Rallye des calculs

• Permis A : de 1 à 3.
• Permis B : de 1 à 6.
• Permis C : de 1 à 9.
• Permis D : de 1 à 17.
• Super licence : de 1 à 24.

1. Montrer que pour tous nombres réels $x$ et $y$ nous tous deux nuls, on a : $\dfrac{(x-y)^2+(x+y)^2}{2(x^2+y^2)}=1$.


2. Montrer que pour tous nombres réels $x$ et $y$ non nuls, on a : $\dfrac{(x+y)^2-(x-y)^2}{4xy}=1$.


3. Pour tous réels $a$ et $b$, montrer que : $a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.


4. Déterminer des rationnels $a$ et $b$ tels que $\dfrac{1}{2+\dfrac{3}{1+\sqrt{5}}}$ $=$ $a+b\sqrt{5}$.


5. Soit $x$ un nombre réel strictement positif. Montrer que $\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}}$ $=$ $\dfrac{x+1}{2x+1}$.


6. Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des nombres réels strictement positifs. Montrer que $\dfrac{1}{a+\dfrac{b}{c+\dfrac{1}{d}}}$ $=$ $\dfrac{cd+1}{acd+bd+a}$.


7. Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels, $c\neq 0$, tels que $a=b+c$.
   Montrer alors que : $\dfrac{a^2-b^2}{c}=2b+c$.
   
   Exprimer ensuite $\dfrac{2b+c}{(a-b)(a+b)}$ en fonction de $c$.


8. Montrer que pour tous nombres réels $a$ et $b$ on a : $ab\leq\dfrac{a^2+b^2}{2}$.


9. En déduire que pour tous nombres réels $x$ et $y$ positifs : $\sqrt{xy}\leq\dfrac{x+y}{2}$.


10. Pour tout entier naturel $n\geq 2$, écrire sous la forme d'une fraction irréductible : $\dfrac{n+2}{(n-1)n(n+1)} - \dfrac{n-1}{n(n+1)(n+2)}$.
11. Exprimer plus simplement le nombre : $\dfrac{\sqrt{x}}{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}},\,\,\,$ pour $x\neq 0$.


12. Montrer que $\sqrt{7}-\sqrt{6}$ $=$ $\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$.


13. Trouver le nombre $a$ tel que : $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}{a}$.


14. Trouver les nombres $a$ et $b$ tels que : $\dfrac{2x-3}{x+1}=a+\dfrac{b}{x+1}$.


15. Trouver les nombres $a$ et $b$ tels que : $\dfrac{3x+4}{x^2-3x+2}=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x-2}$.


16. Pour tout entier naturel $n$ non nul, montrer que : $\dfrac{2^n+1}{\sqrt{2^n} + \sqrt{2^{-n}}} = \sqrt{2^n}$.


17. Montrer que pour tou entier $n$ : $\dfrac{1-4^n}{1+4^n}$ $=$ $\dfrac{2^{-n}-2^n}{2^{-n}+2^n}$


18. Soit $x$ et $y$ deux réels tels que $y\neq0$ et $y(x+y)=x^2$.
    On pose $t=\dfrac{x}{y}$. Montrer alors que $t^2-t-1=0$ et exprimer $x$ en fonction de $y$.


19. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+x$.
    Peut-on trouver deux réels $a$ et $b$ tels que $f(ax+b)=x^2$ ?


20. Calculer $\displaystyle{\sum_{k=1}^{10}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1} \right)}$ puis $\displaystyle{\sum_{k=1}^{1\,000}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1} \right)}$


21. Calculer $\displaystyle{\sum_{k=1}^{100}\dfrac{1}{k(k+1)}}$.


22. Calculer $\displaystyle{\sum_{k=1}^{1\,000}\dfrac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}}$.


23. Soit $(a_n)$ une suite de nombres réels. Justifier que : $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1}a_k-\sum_{k=0}^na_{k+1}}=0$.


24. Montrer que pour tout entier naturel $n$ : $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{1}{k}-\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{(k+1)^2}}$ $=$ $\displaystyle{\sum_{k=0}^n\dfrac{k}{(k+1)^2}}$.