Terminale ∼ Spécialité mathématique
Suites numériques 1Démonstration par récurrence Pour quels entiers nn la propriété suivante est-elle vraie ? Pn: ∑k=1n(2k−1)=n2P_n:\text{ }\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2
Correction
La somme commençant à k=1k=1, la formule n'a de sens qu'à partir de n=1n=1. Regardons donc si
P1P_1
est vraie.
∑k=11(2k−1)\displaystyle{\sum_{k=1}^1(2k-1)}
==
2×1−12\times 1 - 1
==
11
et
12=11^2=1.
Ainsi P1P_1
est bien vérifiée.


Pour n=2n=2 :
∑k=12(2k−1)\displaystyle{\sum_{k=1}^2(2k-1)}
==
(2×1−1)(2\times 1 - 1)
++
(2×2−1)(2\times 2 - 1)
==
44
et
22=42^2=4.
Nous avons donc que P2P_2 est également vérifiée.


On pourrait vérifier encore pour quelques entiers que la propriété est vraie, cependant ceci ne constitue pas
une preuve
. Un calcul direct serait également assez compliqué, surtout avec un sigma. Pour démontrer que cette égalité est vraie pour tout entier n≥1n\geq1, nous allons découvrir une nouvelle technique.

Nous allons démontrer que cette propriété est vraie pour tout entier n≥1n\geq1 en appliquant
le principe de récurrence.
✕
Property 1 -- Principe de récurrence
On veut montrer qu'une propriété PnP_n est vraie pour
tout
entier n≥n0n\geq n_0, avec n0n_0 le premier entier où la propriété est
vérifiée
(généralement n0=0n_0=0 ou n0=1n_0=1).
∘\circ Initialisation
On vérifie que Pn0P_{n_0} est vraie.

∘\circ Hérédité
On démontre que
si PnP_n est vraie pour un certain entier nn,
alors
cela implique que
Pn+1P_{n+1} est vraie.

∘\circ Conclusion
On peut alors conclure que
PnP_n est vraie
pour tout n≥n0n\geq n_0.
 Exemple 1 Avant de démontrer que notre propriété PnP_n est vraie pour tout entier n≥1n\geq1, essayons de mieux appréhender ce "principe" de récurrence. Pour cela faisons une analogie avec des insectes.
Prenons donc l'exemple d'une rangée d'insectes, alignés du premier insecte au dernier, celui-ci pouvant être infiniment loin, et mettons-les dans un contexte d'épidémie :
Si l'un est malade il transmet la maladie de manière certaine à son voisin de droite, et seulement à celui-ci.
On peut alors se poser la question si ils vont tous être malades ?
La réponse est évidemment oui si le premier insecte l'est. Si c'est le 10ème insecte qui est le premier à tomber malade, tous les suivants le seront, mais pas ceux d'avant.
On peut dire que l'insecte numéro nn transmet la maladie à l'insecte numéro n+1n+1. Ceci est un processus de transmission (d'hérédité), et dès que celui-ci est initialisé (c'est-à-dire) si un insecte numéro n0n_0 est malade, alors tous les suivants le seront également.

Montrons maintenant, par récurrence, que : Pn:∑k=1n(2k−1)=n2\displaystyle{P_n:\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2} est vraie
pour tout n≥1n\geq1.

∘\circ Initialisation
Pour n=1n=1 :
∑k=11(2k−1)=2×1−1=1=12\displaystyle{\sum_{k=1}^1(2k-1)=2\times1-1=1=1^2}, donc P1P_1 est vérifiée.

∘\circ Hérédité
Considérons un entier naturel nn tel que la proposition PnP_n est vraie,
c'est-à-dire
∑k=1n(2k−1)\displaystyle{\sum_{k=1}^n(2k-1)}
==
n2n^2.

Montrons alors,
en utilisant cette hypothèse
(dite hypothèse de
récurrence),
que Pn+1P_{n+1} est
vraie,
c'est-à-dire que
∑k=1n+1(2k−1)\displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)}
==
(n+1)2(n+1)^2.

∑k=1n+1(2k−1)\displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)}
==
∑k=1n(2k−1)+2(n+1)−1\displaystyle{\sum_{k=1}^n(2k-1)+ 2(n+1)-1}
==
n2+2n+1n^2+2n+1
==
(n+1)2 □(n+1)^2 \text{ } _\square


Ainsi, nous avons bien que
si PnP_n est vraie
alors
Pn+1P_{n+1} est vraie.

∘\circ Conclusion
D'après le principe de récurrence
la propriété
Pn:∑k=1n(2k−1)=n2\displaystyle{P_n: \sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2}
est vraie
pour tout entier n≥1n\geq1.
7 1
2Définition d'une suite et représentation graphique Definition 1 -- Suite numérique
Une suite numérique (un)(u_n) est
une fonction
dont la variable est
un entier naturel nn.

un:N⟶Rn⟼u(n)=un, pour n≥n0.\begin{array}{crcl} u_n : & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & n & \longmapsto & u(n)= u_n, \text{ pour }n\geq n_0. \end{array}
un0u_{n_0} est
le premier terme de la suite.

unu_n
est le terme de rang nn,
ou
terme général
de la suite. Il existe plusieurs procédés pour définir une suite, nous en verrons deux :

∘\circ
à l'aide d'une fonction.

