Recherche de l'exercice 17 du livret et consultation de la correction ici (ex 10).
7Logarithme népérien
8Primitives / Équations différentielles
À partir de la page 381 : exercices 16, 17, 37, 38, 57, 59, 39, 41, 42, 45, 46, 60, 61, 62, 78, 79, 80, 81 ,82.
Exercice 16
Lily a confondu dérivée et primitive. Une primitive pour x↦2x est par exemple x↦x2 ou encore x↦x2+13.
Exercice 17
On cherche ici une primitive de x↦x2. Les solutions de cette équation différentielle sont donc les fonctions x↦31x3+k avec k∈R.
Exercice 37
a) x↦2x+k, avec k∈R.
b) x↦21x2+k, avec k∈R.
c) x↦31x3+k, avec k∈R.
d) x↦ex+k, avec k∈R.
Exercice 38
Méthode 1 : 2x(x2+1)=2x3+2x.
Ainsi une primitive est x↦21x4+x2.
Méthode 2 : 2x(x2+1) est de la forme u′×u avec u(x)=x2+1.
D'après le cours une primitive de u′u est 21u2, ainsi une primitive cherchée est x↦21(x2+1)2.
Rem : 21(x2+1)2=21(x4+2x2+1)=21x4+x2+21.
Exercice 57
Si on pose y=e3x, on a y′=3e3x et −3y=−3e3x. Donc Alix repasse son bac !
Les solutions de l'équation différentielle sont toutes les fonctions y(x)=Ce−3x, avec C∈R.
Exercice 58
D'après la même formule du cours, la bonne réponse est la numéro 3 : y=Ceax.
Exercice 59
Si y est constante alors y′=0, ainsi 2y+4=0 et donc y=−2. La solution constante de l'équation est donc x↦−2.
Exercice 39
a) F(x)=21x2+x+1993.
b) F(x)=31x3+23x2+2x+212.
Exercice 40
a) F(x)=sin(x)−cos(x)+1974.
b) F(x)=5sin(x)+1944.
Exercice 41
a) F(x)=5ex+4x+2008,
b) f(x)=−6x+2ex donc F(x)=−3x2+2ex+2014.
Exercice 42
a) F(x)=3ln(x)+1998.
b) F(x)=−x2+4x+1905.
Exercice 45
a) On pose u(x)=x2−2x+4 et on a u′(x)=2x−2=2(x−1).
Ainsi, f=21u′u3 et F(x)=21×4u4(x) est une primitive de f(x).
En remplaçant on obtient : F(x)=81(x2−2x+4)4.
b) f est de la forme 31u′u4 avec u(x)=e3x+1.
Une primitive F de f est donc F(x)=151(e3x+1)5+1968.
Exercice 46
a) f est de la forme uu′ avec u(x)=ex+1, donc une primitive F de f est :
F(x)=ln(∣u(x)∣)+55=ln(ex+1)+55, car ex+1>0.
b) h(x)=xln(x)1=ln(x)x1 est de la forme uu′ avec u(x)=ln(x).
Or, sur ]1;+∞[, la fonction ln est positive, ainsi une primitive de h sur cet intervalle est :
H(x)=ln(ln(x))−216.