Approximation de

\pi

1À partir de l'encadrement de l'aire du disque Cette méthode est inspirée de celle d'Archimède.
Étant donné un cercle de rayon

1

, on construit deux polygones à

n

côtés, l'un inscrit et l'autre exinscrit.

L'aire du disque vaut

\pi\times 1^2=\pi

et l'idée est de calculer l'aire des deux polygones pour obtenir un encadrement de

\pi

. En augmentant le nombre de côtés de on obtient alors un encadrement de plus en plus précis.

1.1Le polygone inscrit On détermine dans un premier temps l'aire du triangle

OAB

construit ci-dessous. On définit de plus le point

I

milieu de

[AB]

Le triangle

OAB

étant isocèle, la droite

(OI)

est une médiatrice de

[AB]

et l'angle

\widehat{IOA}

mesure

\dfrac{\pi}{n}

.
On applique les formules de trigonométrie dans le triangle

OIB

et on obtient :

$IB = OB\times\sin\left( \dfrac{\pi}{n} \right)$ $=$ $\sin\left( \dfrac{\pi}{n} \right)$ ,

$OI=OB\times\cos\left( \dfrac{\pi}{n} \right)$ $=$ $\cos\left( \dfrac{\pi}{n} \right)$ .

Ainsi, l'aire du triangle

OAB=\dfrac{OI\times AB}{2}

=

\dfrac{OI\times2IB}{2}

=

OI\times IB

=

\cos\left( \dfrac{\pi}{n} \right)\sin\left( \dfrac{\pi}{n} \right)

.

Le polygone inscrit étant formés de

n

triangles tels que

OAB

, on a que son aire vaut :

n\cos\left( \dfrac{\pi}{n} \right)\sin\left( \dfrac{\pi}{n} \right)

. 1.2Le polygone exinscrit Comme précédemment on détermine dans un premier temps l'aire du triangle

OCD

. On note également que

A

est le milieu de

[CD]

Le triangle

OCD

est isocèle et la droite

(OA)

est la médiatrice de

[CD]

, ainsi le triangle

OAD

est rectangle en

A

et l'angle

\widehat{AOD}

mesure

\dfrac{\pi}{n}

.
En appliquant les formules de trigonométrie au triangle

OAD

on a :

AD=OA\times\tan\left( \dfrac{\pi}{n} \right)

.
L'aire de

OCD

vaut donc

\dfrac{OA\times CD}{2}

=

\dfrac{1\times2\times AD}{2}

=

\tan\left( \dfrac{\pi}{n} \right)

.

Le polygone exinscrit étant formés de

n

triangles tels que

OCD

, on a que son aire vaut :

n\tan\left( \dfrac{\pi}{n} \right)

. 1.3Encadrement et approximation de

\pi

D'après les deux résutalts précédents, on a que pour tout entier

n\geq3

n\cos\left( \dfrac{\pi}{n} \right)\sin\left( \dfrac{\pi}{n} \right)\leq \pi \leq n\tan\left( \dfrac{\pi}{n} \right).

Le problème maintenant reste d'avoir les valeurs de

\cos\left( \dfrac{\pi}{n} \right)

\sin\left( \dfrac{\pi}{n} \right)

, puisque

\tan\left( \dfrac{\pi}{n} \right)=\dfrac{\sin\left( \dfrac{\pi}{n} \right)}{\cos\left( \dfrac{\pi}{n} \right)}

.

Rappel
Pour tout réel

a

b

$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$ ,
$\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+sin(b)\cos(a)$ .

Et en utilisant ces formules avec

a=b

, et

\cos^2(a)+\sin^2(a)=1

, on a également :

$\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)$ $=$ $2\cos^2(a)-1$ ,
$\sin(a+b)=2\sin(a)\cos(a)$ .

Nous allons ici considérer des valeurs de

n

particulières de la forme

n=2^k\times6

, avec

k\in\mathbb{N}

.
On remarque que l'angle

\dfrac{\pi}{2^{k+1}\times6}

et la moitié de l'angle

\dfrac{\pi}{2^{k}\times6}

.
Ainsi, pour tout entier

k

, on a :

$\cos\left( \dfrac{\pi}{2^k\times6} \right)$	$=$	$\cos\left( \dfrac{\pi}{2^{k+1}\times6}+\dfrac{\pi}{2^{k+1}\times6} \right)$
	$=$	$2\cos^2\left( \dfrac{\pi}{2^{k+1}\times6} \right)-1$ .

Et :

$\sin\left( \dfrac{\pi}{2^k\times6} \right)$	$=$	$2\sin\left( \dfrac{\pi}{2^{k+1}\times6}+\dfrac{\pi}{2^{k+1}\times6} \right)$
	$=$	$2\sin\left( \dfrac{\pi}{2^{k+1}\times6} \right)\cos\left( \dfrac{\pi}{2^{k+1}\times6} \right)$ .

