Recherche de l'exercice 17 du livret et consultation de la correction ici (ex 10).
Logarithme népérien
Primitives / Équations différentielles
À partir de la page 381 : exercices 16, 17, 37, 38, 57, 59, 39, 41, 42, 45, 46, 60, 61, 62, 78, 79, 80, 81 ,82.
Exercice 16
Lily a confondu dérivée et primitive. Une primitive pour $x\mapsto 2x$ est par exemple $x\mapsto x^2$ ou encore $x\mapsto x^2+13$.
Exercice 17
On cherche ici une primitive de $x\mapsto x^2$. Les solutions de cette équation différentielle sont donc les fonctions $x\mapsto \dfrac{1}{3}x^3+k$ avec $k\in\mathbb{R}$.
Exercice 37
a) $x\mapsto 2x+k$, avec $k\in\mathbb{R}$.
b) $x\mapsto \dfrac{1}{2}x^2+k$, avec $k\in\mathbb{R}$.
c) $x\mapsto \dfrac{1}{3}x^3+k$, avec $k\in\mathbb{R}$.
d) $x\mapsto \text{e}^x+k$, avec $k\in\mathbb{R}$.
Exercice 38
Méthode 1 : $2x(x^2+1)$ $=$ $2x^3+2x$.
Ainsi une primitive est $x\mapsto \dfrac{1}{2}x^4+x^2$.
Méthode 2 : $2x(x^2+1)$ est de la forme $u'\times u$ avec $u(x)=x^2+1$.
D'après le cours une primitive de $u'u$ est $\dfrac{1}{2}u^2$, ainsi une primitive cherchée est $x\mapsto\dfrac{1}{2}(x^2+1)^2$.
Rem : $\dfrac{1}{2}(x^2+1)^2$ $=$ $\dfrac{1}{2}(x^4+2x^2+1)$ $=$ $\dfrac{1}{2}x^4+x^2+\dfrac{1}{2}$.
Exercice 57
Si on pose $y=\text{e}^{3x}$, on a $y'=3\text{e}^{3x}$ et $-3y = -3\text{e}^{3x}$. Donc Alix repasse son bac !
Les solutions de l'équation différentielle sont toutes les fonctions $y(x)=C\text{e}^{-3x}$, avec $C\in\mathbb{R}$.
Exercice 58
D'après la même formule du cours, la bonne réponse est la numéro 3 : $y=C\text{e}^{ax}$.
Exercice 59
Si $y$ est constante alors $y'=0$, ainsi $2y+4=0$ et donc $y=-2$. La solution constante de l'équation est donc $x\mapsto-2$.
Exercice 39
a) $F(x)=\dfrac{1}{2}x^2+x+1993$.
b) $F(x)=\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{3}{2}x^2+2x+212$.
Exercice 40
a) $F(x)=\sin(x)-\cos(x)+1974$.
b) $F(x)=5\sin(x)+1944$.
Exercice 41
a) $F(x)=5\text{e}^x+4x+2008$,
b) $f(x)=-6x+2\text{e}^x$ donc $F(x)=-3x^2+2\text{e}^x+2014$.
Exercice 42
a) $F(x)=3\ln(x)+1998$.
b) $F(x)=-\dfrac{2}{x}+4x+1905$.
Exercice 45
a) On pose $u(x)=x^2-2x+4$ et on a $u'(x)=2x-2$ $=$ $2(x-1)$.
Ainsi, $f$ $=$ $\dfrac{1}{2}u'u^3$ et $F(x)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{u^4(x)}{4}$ est une primitive de $f(x)$.
En remplaçant on obtient : $F(x)=\dfrac{1}{8}(x^2-2x+4)^4$.
b) $f$ est de la forme $\dfrac{1}{3}u'u^4$ avec $u(x)=\text{e}^{3x}+1$.
Une primitive $F$ de $f$ est donc $F(x)=\dfrac{1}{15}(\text{e}^{3x}+1)^5+1968$.
Exercice 46
a) $f$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=\text{e}^x+1$, donc une primitive $F$ de $f$ est :
$F(x)=\ln(|u(x)|)+55$ $=$ $\ln(\text{e}^x+1)+55$, car $\text{e}^x+1>0$.
b) $h(x)=\dfrac{1}{x\ln(x)}$ $=$ $\dfrac{\frac{1}{x}}{\ln(x)}$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=\ln(x)$.
Or, sur $]1\,;+\infty[$, la fonction $\ln$ est positive, ainsi une primitive de $h$ sur cet intervalle est :
$H(x)=\ln(\ln(x))-216$.
