Approximation de $\ln(2)$ Méthode de Briggs On généralise la remarque ci-dessous : $\ln\left( \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}} \right)$ $=$ $\dfrac{1}{2}\ln\left( \sqrt{\sqrt{2}} \right)$ $=$ $\dfrac{1}{2^2}\ln\left( \sqrt{2} \right)$ $=$ $\dfrac{1}{2^3}\ln\left( 2 \right)$.
Pour un certains nombre de racines carrées imbriquées le nombre $x=\sqrt{\sqrt{\cdots\sqrt{2}}}$ est proche de $1$ donc son logarithme népérien est proche de $x-1$. Ainsi pour trouver une valeur approchée de logarithme de $2$ il suffit de multiplier $x-1$ par autant de $2$ qu'il y a de racines carrées imbriquées.

from math import* def briggs(n): x = 2 for i in range(0,n): x = sqrt(x) return (2**n)*(x-1) print briggs(10) print briggs(20) print briggs(30)

Méthode de Brouncker On admet que la suite $(S_n)$ définie pour tout entier $n$ par $S_n = \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{(2k+1)(2k+2)}$ converge vers $\ln(2)$.

from math import* def brouncker(n): s = 0 for i in range(0,n): s = s + 1.0/((2*i+1)*(2*i+2)) return s print brouncker(10) print brouncker(100) print brouncker(1000) print brouncker(10000) print log(2) À l'aide d'une suite On admet que la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n$ par : $u_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k\times2^k}$ converge vers $\ln(2)$.

from math import* def suite1(n): s = 0 for i in range(1,n+1): s = s + 1.0/(i*2**i) return s print suite1(10) print suite1(20) print suite1(30) print suite1(40) print log(2)