Terminale ∼ Spécialité mathématique
Combinatoire et dénombrement
1Factorielle d'un entier et triangle de Pascal 1.1Factorielle d'un entier Definition 1
Soit nn un entier naturel. On appelle
factorielle
de
nn,
le nombre entier noté
n!n!
qui est égale
au produit
de tous les entiers de
11 jusqu'à nn,
si n1n\geq1, ou qui vaut
11 si n=0n=0.
Exemple 1
0!0!
==
11.

5!5!
==
5×5\times
44
×\times
33
×\times
22
×\times
11
==
120120.
Exercice 1 Simplifier les expressions suivantes :
  1. 8!6!\dfrac{8!}{6!}

  2. 20!17!\dfrac{20!}{17!}

  3. n!(n1)!\dfrac{n!}{(n-1)!}, pour nNn\in\mathbb{N}^*.

  4. (n+2)!n!\dfrac{(n+2)!}{n!}, pour nNn\in\mathbb{N}.
Correction
  1. 8!6!\dfrac{8!}{6!} ==
    8×7×6×5×4×3×2×16×5×4×3×2×1\dfrac{8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{6\times5\times4\times3\times2\times1}
    ==
    8×7×6!6!\dfrac{8\times7\times6!}{6!}
    ==
    8×78\times7
    ==
    5656.

  2. 20!17!\dfrac{20!}{17!} ==
    20×19×18×17!17!\dfrac{20\times19\times18\times17!}{17!}
    ==
    20×19×1820\times19\times18
    ==
    68406\,840.

  3. n!(n1)!\dfrac{n!}{(n-1)!} ==
    n×(n1)!(n1)!\dfrac{n\times(n-1)!}{(n-1)!}
    ==
    nn.

  4. (n+2)!n!\dfrac{(n+2)!}{n!} ==
    (n+2)×(n+1)n!n!\dfrac{(n+2)\times(n+1)n!}{n!}
    ==
    (n+2)(n+1)(n+2)(n+1)
    ==
    n2+3n+2n^2+3n+2.
Exemple 2 Les deux algorithmes ci-dessous permettent de calculer la factorielle de n'importe quel nombre entier.
Algorithme n°1
Exécuter

Algorithme n°2 récursif. Un algorithme
récursif
est un algorithme qui résout un problème en calculant des solutions à partir de versions plus petites du même problème. Il s'agit d'un concept fondamental en informatique.
Exécuter
2 1
1.2Triangle de Pascal Exercice 2 Compléter le tableau suivant :
11
121
1331
14......1
1...............
Correction
11
121
1331
14641
15101051

On complète les cases vides en additionnant le nombre de la case juste au dessus avec celui-ci de celle qui est juste à gauche de cette dernière.
Le 6 est par exemple obtenu en additionnant les deux 3 qui sont juste au-dessus.
Remark 1 Ce tableau s'appelle "le triangle de
Pascal
".
3 1
2Cardinal d'ensembles Definition 2
Soit nn un entier naturel et EE un ensemble possèdant nn éléments.
On dit alors que EE est un
ensemble
fini
et son nombre d'éléments est appelé
cardinal
de EE. On le note
card(E)\text{card}(E).
Exercice 3 Soit CC l'ensemble des codes à quatre chiffres et DD l'ensemble des codes à quatre chiffres sans répétition (tous les chiffres du code sont distincts).
Déterminer card(C)\text{card}(C) et card(D)\text{card}(D).
Correction
Lorsqu'on compose un code à quatre chiffres on a
dix
choix pour chacun des chiffres. Ainsi,
card(C)\text{card}(C)
==
10×10×10×1010\times10\times10\times10
==
10410^4
==
1000010\,000.