∘\circ
par récurrence.
Exemple 2 On considère la suite (vn)(v_n), définie pour tout n∈Nn\in\mathbb{N} par vn=n+2n+1\displaystyle{v_n=n+\frac{2}{n+1}}.
On a que, pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, vn=f(n)v_n=f(n), avec f(x)=x+2x+1\displaystyle{f(x)=x+\frac{2}{x+1}}.
Calculer : v0v_0, v1v_1 et v100v_{100}.
Correction
v0v_0
==
f(0)f(0)
==
0+20+10+\dfrac{2}{0+1}
==
22,
v1v_1
==
f(1)f(1)
==
1+21+11+\dfrac{2}{1+1}
==
22
et
v100v_{100}
==
f(100)f(100)
==
100+2100+1100+\dfrac{2}{100+1}
≃\simeq
100,02100,02.
✕
4 1
Remark 1 On peut représenter les premiers termes d'une suite à l'aide d'un nuage de points où les abscisses représentent les nombres nn et les ordonnées les nombres unu_n correspondants.
2468101212345678910
Exemple 3 On considère la suite (un)(u_n) définie par :
u0=0,2u_0=0,2 et un=3un−1+2un−1+4\displaystyle{u_n=\frac{3u_{n-1}+2}{u_{n-1}+4}}.
Ici, pour tout n≥1n\geq1, un=g(un−1)u_n=g(u_{n-1}), avec g(x)=3x+2x+4\displaystyle{g(x)=\frac{3x+2}{x+4}}.
Trouver des valeurs approchées de u1u_1, u2u_2, u3u_3 et u100u_{100}.
Correction
u1 u_1
==
g(u0)g(u_0)
==
g(0,2)g(0,2)
≃\simeq
0,6190,619 ,
u2 u_2
==
g(u1)g(u_1)
≃\simeq
g(0,619)g( 0,619 )
≃\simeq
0,8350,835 ,
u3 u_3
==
g(u2)g(u_2)
≃\simeq
g(0,835)g( 0,835 )
≃\simeq
0,9320,932 .


Pour calculer u100u_{100} cela va être un peu long, puisque nous allons devoir connaître u99u_{99}, mais pour celui-ci il va nous falloir u98u_{98}, etc.

On utilise alors l'algorithme suivant :

u ← 0,2

Pour i allant de 1 jusqu'à 100, faire :

     
u ← (3u+2)/(u+4)

fin de boucle Pour

Afficher u

Ce qui donne en langage Python :

Exécuter




  

Après exécution, on trouve la valeur approchée suivante : 
u100≃1u_{100}\simeq 1.
 





✕



4 0









Remark 2

Étant donnée une suite (un)(u_n) définie par récurrence à l'aide de la relation un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n), on  représente les premiers termes de la suite dans un repère du plan à l'aide la droite d'équation y=xy=x et la courbe représentative de la fonction ff. On notera cette dernière C\mathcal{C}.




On place u0u_0 sur l'axe des abscisses, et puisque u1=f(u0)u_1=f(u_0) (c'est-à-dire que u1u_1 est l'image de u0u_0 par ff), on peut visualiser u1u_1 sur l'axe des ordonnées à l'aide de C\mathcal{C}.



Il n'est cependant pas pratique d'avoir u0u_0 sur l'axe des abscisses et u1u_1 sur l'axe des ordonnées. On utilise donc la droite d'équation 
y=xy=x
 (la droite où les points ont même abscisse et ordonnée) pour "ramener" u1u_1 sur l'axe des abscisses. 



On construit ensuite u2u_2 à partir de u1u_1 de la même façon, et ainsi de suite pour les termes suivants.







0.20.40.60.811.21.41.60.20.40.60.81
n = 0.00
u0



Déplacer le curseur







1 1










3
Rappels de la classe de 1ère




Definition 2 -- Suite arithmétique
     
   


 

Une suite numérique (un)(u_n) est arithmétique  s'il existe une constante rr,  appelée  
raison,
  telle que :
     
  



   
     


∀n∈N,\forall n\in\mathbb{N},
 
 un+1=un+r,\text{ }u_{n+1}=u_n+r,
 
 u0 tant donneˊeˊ.\text{ }u_0\text{ étant donné}.


     



Remark 3
	
À retenir : 
	


	






2 0











Definition 3
-- Suite géométrique
     
     





     
     Une suite numérique (un)(u_n) est géométrique  s'il existe une constante qq,  appelée  
raison,
  telle que :
  




   
     

     
∀n∈N,\forall n\in\mathbb{N},
 
 un+1=qun,\text{ }u_{n+1}=qu_n,
 
 u0 tant donneˊeˊ.\text{ }u_0\text{ étant donné}.



