Terminale ∼ Cahier de mathématiques 1Limites de fonctions

































































2Géométrie dans l'espace







































































3Dérivations



















































4Succession d'épreuves indépendantes / Schéma de Bernoulli































5Continuité / Convexité





















6Géométrie dans l'espace n°2







Intersection cube/plan

Géométrie dans l'espace

Les solides de Platon

Recherche de l'exercice 17 du livret et consultation de la correction ici (ex 10). 7Logarithme népérien









8Primitives / Équations différentielles À partir de la page 381 : exercices 16, 17, 37, 38, 57, 59, 39, 41, 42, 45, 46, 60, 61, 62, 78, 79, 80, 81 ,82. Exercice 16
Lily a confondu dérivée et primitive. Une primitive pour x2xx\mapsto 2x est par exemple xx2x\mapsto x^2 ou encore xx2+13x\mapsto x^2+13.

Exercice 17
On cherche ici une primitive de xx2x\mapsto x^2. Les solutions de cette équation différentielle sont donc les fonctions x13x3+kx\mapsto \dfrac{1}{3}x^3+k avec kRk\in\mathbb{R}.

Exercice 37
a) x2x+kx\mapsto 2x+k, avec kRk\in\mathbb{R}.
b) x12x2+kx\mapsto \dfrac{1}{2}x^2+k, avec kRk\in\mathbb{R}.

c) x13x3+kx\mapsto \dfrac{1}{3}x^3+k, avec kRk\in\mathbb{R}.
d) xex+kx\mapsto \text{e}^x+k, avec kRk\in\mathbb{R}.

Exercice 38
Méthode 1 : 2x(x2+1)2x(x^2+1) == 2x3+2x2x^3+2x. Ainsi une primitive est x12x4+x2x\mapsto \dfrac{1}{2}x^4+x^2.

Méthode 2 : 2x(x2+1)2x(x^2+1) est de la forme u×uu'\times u avec u(x)=x2+1u(x)=x^2+1.

D'après le cours une primitive de uuu'u est 12u2\dfrac{1}{2}u^2, ainsi une primitive cherchée est x12(x2+1)2x\mapsto\dfrac{1}{2}(x^2+1)^2.

Rem : 12(x2+1)2\dfrac{1}{2}(x^2+1)^2 == 12(x4+2x2+1)\dfrac{1}{2}(x^4+2x^2+1) == 12x4+x2+12\dfrac{1}{2}x^4+x^2+\dfrac{1}{2}.

Exercice 57
Si on pose y=e3xy=\text{e}^{3x}, on a y=3e3xy'=3\text{e}^{3x} et 3y=3e3x-3y = -3\text{e}^{3x}. Donc Alix repasse son bac !

Les solutions de l'équation différentielle sont toutes les fonctions y(x)=Ce3xy(x)=C\text{e}^{-3x}, avec CRC\in\mathbb{R}.
Exercice 58
D'après la même formule du cours, la bonne réponse est la numéro 3 : y=Ceaxy=C\text{e}^{ax}.
Exercice 59
Si yy est constante alors y=0y'=0, ainsi 2y+4=02y+4=0 et donc y=2y=-2. La solution constante de l'équation est donc x2x\mapsto-2.


Exercice 39
a) F(x)=12x2+x+1993F(x)=\dfrac{1}{2}x^2+x+1993.

b) F(x)=13x3+32x2+2x+212F(x)=\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{3}{2}x^2+2x+212.
Exercice 40
a) F(x)=sin(x)cos(x)+1974F(x)=\sin(x)-\cos(x)+1974.
b) F(x)=5sin(x)+1944F(x)=5\sin(x)+1944.
Exercice 41
a) F(x)=5ex+4x+2008F(x)=5\text{e}^x+4x+2008,
b) f(x)=6x+2exf(x)=-6x+2\text{e}^x donc F(x)=3x2+2ex+2014F(x)=-3x^2+2\text{e}^x+2014.
Exercice 42
a) F(x)=3ln(x)+1998F(x)=3\ln(x)+1998.
b) F(x)=2x+4x+1905F(x)=-\dfrac{2}{x}+4x+1905.

Exercice 45
a) On pose u(x)=x22x+4u(x)=x^2-2x+4 et on a u(x)=2x2u'(x)=2x-2 == 2(x1)2(x-1).
Ainsi, ff == 12uu3\dfrac{1}{2}u'u^3 et F(x)=12×u4(x)4F(x)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{u^4(x)}{4} est une primitive de f(x)f(x).
En remplaçant on obtient : F(x)=18(x22x+4)4F(x)=\dfrac{1}{8}(x^2-2x+4)^4.

b) ff est de la forme 13uu4\dfrac{1}{3}u'u^4 avec u(x)=e3x+1u(x)=\text{e}^{3x}+1.
Une primitive FF de ff est donc F(x)=115(e3x+1)5+1968F(x)=\dfrac{1}{15}(\text{e}^{3x}+1)^5+1968.


Exercice 46
a) ff est de la forme uu\dfrac{u'}{u} avec u(x)=ex+1u(x)=\text{e}^x+1, donc une primitive FF de ff est :
F(x)=ln(u(x))+55F(x)=\ln(|u(x)|)+55 == ln(ex+1)+55\ln(\text{e}^x+1)+55, car ex+1>0\text{e}^x+1>0.

b) h(x)=1xln(x)h(x)=\dfrac{1}{x\ln(x)} == 1xln(x)\dfrac{\frac{1}{x}}{\ln(x)} est de la forme uu\dfrac{u'}{u} avec u(x)=ln(x)u(x)=\ln(x).

Or, sur ]1;+[]1\,;+\infty[, la fonction ln\ln est positive, ainsi une primitive de hh sur cet intervalle est :
H(x)=ln(ln(x))216H(x)=\ln(\ln(x))-216.