

x_0

, en procédant en plusieurs étapes :

Calcul de la pente : Utiliser les points $(a;\,f(a))$ et $(b;\,f(b))$ pour déterminer la pente $m$ de la droite passant par ces deux points.
On a $m=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .
Calcul du point d'intersection : Déterminer l'équation de la sécante à l'aide de la pente $m$ et des coordonnées du point $(a;\,f(a))$ : $y=mx+f(a)-ma$ .
Déterminer l'abscisse $c$ du point de la sécante qui coupe l'axe des abscisses $c = a-\dfrac{f(a)(b-a)}{f(b)-f(a)}$ .
Le nombre $c$ est approximation de $x_0$ .
Réduction de l'intervalle : Selon le signe de $f(c)$ , remplacer $a$ ou $b$ par $c$ de manière à réduire la taille de l'intervalle $[a;\, b]$ .
Si $f(c)$ a le même signe que $f(a)$ , remplacer $a$ par $c$ ; sinon, remplacez $b$ par $c$ .
Répéter le processus : Répéter les étapes précédentes jusqu'à obtenir un intervalle de largeur voulue ou suffisante en fonction du critère d'arrêt.

2.1Exemple

xxxxxxxxxx
 
def f(x):
    return x*x-2
​
def secante(n):
    a = 0
    b = 10
    for i in range(0,n):
        c = a-f(a)*(b-a)*1.0/(f(b)-f(a))
        
        if f(c) < 0:
            a = c
        else:
            b = c
    return c
​
print(secante(10))
print(secante(20))
print(secante(30))
print(secante(40))
print(secante(94))
print(secante(95))

Exécuter

2.2Cas générique

xxxxxxxxxx
 
def f(x):
    return x*x-2
​
def t(x):
    return x**3-2
​
def secante(f,a,b,n):
    for i in range(0,n):
        c = a-f(a)*(b-a)*1.0/(f(b)-f(a))
        
        if f(c)*f(a) < 0:
            a = c
        else:
            b = c
    return c
​
​
print(secante(f,0,10,50))
print(secante(t,0,2,200))

Exécuter

3Méthode de Newton On considère une fonction

f

strictement monotone sur un intervalle

[a\,;b]

et telle qu'il existe un unique

\alpha\in[a\,;b]

solution de l'équation

f(x)=0

.
On cherche une valeur approchée de

\alpha

Choix du point initial : Sélectionner un point initial $u_0$ « proche » de la solution recherchée.
Détermination de la tangente : Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de la fonction $f$ au point d'abscisse $u_0$ : $y=f'(u_0)(x-u_0)+f(u_0).$
Trouver l'intersection avec l'axe des abscisses : Déterminer le point $u_1$ où la tangente coupe l'axe des abscisses. $u_1=u_0-\dfrac{f(u_0)}{f'(u_0)}.$ Le nombre $u_1$ est valeur approchée de $\alpha$ .
Répéter le processus : Répéter les étapes précédentes en remplaçant $u_0$ par $u_1$ , puis $u_1$ par $u_2$ etc.
Critère d'arrêt : définir un critère d'arrêt comme un nombre d'étapes précis, une valeur de $f(u_n)$ suffisamment proche de $0$ , ou un écart minimal entre $u_{n+1}$ et $u_n$ .

3.1Exemple

xxxxxxxxxx
 
def f(x):
    return x*x-2
​
def newton(n):
    a = 2
    for i in range(0,n):
        a = -1.0*f(a)/(2*a)+a
    return a
​
print(newton(2))
print(newton(3))
print(newton(4))
print(newton(5))

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3.2Cas générique

xxxxxxxxxx
 
def f(x):
    return x*x-2
​
def t(x):
    return x**5-x-1
​
def deriv(f,a):
    e = 10**(-9)
    return (f(a+e)-f(a))/e
    
​
def newton(f,a,n):
    s = a
    for i in range(0,n):
        s = -f(s)/deriv(f,s)+s
    return s
    
print(newton(f,2,5))
print(newton(t,2,10))

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