     



Remark 4
	
À retenir : 
	






3 0















Definition 4	
 -- Suite majorée
     
    

 

     
     Une suite numérique (un)(u_n) est  
majorée
  lorsque 
tous
 ses termes sont 
inférieurs
 à une même 
constante
 
MM
 appelée 
majorant.

     
  

   
     
     Ainsi,  
pour tout entier n≥0n\geq0,
  
un≤Mu_n\leq M.

     

     

Exemple 4

  





Definition 5
 -- Suite minorée
     



     
     Une suite numérique (un)(u_n) est  
minorée
  lorsque 
tous
 ses termes sont 
supérieurs
 à une même 
constante
 
mm
 appelée 
minorant.

     
     
     
     Ainsi,  
pour tout entier n≥0n\geq0,
  
un≥mu_n\geq m.

     

     


Definition 6  

 -- Suite bornée
     



     
     Une suite numérique (un)(u_n) est  
bornée
  lorsqu'elle est à la fois 
minorée
 
et
 
majorée.

     
     
     Ainsi,  
il existe
 
deux réels
 
mm et MM,
 
tels que
 
pour tout entier n≥0n\geq0,
  
m≤un≤Mm\leq u_n\leq M.

 

     


Exemple 5
  
  La suite (un)(u_n) définie pour tout n∈Nn\in\mathbb{N} par un=1n2+1u_n=\dfrac{1}{n^2+1} est  bornée.  En effet, 
pour tout entier nn,
  
0≤1n2+1≤1\displaystyle{0\leq \frac{1}{n^2+1}\leq 1}.

  
	







1 2











4Variations d'une suite


  

Definition 7 -- Sens de variation d'une suite
     
 

    
     
     Soit (un)(u_n) une suite numérique.

     
     





Remark 5

Lorsqu'on ne connaît pas a priori le sens de variation d'une suite (un)(u_n) il est alors plus pratique d'étudier le signe de 
un+1−unu_{n+1}-u_n
. En effet : 





un+1−un≥0u_{n+1}-u_n\geq0


⟺\Longleftrightarrow
  
un+1≥unu_{n+1}\geq u_n
  
⟺\Longleftrightarrow
  
(un)(u_n) est croissante.




un+1−un≤0u_{n+1}-u_n\leq0


⟺\Longleftrightarrow
  
un+1≤unu_{n+1}\leq u_n
  
⟺\Longleftrightarrow
  
(un)(u_n) est décroissante.


    




     


Remark 6
   
     Une suite peut-être monotone 
à partir d'un certain rang n0n_0.

  

Exemple 6


	On considère à nouveau la suite définie pour tout nn par : vn=n+2n+1v_n=n+\dfrac{2}{n+1}.
	
	
	
	


	
	Les variations de la fonction ff définie sur R\mathbb{R}\{−1}\{-1\} par  
f(x)=x+2x+1f(x)=x+\dfrac{2}{x+1},
  vont nous permettre de trouver les variations de la suite (vn)(v_n).
	



	
	La fonction ff  est dérivable sur R\mathbb{R}\{−1}\{-1\}, et pour tout xx sur son ensemble de définition :
	
	

	




	
f′(x)f'(x)
 
==
 
1−2(x+1)21-\dfrac{2}{(x+1)^2}





	      
==
 
(x+1)2(x+1)2−2(x+1)2\dfrac{(x+1)^2}{(x+1)^2}-\dfrac{2}{(x+1)^2}





	      
==
 
x2+2x+1(x+1)2−2(x+1)2\dfrac{x^2+2x+1}{(x+1)^2}-\dfrac{2}{(x+1)^2}





	     
==
 
x2+2x−1(x+1)2\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2} 
 




	      
==
 
(x+1+2)(x+1−2)(x+1)2\dfrac{(x+1+\sqrt{2})(x+1-\sqrt{2})}{(x+1)^2}





	





La dernière égalité s'obtient à l'aide de la méthode du 
discriminant
. On étudie, comme en classe de 1ère le signe de ce polynôme du 2nd degré.


	
On montre ainsi que f′(x)f'(x) est 
positif
 pour tout 
x≥1x\geq1,
  donc la fonction ff est 
croissante
 sur [1;+∞[[1;+\infty[.
	



	
	Pour tout entier n≥1n\geq1,  : 
f(n+1)≥f(n)f(n+1)\geq f(n)
  
⇒\Rightarrow
 
un+1≥unu_{n+1}\geq u_n.



	
	
	
	La suite (un)(u_n) est 
croissante
 
à partir du rang 1.





Remark 7 Une petite nuance



On considère une suite (un)(u_n), définie par une fonction ff, telle que pour tout entier nn, un=f(n)u_n=f(n).
	
	
Nous avons alors : 
	


	
Si ff est 
croissante
 
sur
 
[0;+∞[[0;+\infty[,
  alors  (un)(u_n) est  
croissante.

	


	
	
Mais, la proposition :
	
	
	
"Si (un)(u_n) est croissante alors ff est croissante sur [0;+∞[[0;+\infty["  est 
fausse.






