Approximation de

\sqrt{2}

1Méthode de Héron d'Alexandrie On choisit un nombre strictement positif. On ajoute à la moitié de ce nombre son inverse. On réitère le processus avec le résultat obtenu. Chaque nouveau résultat est une meilleure approximation de

\sqrt{2}

xxxxxxxxxx
 
def heron(n):
    r = 5
    for i in range(0,n):
        r = r/2.0+1.0/r
    return r
    
print(heron(3))
print(heron(6))
print(heron(7))
​

Exécuter

Remark 1 La méthode de Héron correspond à la méthode de Newton appliquée à la fonction

f

définie sur

0\,;+\infty[

par

f(x)=x^2-2

. 2Méthode babylonienne

xxxxxxxxxx
 
#a vaut la partie entière de la racine carrée de n
# b est un nombre plus grand que racine carrée de n
​
n = 2.0
a = 1.0
b = 2.0
​
for i in range(0,5):
    a = n/b
    b = (a+b)/2
​
print a
print b
​

Exécuter

3Fraction continue

\begin{aligned} &\sqrt{2}=1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{\cdots}}}}}}}\\ \end{aligned}

Remark 2 On remplace au rang

n

les pointillés par

2

, en supposant que

\dfrac{1}{n}

est proche de

0

xxxxxxxxxx
 
def fracCont(n):
    f = 2
    for i in range(0,n-1):
        f = 2+1.0/f
    f = 1 + 1.0/f
    return f
    
print(fracCont(10))
print(fracCont(14))
print(fracCont(15))
​

Exécuter