On pose alors, pour tout entier

k

u_k = \sin\left( \dfrac{\pi}{2^{k}\times6} \right)

v_k=\cos\left( \dfrac{\pi}{2^{k}\times6} \right)

.
Les deux égalités obtenues précédemment deviennent alors :

\left\{ \begin{array}{rcl} u_k & = & 2u_{k+1}v_{k+1}\\ v_k & = & 2v_{k+1}^2-1 \end{array}\right.

On remarque que ces cosinus et sinus ne sont jamais nuls, on peut donc diviser par ces nombres et le système devient :

\left\{ \begin{array}{rcl} u_{k+1} & = & \dfrac{u_k}{2v_{k+1}}\\ 2v_{k+1}^2 & = & v_k+1 \end{array}\right.

\Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{rcl} u_{k+1} & = & \dfrac{u_k}{2v_{k+1}}\\ v_{k+1}^2 & = & \dfrac{1}{2}(v_k+1) \end{array}\right.

\Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{rcl} u_{k+1} & = & \dfrac{u_k}{2v_{k+1}}\\ \\ v_{k+1} & = & \sqrt{\dfrac{1}{2}(v_k+1)} \end{array}\right.

\Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{rcl} u_{k+1} & = & \dfrac{u_k}{2v_{k+1}}\\ \\ v_{k+1} & = & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{v_k+1} \end{array}\right.

\Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{rcl} u_{k+1} & = & \dfrac{u_k}{2v_{k+1}}\\ \\ v_{k+1} & = & \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{v_k+1} \end{array}\right.

\Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{rcl} u_{k+1} & = & u_k\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{v_k+1}}\\ \\ v_{k+1} & = & \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{v_k+1} \end{array}\right.

\Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{rcl} u_{k+1} & = & \dfrac{\sqrt{2}u_k}{2\sqrt{v_k+1}}\\ \\ v_{k+1} & = & \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{v_k+1}. \end{array}\right.

Les suites

(u_k)

(v_k)

sont donc définies par double récurrence, avec

u_0=\sin\left( \dfrac{\pi}{6} \right)

=

\dfrac{1}{2}

v_0=\cos\left( \dfrac{\pi}{6} \right)

=

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

.

On peut alors écrire un algorithme pour obtenir des encadrements en fonctions des valeurs de

n

s'écrivant sous la forme

2^k\times6

.

Algorithme
La fonction trigo permet de calculer

\cos\left( \dfrac{\pi}{2^k\times6} \right)

\sin\left( \dfrac{\pi}{2^k\times6} \right)

.

La fonction encadrement retourne l'encadrement de

\pi

pour

n=2^k\times6

que l'on avait établie précédemment :

n\cos\left( \dfrac{\pi}{n} \right)\sin\left( \dfrac{\pi}{n} \right)\leq \pi \leq n\tan\left( \dfrac{\pi}{n} \right).

xxxxxxxxxx
 
from math import *
​
def trigo(k):
  u = 0.5
  v = sqrt(3)/2
  for i in range(0,k):
    u = sqrt(2)*u/(2*sqrt(v+1))
    v = sqrt(2)*sqrt(v+1)/2
  return [u,v]
​
def encadrement(k):
  X = trigo(k)
  sin = X[0]
  cos = X[1]
  n =6*2**k
  return [n*sin*cos , n*sin/cos]
​
print "n = ",6*2**1
print "sinus et cosinus"
print trigo(1)
print "Encadrement"
print encadrement(1)
print ""
​
print "n = ",6*2**5
print "sinus et cosinus"
print trigo(5)
print "Encadrement"
print encadrement(5)
print ""
​
print "n = ",6*2**17
print "sinus et cosinus"
print trigo(17)
print "Encadrement"
print encadrement(17)
print ""

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2À partir d'une série 2.1La série de Madhava-Leibniz La formule de base est :

\dfrac{\pi}{4} = 1-{1\over 3}+{1\over 5}-{1\over 7}+{1\over 9}-{1\over 11}+{1\over 13}-\cdots

xxxxxxxxxx
 
def ml(n):
    s = 1.0
    for i in range(1,n):
        s = s+((-1)**i)/(2.0*i+1)
    return 4*s
    
print ml(10)
print ml(100)
print ml(1000)
print ml(10000)

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2.2La série de Bâle

\dfrac{\pi^2}{6}=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{25}+\cdots

xxxxxxxxxx
 
from math import *
​
def bale(n):
    s = 1
    for i in range(2,n+1):
        s = s + 1.0/(i*i)
    return sqrt(6*s)
    
print bale(10)
print bale(100)
print bale(1000)
print bale(10000)

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2.3Formule de John Machin La suite

(S_n)

définie par :

S_n=4\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dfrac{(-1)^k}{2k+1} \left( \dfrac{4}{5^{2k+1}}-\dfrac{1}{{239}^{2k+1}}\right)

converge vers

\dfrac{\pi}{4}

xxxxxxxxxx
 
def machin(n):
    s = 951.0/1195
    for i in range(1,n):
        s = s + (-1)**i/(2.0*i+1)*( 4/(5.0**(2*i+1)) - 1/(239.0**(2*i+1)) )
    return 4*s
    
print machin(1)
print machin(2)
print machin(3)
print machin(7)
print machin(8)

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