2468101212345678910
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 








Sur le graphique précédent, nous avons une suite (un)(u_n) (représentée à l'aide des points rouges) définie par la fonction ff dont la représentation graphique est donnée en pointillés.



Nous avons que la suite (un)(u_n) est croissante alors que la fonction ff ne l'est pas.




0 0













5Limite d'une suite



5.1Quelques exemples


	
	On considère les trois suites ci-dessous :




	
		
			
		∘\circ un=3+(−1)nn2\displaystyle{u_n = 3+\frac{ (-1)^n }{ n^2 } }    
	


		
		
		∘\circ vn=n2v_n = n^2
		


	
		
 		∘\circ wn=(−1)nw_n = (-1)^n	
			   

	 
	
 
	


	





Compléter le tableau ci-dessous :










    nn 1  2  3  4  5  6  7  8 




    unu_n         




    vnv_n       




    wnw_n 









Correction





    nn 1  2  3  4  5  6  7  8 




    unu_n  
2
 
3,25
 		 
2,8889
 
3,0625
 
2,96
3,027778
 
2,9796
 
3,015625





    vnv_n 
1
 
4
 
9
 
16
 
25
 
36
 
49
 
64





    wnw_n 
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1






✕


	
Remark 8

Nous pouvons décrire le comportement de ces suites en émettant les conjectures suivantes :
    
    
 
    
    
    
    ∘\circ (un)(u_n)	  semble 
se rapprocher du nombre  33.

    
    

    
    
    
    ∘\circ (vn)(v_n)  semble ne jamais cesser 
de croitre,
  
et ce de plus en plus vite.

    
    

    
    
    
    ∘\circ (wn)(w_n)  prend 
alternativement
 
deux valeurs.

    
    

    
    


    
    On peut donc dire que : 
    
    

    
    ∘\circ (un)(u_n)  semble possèder 
une valeur limite
  
33,

    
    

    
    
    
    ∘\circ (vn)(v_n)  semble 
"exploser"
 
vers +∞+\infty,

    
    

    
    
    
    ∘\circ (wn)(w_n)  
n'a pas de valeur limite
 lorsque nn grandit.
    
	





	
	
	
	De manière, plus synthétique, on pourrait noter :
	
	
	
	
 
	
	
lim⁡n→+∞un\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}
 
==
 
33
  
et
  
lim⁡n→+∞vn\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n}
 
==
 
+∞+\infty.

	
	
 
	
	 
	
	Il n'y a aucune écriture pour (wn)(w_n) car cette suite ne possède pas de limite.







0 2










5.2Définitions

	
	

			 

Definition 8


On dit qu'une suite (un)(u_n) 
tend vers ℓ\ell
 
si,
  
tout intervalle ouvert
 
contenant ℓ\ell
  
contient
 
tous les termes de la suite
 
à partir d'un certain rang.





Remark 9

 
On note alors :  
lim⁡n→+∞un\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n} 
 
==
 
ℓ\ell.

	



Sur le graphique ci-dessous, nous pouvons voir qu'à partir d'un certain rang tous les termes de la suite semblent être dans l'intervalle délimitant la zone coloriée aussi petite soit elle.






2468101212345678
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
B
C
D



Déplacer les points A et B, et faire glisser le graphique (shift+souris)




1 0





Remark 10
   

Les suites non convergentes sont dites  
divergentes,
  et certaines suites divergent vers 
+∞+\infty.





Definition 9 -- Suite divergent vers +∞+\infty
 				 
 				  			 



  			 

Une suite (un)(u_n) 
diverge
 
vers
 
+∞+\infty
 
si,
  
tout intervalle ouvert
 
du type ]A;+∞[]A;+\infty[
  
contient tous les termes de la suite
 
à partir d'un certain rang.


	 
	 
	 
Remark 11
	  
	 
 On note alors :  
lim⁡n→+∞un\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}
 
==
 
+∞+\infty.







0 0











5.3Exemples


Exemple 7
	

	
    





1 0






Exercice 1
    

Soit (un)(u_n) la suite définie pour tout entier nn par un=n3+1u_n=n^3+1 et AA un nombre réel. 



    

  1. 
Déterminer le sens de variation de la suite (un)(u_n).

    2. 

  2. 
Écrire un algorithme Python comportant une fonction qui retourne le premier rang à partir duquel tous les termes de la suite sont plus grand que AA.

    3. 






Correction


    

  1. 
La fonction ff définie par f(x)=x3+1f(x)=x^3+1 est 
    croissante
     
    sur
     
    R\mathbb{R}.
     
    En effet sa dérivée qui vaut
     
    f′(x)f'(x)
     
    ==
     
    3x23x^2
     
    est positive
     
    sur R\mathbb{R}.
    

    2. 


  2. 

    

    Exécuter
    


    3. 




