Approximation du nombre d'or On note

\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}

le nombre d'or. 1Suite n°1 On admet que la suite

(a_n)

définie par

a_0=2

et pour tout entier

n

a_{n+1}=1+\dfrac{1}{a_n}

converge vers

\varphi

​x
 
def phi1(p):
   a = 2
   n = 0
   diff = 2
   while diff >=p:
       a2 = a
       a = 1 + 1.0/a
       diff = abs(a2-a)
       n = n+1
   return [n,a]
   
print phi1(0.001)
print phi1(0.000001)
print phi1(0.000000001)
​

Exécuter

2Suite n°2 On admet que la suite

(b_n)

définie par

b_0=2

et pour tout entier

n

b_{n+1}=\sqrt{1+b_n}

converge vers

\varphi

xxxxxxxxxx
 
from math import*
def phi2(p):
   b = 2
   n = 0
   diff = 2
   while diff >=p:
       b2 = b
       b = sqrt(1.0+b)
       diff = abs(b2-b)
       n = n+1
   return [n,b]
   
print phi2(0.001)
print phi2(0.000001)
print phi2(0.000000001)
​

Exécuter

3Suite n°3 On admet que la suite

(c_n)

définie par

c_0=2

et pour tout entier

n

c_{n+1}=\dfrac{c_n^2+1}{2c_n-1}

converge vers

\varphi

xxxxxxxxxx
 
from math import*
def phi3(p):
   c = 2
   n = 0
   diff = 2
   while diff >=p:
       c2 = c
       c = (c*c+1.0)/(2*c-1.0)
       diff = abs(c2-c)
       n = n+1
   return [n,c]
   
print phi3(0.001)
print phi3(0.000001)
print phi3(0.000000001)
​

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4À partir de la suite de Fibonacci La suite de Fibonacci est définie par

u_0=u_1=1

et pour tout entier

n

u_{n+2}=u_{n+1}+u_n.

On admet que la suite

(d_n)

définie pour tout entier

n

par

d_n=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}

converge vers

\phi

xxxxxxxxxx
 
def fibonacci(n):
    v = 1
    u = 1
    for i in range(1,n):
        w = v
        v = u
        u = u+w
        
    return u
    
def ratio(n):
    return (1.0*fibonacci(n+1))/fibonacci(n)
​
def convergence(p):
    diff = 2
    n = 0
    while diff >= p:
        diff = abs( ratio(n+1)-ratio(n) )
        n = n+1
    return [n,ratio(n)]
    
print convergence(0.001)
print convergence(0.000001)
print convergence(0.000000001)
​

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