Simulation et inégalité de Bienaymé-Tchebychev 1Valeur exacte On calcule ici la valeur exacte de

P\left(| S_n-pn |> \sqrt{n}\right)

lorsque

S_n

suit la loi binomiale de paramètres

n

et

p

.
On détermine dans un premier temps la probabilité de son évènement contraire à l'aide des équivalences ci-dessous

			$\|S_n-np\|$	$\leq$	$\sqrt{n}$
$\Longleftrightarrow$	$-\sqrt{n}$	$\leq$	$S_n-np$	$\leq$	$\sqrt{n}$
$\Longleftrightarrow$	$-\sqrt{n}+np$	$\leq$	$S_n$	$\leq$	$\sqrt{n}+np$

xxxxxxxxxx
 
from math import*
​
def facto(n):
    f = 1
    for i in range(1,n+1):
        f = f*i
    return f
​
​
def binom(n,p,k):
    return (1.0*facto(n))/(facto(k)*facto(n-k))*(p**k)*((1-p)**(n-k))
​
def binomBornes(n,p,a,b):
    s = 0
    for i in range(a,b+1):
        s = s+binom(n,p,i)
    return s
    
def probaEcart(n,p):
    if floor(n*p-sqrt(n)) == n*p-sqrt(n):
        a = int(floor(n*p-sqrt(n)))
    else:
        a = int(floor(n*p-sqrt(n)))+1
    b = int(floor(n*p+sqrt(n)))
    return 1-binomBornes(n,p,a,b)
    
n = 100
p = 0.4
print probaEcart(n,p)
print p*(1-p)
​

2Simulation avec un échantillon

xxxxxxxxxx
 
from random import*
from math import*
​
def bernoulli(n,p,taille):
    L = [0]*taille
    for i in range(0,taille):
        X = 0
        for j in range(0,n):
            ps = uniform(0,1)
            c = 0
            if ps < p:
               c = 1 
            X = X+c
        L[i] = X
    return L
​
​
def bt(n,p,taille):
    L = bernoulli(n,p,taille)
    s = 0
    for i in range(0,taille):
        if abs(L[i]-p*n) > sqrt(n):
            s = s+1
    return (s*1.0)/taille
    
​
​
n = 60
p = 0.4
print bt(n,p,1000)
print p*(1-p)
​