✕





0 1





5.4Opération sur les limites











Limite d'une somme












lim⁡n→+∞un\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n}  ℓ\ell   ℓ\ell  ℓ\ell  +∞+\infty  −∞-\infty  +∞+\infty




lim⁡n→+∞vn\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n} ℓ′\ell'  +∞+\infty  −∞-\infty  +∞+\infty  −∞-\infty  −∞-\infty




lim⁡n→+∞un+vn\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n+v_n} 
ℓ+ℓ′ \ell +\ell'
 
+∞+\infty
 		 
−∞-\infty
+∞+\infty
−∞-\infty
f.i










0 0





Remark 12


"f.i" signifie 
forme indéterminée
 et qu'il faut fournir des efforts supplémentaires pour donner la limite. En effet lorsqu'une suite (un)(u_n) diverge vers +∞+\infty et une suite (vn)(v_n) vers −∞-\infty, on ne peut connaître sans calculs préliminaires la limite de (un+vn)(u_n+v_n).






Voici plusieurs situations :






Nous voyons donc bien que la suite (un+vn)(u_n+v_n) peut avoir n'importe quelle limite sous ses hypothèses. Il sera donc nécessaire de déterminer la limite dans cette situation après quelques calculs.




1 0










Limite d'un produit










lim⁡n→+∞un\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n}  ℓ\ell    l≠0l\neq0  ∞\infty  00  




lim⁡n→+∞vn\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n}  ℓ′\ell'  ∞\infty  ∞\infty  ∞\infty




lim⁡n→∞un×vn\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty} u_n\times v_n}
ℓ×ℓ′ \ell \times \ell'
∞\infty
∞\infty
f.i






Remark 13


Pour le cas où lim⁡n→+∞un=∞\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n=\infty} et lim⁡n→+∞vn=∞\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n = \infty}, on ne précise pas dans ce tableau si ce sont des ++ ou −- l'infinie. La limite du produit divergera vers ∞\infty en appliquant 
la règle des signes.



On utilise cette règle dans l'exemple suivant :




0 0






Remark 14


lim⁡n→+∞(3−n2)(−4n3−n+1)=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}(3-n^2)(-4n^3-n+1)=} 
+∞+\infty.

	



En effet, lim⁡n→+∞3−n2=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}3-n^2=} 
−∞-\infty
 et lim⁡n→+∞−4n3−n+1=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}-4n^3-n+1=} 
−∞-\infty.
 



On obtient le résultat en appliquant la règle sur 
les produits
 de limites précédente.




0 0















Limite d'un quotient









lim⁡n→+∞un\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n}  ℓ\ell  ℓ\ell  ∞\infty  ∞\infty 




lim⁡n→+∞vn\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} v_n} ℓ′≠0\ell'\neq 0  ∞\infty  ℓ′\ell'  ∞\infty  




lim⁡n→+∞unvn\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{u_n}{v_n}}  
ℓℓ′\displaystyle{\frac{\ell}{\ell'}}
  		 
00
 		 
∞\infty
 		 
f.i








1 0




Exemple 8


On cherche à déterminer :lim⁡n→+∞53+n\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{5}{3+\sqrt{n}}}.




On a:  lim⁡n→+∞3+n=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}3+\sqrt{n}=} 
+∞+\infty
 et donc d'après la règle sur les 
quotients
 de limites on obtient : lim⁡n→+∞53+n=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{5}{3+\sqrt{n}}=} 
00.






1 0









5.5Limites et comparaisons


	

	
Property 2 ROC  



	Soient (un)(u_n) et (vn)(v_n)  deux suites telles que  à partir d'un certain rang : 
	





	
un≤vn.u_n\leq v_n.

	
	
	
	Si  lim⁡n→+∞un=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=} 
+∞+\infty
  alors  lim⁡n→+∞vn=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=} 
+∞+\infty.

	



	

	

Preuve

	


	
	
On considère un intervalle ouvert de la forme  
]A;+∞[]A;+\infty[.
 



	
On cherche à démontrer qu'à partir d'un certain rang,  
tous les termes de la suite (vn)(v_n)
 
sont dans cet intervalle
.  
C'est-à-dire,
 
que l'on veut montrer
 
qu'à partir d'un certain rang
  
vn>Av_n>A.

 
	
	
 
	

Puisque (un)(u_n) diverge vers
 
+∞+\infty,
 
on sait,
  
qu'à partir d'un certain rang,
 
un>A.u_n>A. 




	

Or,
  
par hypothèse,
  
vn>unv_n>u_n.

	


	

Ainsi,
  
à partir d'un certain rang,
  
vn>Av_n>A.

	




1 1









	
	
Property 3 -- Encadrement des limites
     




Soient (un)(u_n), (vn)(v_n) et (wn)(w_n)  trois suites telles que  à partir d'un certain rang : 
	






un≤vn≤wn.u_n\leq v_n\leq w_n.

	
	
Si  lim⁡n→+∞un\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n} 
== 
lim⁡n→+∞wn\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}w_n}
 
==
 
ℓ\ell
  
alors
  
lim⁡n→+∞vn=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=}
 
ℓ\ell.








w0
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
u0
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
v0
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7











Remark 15


Dans le graphique précédent nous pouvons observer deux suites encadrer une troisième. Et puisque les deux premières convergent vers ℓ\ell, la suite comprise entre les deux se trouve coincée et doit, elle aussi, converger vers ℓ\ell.




Cette propriété est également connue sous le nom imagé de "théorème des gendarmes", ou plus prosaïquement théorème d'encadrement des limites.




Exemple 9

Déterminons la limite de la suite (un)(u_n),  définie pour n∈N∗n\in\mathbb{N}^*  par un=(−1)nn\displaystyle{u_n=\frac{(-1)^n}{n}}.
	


Pour tout entier n≥1n\geq1 :
	

 
	
	




	  
−1-1
 
≤\leq
 
(−1)n(-1)^n
 
≤\leq
 
11
 





	 
⟺\Longleftrightarrow
 
−1n\dfrac{-1}{n}
 
≤\leq
 
(−1)nn\dfrac{(-1)^n}{n}
 
≤\leq
 
1n.\dfrac{1}{n}.





	
Or, on sait que  lim⁡n→+∞−1n\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{-1}{n}} == 
00,
 et lim⁡n→+∞1n=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}=} 
0.0.

	

 
	
Ainsi, d'après le théorème 
d'encadrement des limites :

	

lim⁡n→+∞(−1)nn\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{(-1)^n}{n}}
 
==
 
0.0.

	



1 0










5.6Comportement des suites arithmétiques et géométriques





Property 4
 -- Comportement des suites arithmétiques





	Soit (un)(u_n) une suite arithmétique de raison rr :
	
	
	
	
 
	
	∘\circ  si 
r>0r>0
  alors  (un)(u_n) est 
strictement croissante
  et  lim⁡n→+∞un=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =} 
+∞+\infty.

	
	
 
	
	∘\circ  si 
r<0r<0
  alors  (un)(u_n) est 
strictement décroissante
  et  lim⁡n→+∞un=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =} 
−∞-\infty.

	
	
 
	
	∘\circ  si 
r=0r=0
  alors  (un)(u_n) est 
constante
  et  lim⁡n→+∞un=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}  
u0u_0.

	



	


Preuve



	
	
On sait que :  un+1u_{n+1} 
==
 
un+ru_n+r,
  donc  
un+1−unu_{n+1}-u_n
 
==
 
rr
  
est du signe de rr.

	
	
	

 
	
Par ailleurs,  unu_n == 
u0+n×ru_0+n\times r.
 
	

 
	
Ainsi,  si r>0r>0 lim⁡n→+∞n×r\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n\times r} == 
+∞+\infty,
 
	

	
et,  si r<0r<0 lim⁡n→+∞n×r=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}n\times r}= 
−∞-\infty.

	
    
    
    
    

0 0
    
    
    
    
    
    
    
    
	

Property 5 -- Comportement des suites géométriques de raison q>1q>1 ROC
     




	Soit (un)(u_n) une suite géométrique de raison 
q>1q>1 :

	
	
	
	
 
	
	∘\circ  si 
u0>0u_0>0
  alors  (un)(u_n) est 
strictement croissante
  et  lim⁡n→+∞un=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =} 
+∞+\infty.

	
	
	
	
 
	
	∘\circ  si 
u0<0u_0<0
  alors  (un)(u_n) est 
strictement décroissante
  et  lim⁡n→+∞un=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =} 
−∞-\infty.

	
	
 
	







	
Pour démontrer cette propriété nous aurons besoin du résultat suivant appelé inégalité de Bernoulli : 
	



	

 
	
	
	
	

Property 6 -- Lemme -- Inégalité de Bernoulli  ROC


     
      
Soit aa un nombre réel 
strictement positif
.  Alors pour tout entier nn : 
  





   

(1+a)n≥1+na.(1+a)^n\geq 1+na.


     

     

a = 0.20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
10
15
 









	

Preuve du lemme

	


	
	
Procédons par récurrence sur nn.
	

 

 
	

Initialisation



	
	
	

Pour n=0n=0 :
  
(1+a)n(1+a)^n
 
==
 
(1+a)0(1+a)^0
 
==
 
11
 
et
  
1+na1+na
 
==
 
1+0×a1+0\times a
 
==
 
11.

	
	 

 
	

La propriété est bien initialisée à n=0n=0.







	
	

Hérédité

	


	
	

Supposons que pour
 
un
 
certain entier nn,
   
	






(1+a)n≥1+na,(1+a)^n\geq 1+na,

	


	
	

et montrons alors que :
 
	






(1+a)n+1≥1+(n+1)a.(1+a)^{ n+1}\geq1+(n+1)a.








	
	
	

	On a :




	




	
(1+a)n+1(1+a)^{n+1}
  
==
  
(1+a)×(1+a)n(1+a)\times(1+a)^n





	 
≥\geq
  
(1+a)(1+na)(1+a)(1+na)





	  
≥\geq
  
1+na+a+na21+na+a+na^2





	 
≥\geq
  
1+(n+1)a+na21+(n+1)a +na^2





	  
≥\geq
 
1+(n+1)a1+(n+1)a.





	






Le passage de la première à la deuxième ligne se fait en utilisant 
l'hypothèse de récurrence
. Le passage de l'avant-dernière à la dernière se justifie par le fait qu'un nombre à qui l'on retire une quantité positive (ici na2na^2) devient 
plus petit.







	

Conclusion

	


	
	

D'après le principe de récurrence,
 
nous avons démontré que :

	
	
	

∀a∈R+∗, ∀n∈N, (1+a)n≥1+na.\forall a\in\mathbb{R}^*_+, \text{ }\forall n\in\mathbb{N},\text{ }(1+a)^n\geq1+na.

	








	

Preuve de la propriété sur les suites géométriques de raison q>1q>1

	
	
	

 
	
On note (un)(u_n) une telle suite,  et nous avons : 
	

un+1u_{n+1}
 
==
 
qun.qu_n.

	


	
	
Ainsi, la raison étant en particulier positive, tous les termes de la suite seront 
de même signe. 



	
Et puisque 
q>1q>1,
  
un+1u_{n+1} >> unu_n,
  
si u0>0u_0>0,
 
ou encore

	

un+1<unu_{n+1}< u_n,
  
si u0<0u_0<0.
 
	

 
	
	
La suite (un)(u_n) est bien 
croissante si u0>0u_0>0,
  
et
 
décroissante si  u0<0u_0<0.
 
	





	
Pour déterminer la limite de (un)(u_n), il nous suffit de faire la remarque suivante :  
puisque q>1q>1,
  
il existe un réel a>0a>0
  
tel que
 
q=1+aq= 1+a.

	


	 
	
Or,  pour tout entier nn,  unu_n 
==
 
u0×qnu_0\times q^n
.  C'est-à-dire :
	
	
	

unu_n
 
==
 
u0(1+a)n.u_0(1+a)^n.

	
	
	

Si u0>0u_0>0,
  
alors d'après le lemme :
 
	

un>u0(1+na),u_n> u_0(1+na),

	

et si u0<0u_0<0,  alors :
 
	


un<u0(1+na).u_n < u_0(1+na).







	
	
	
On a,  
a>0a>0,
  donc  lim⁡n→+∞1+na\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}1+na} == 
+∞+\infty.

	
	
	

 
	

Ainsi, par comparaison de limites :

	


	
	

Si u0>0u_0>0,
  lim⁡n→+∞un=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=} 
+∞+\infty.

	

 
	
	
	
Si 
u0<0u_0<0
,  lim⁡n→+∞un=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=} 
−∞-\infty.







1 0












	
    
    
    
    
    
    
    
    
    
	

Property 7 -- Comportement des suites géométriques de raison q∈]0;1[q\in]0;1[






Soit (un)(u_n) une suite géométrique de raison 
q∈]0;1[q\in]0;1[ :

	
	
	

 
	
∘\circ  
si
 
u0>0u_0>0
  
alors
  
(un)(u_n) est
 
strictement décroissante
  
et
  
lim⁡n→+∞un=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}
 
00.

	
	
	

 
	
∘\circ  
si u0<0u_0<0
  
alors
  
(un)(u_n) est
 
strictement croissante
  
et
  
lim⁡n→+∞un=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n =}
 
00.







Exemple 10

	

	
	

0 0
    
    
    
    
    
    
    
    

Remark 16

On peut synthétiser les résultats précédents dans les tableaux ci-dessous :








	
	q≤−1q\leq -1
	−1<q<1-1 < q < 1
	 q=1q = 1 
     q>1q > 1 




	lim⁡n→+∞qn\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow+\infty}q^n }
	
	
00

	
11

    
+∞+\infty















	
	q<0q <0 
	0≤q<10 \leq q < 1
     q>1q > 1 




	sens de variation de (qn)(q^n)
	
non monotone

	
décroissante

    
croissante
















	
	q≤−1q\leq -1
	−1<q<1-1 < q < 1
	 q=1q = 1 
     q>1q > 1 et u0>0u_0 > 0 
     q>1q > 1 et u0<0u_0 < 0 




	lim⁡n→+∞u0qn\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow+\infty}u_0q^n }
	
	
00

	
u0u_0

    
+∞+\infty

    
−∞-\infty















	
	q<0q <0 
	0≤q<10 \leq q < 1 et u0>0u_0 > 0
    0≤q<10 \leq q < 1 et u0<0u_0 < 0
     q>1q > 1 et u0>0u_0 > 0
     q>1q > 1 et u0<0u_0 < 0




	sens de variation de (u0qn)(u_0q^n)
	
non monotone

	
décroissante

    
croissante

    
croissante

    
décroissante










1 0





5.7Convergence et monotonie


	
	

Property 8 -- Suite croissante non majorée ROC
     
   

  
     
     
     
     
     
Tout suite croissante non majorée
  
diverge vers +∞+\infty.


  
  
  
  
  
  
Property 9 -- Suite décroissante non minorée
     
    

 
     

     
     
     
Tout suite décroissante non minorée
  
diverge vers −∞-\infty.

     

     


	

Preuve de la propriété 8

	



	

Soit (un)(u_n) une suite croissante, non majorée
 
et
 
A>0A>0.
  
Comme (un)(u_n) n'est pas majorée,
 
il existe un entier n0n_0
 
tel que :
  
un0>Au_{n_0}>A.

	



	

Or la suite (un)(u_n) est croissante,
  
donc :

	

pour tout n≥n0n\geq n_0,
 
 un≥un0≥Au_n\geq u_{n_0}\geq A.

	



	

Ainsi,
  
quelque soit le nombre AA,
 
l'intervalle [A;+∞[[A;+\infty[
 
contient,
 
à partir d'un certain rang,
 
tous les termes de la suite (un)(u_n).

	



	

Ceci prouve que :
  
lim⁡n→+∞un\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}
 
==
 
+∞+\infty.

	


	
	
	

Preuve de la propriété 9

	


	
	

Soit (un)(u_n) une suite décroissante non minorée.
 
On pose, pour tout nn,
 
vn=−unv_n=-u_n.
  
On conclut en remarquant que
 
(vn)(v_n) vérifie la propriété 8.

	
    
    

0 1
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    





	
	
	

Property 10 -- Convergence monotone
     


 

Tout suite croissante majorée
  
est
 
convergente.

     

	
	

Property 11

 -- Convergence monotone
     




Tout suite décroissante minorée
  
est
 
convergente.

     

     


	

Preuve de la propriété 10

	



	

Soit (un)(u_n) une suite croissante majorée.

	



	

Toute suite majorée,
 
possède une infinité de majorants,
  
nous admettrons ici,
 
qu'il en existe un plus petit.
  
On le note MM.

	



	

On veut démontrer que (un)(u_n) converge vers
 
MM.


	



	

Soit ϵ>0\epsilon>0,
 
on cherche à montrer que l'intervalle ouvert
 
]M−ϵ;M+ϵ[]M-\epsilon;M+\epsilon[
 
contient,
 
à partir d'un certain rang,
 
tous les termes de la suite.

	



	

MM est le plus petit majorant,
 
donc
 
M−ϵM-\epsilon
 
n'est pas un majorant.  






Ainsi,
 
il existe n0n_0 tel que
 
un0>M−ϵu_{n_0}  > M - \epsilon,
  
et puisque la suite est croissante :



	

∀n≥n0\forall n\geq n_0,
  
M−ϵ<unM - \epsilon < u_n.

	



	

Or, par définition de MM,
 
un u_n
 
<<
 
MM
 
<<
 
M+ϵM + \epsilon .
 
	



	

Par conséquent :

	




	

∀n≥n0 \forall n\geq n_0,
 
M−ϵ<un<M+ϵM-\epsilon < u_n < M + \epsilon.




1 2
















	
Property 12
 -- Suite croissante et convergente
     




Toute suite 
croissante
 (un)(u_n)  convergeant 
vers un réel ℓ\ell
 vérifie :
	
		
	

pour tout entier n, un≤ℓ.\text{pour tout entier }n, \text{ }  u_n\leq  \ell.






	

Preuve



	
	
	
Nous allons raisonner par 
l'absurde,
  en supposant le 
contraire
 de ce que nous voulons démontrer,  et en arrivant ensuite à 
une contradiction.

	





	

On veut montrer que  pour tout nn,
 
un≤ℓu_n\leq \ell.
 
	


	

Supposons alors  qu'il existe un entier n0n_0  tel que :
  
un0>ℓ.u_{n_0}>\ell.

	 



	 

Puisque (un)(u_n) est  croissante,
  
alors
 
pour tout n≥n0n\geq n_0,
  
un≥un0u_n\geq u_{n_0}
 
 (*)\text{ (*)}.

	 


	 

On pose
 
ϵ=un0−ℓ\epsilon=u_{n_0}-\ell
   
 et on remarque que
  
ϵ>0\epsilon>0.

	 


	 

(un)(u_n) converge vers ℓ\ell,
  
donc à partir d'un certain rang,
 
tous les termes de la suite sont
 
dans l'intervalle
  
]ℓ−ϵ;ℓ+ϵ[]\ell-\epsilon;\ell+\epsilon[.

	 


	 

En particulier, à partir d'un certain rang :

	 
	  
	 

	




	 
unu_n
 
<<
 
ℓ+ϵ\ell+\epsilon





	 
unu_n
 
<<
 
ℓ+un0−ℓ\ell +u_{n_0}-\ell





	 
unu_n
 
<<
 
un0u_{n_0}.





	

	
	 
	

Cette dernière inégalité étant en
 
contradiction avec (∗)(*).

	






	

Ainsi, le fait d'avoir supposé qu'il existe un entier n0n_0  tel que
   
un0>ℓu_{n_0}>\ell,
  
nous a amené à une contradiction.

	
	
	

 
	

La proposition contraire est donc vraie,
  
à savoir  que
 
tous les termes de la suite (un)(u_n)
 
sont inférieurs à ℓ\ell.

	


2 0