Lorsque les quatre chiffres sont distincts on a
1010
possibilités pour le premier chiffre, puis
99
pour le deuxième,
88
pour le troisième et
77
pour le quatrième. Ainsi :
card(D)\text{card}(D)
==
10×9×8×710\times9\times8\times7
==
50405\,040.
Remark 2 Definition 3
On dit que deux ensembles AA et BB sont
disjoints
si
ABA\cap B
==
\varnothing.
Property 1
Soient AA et BB deux ensembles disjoints. On a alors :
card(AB)\text{card}(A\cup B)
==
card(A)+card(B)\text{card}(A)+\text{card}(B).
Exemple 3 Soit PP l'ensemble des nombres premiers inférieurs à 3030 et QQ l'ensemble des multiples de 44 inférieurs à 3030. On a :
card(PQ)\text{card}(P\cup Q) ==
card(P)+card(Q)\text{card}(P)+\text{card}(Q)
==
1010
++
77
==
1717.
Property 2
Soit nn un entier naturel non nul, et A1A_1, A2A_2, \dots, AnA_n des ensembles finis, deux à deux
disjoints.
On a :
card(A1A2An)\operatorname{card}\left(A_{1} \cup A_{2} \cup \ldots \cup A_{n}\right)
==
card(A1)+card(A2)++card(An)\operatorname{card}\left(A_{1}\right)+\operatorname{card}\left(A_{2}\right)+\dots+\operatorname{card}\left(A_{n}\right).
Remark 3 On pourrait démontrer cette propriété par
récurrence.
4 0
Definition 4
Exemple 4 Soit E=E=0;90;9⟧. L'ensemble des couples de EE est de cardinal de
100100,
car par exemple le couple
(2;1)(2\,;1)
est différent du couple
(1;2)(1\,;2).
Definition 5
Soient AA et BB deux ensembles. Le
produit cartésien
de EE et FF, noté
E×FE\times F,
est l'ensemble des
couples (e;f)(e\,;f)
avec ee et ff des éléments respectifs de
EE et FF.
Property 3
Soient EE et FF deux ensembles finis. On a :
card(E×F)\text{card}(E\times F)
==
card(E)×card(F)\text{card}(E)\times\text{card}(F).
Exemple 5 Soit EE un semble de couleurs possibles pour un maillot. E={R;V;B}E=\{ \text{R}\,; \text{V}\, ; \text{B} \}, pour rouge, vert et bleu.
Soit FF l'ensemble des numéros possibles que peuvent porter ces maillots. F={1;2;3;4;5}F=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ;5 \}.
L'ensemble des maillots possibles (couleurs + numéros) est :
E×FE\times F
==
{(R;1)\{ (\text{R}\,;1) ;
(R;2)(\text{R}\,;2) ;
(R;3)(\text{R}\,;3) ;
(R;4)(\text{R}\,;4) ;
(R;5)(\text{R}\,;5) ;
(V;1)(\text{V}\,;1) ;
(V;2)(\text{V}\,;2) ;
(V;3)(\text{V}\,;3) ;
(V;4)(\text{V}\,;4) ;
(V;5)(\text{V}\,;5) ;
(B;1)(\text{B}\,;1) ;
(B;2)(\text{B}\,;2) ;
(B;3)(\text{B}\,;3) ;
(B;4)(\text{B}\,;4) ;
(B;5)(\text{B}\,;5) }\}.

Son cardinal est de
3×53\times5
==
1515.
Property 4
Soit nn un entier naturel non nul, et A1A_1, A2A_2, \dots, AnA_n des ensembles finis. On a :
card(A1×A2××An)\operatorname{card}\left(A_{1} \times A_{2} \times \ldots \times A_{n}\right)
==
card(A1)×card(A2)××card(An)\operatorname{card}\left(A_{1}\right)\times\operatorname{card}\left(A_{2}\right)\times\dots\times\operatorname{card}\left(A_{n}\right).
Remark 4 On note A2A^2 l'ensemble
A×AA\times A,
ou encore A3A^3 l'ensemble
A×A×AA\times A\times A
etc.
1 0
3k-uplets ∼ Parties d'un ensemble ∼ Arrangements ∼ Permutations Definition 6
Soit AA un ensemble fini et kk un entier naturel non nul. On appelle
kk-uplet
de AA un élément de
AkA^k.
Exemple 6 Un mot formé de 88 lettres est un
88-uplet
de l'alphabet. Remark 5 Soit kNk\in\mathbb{N}. Si AA est un ensemble fini de cardinal nn, alors en appliquant la formule du cardinal d'un produit cartésien, il existe
nkn^k
kk-uplet de AA.
En effet, card(Ek)\text{card}(E^k) ==
card(E××E)\text{card}(E\times\dots\times E)
==
card(E)××card(E)\text{card}(E)\times\dots\times\text{card}(E)
==
n××nn\times\dots\times n
==
nkn^k.
Definition 7
Une
partie
d'un ensemble EE est un
ensemble
formé
d'éléments de EE.
Remark 6 Pour E={a;b;c}E= \{ a\,; b\,; c\} les parties de EE sont :
\varnothing,
{a}\{ a \}, {b}\{ b \}, {c}\{ c \},
{a;b}\{ a\,;b \}, {a;c}\{ a\,;c \}, {b;c}\{ b\, ; c\},
{a;b;c}\{ a\,; b\,; c\}.

Le nombre de parties de EE est ici de
88.
Property 5
Soit EE un ensemble fini de cardinal nNn\in\mathbb{N}. Le nombre de parties de EE est de
2n2^n.
Preuve
On note
e1e_{1}, e2e_{2}, \dots, ene_{n}
les éléments de EE.
On associe à chaque partie PP de E un unique
nn -uplet de l'ensemble {0;1}\{0 ; 1\}
de la manière suivante : pour tout entier ii entre 11 et nn, on note
11
si eie_{i} est
dans PP
et 00 sinon.
Par exemple, on associe à {e1,e5}\left\{e_{1}, e_{5}\right\} le nn-uplet
{1;0;0;0;1;0;;0}\{1\, ; 0\, ; 0\, ;0\, ; 1\, ; 0\, ; \ldots ; 0\}.

Ainsi, le nombre de parties de EE est égal au nombre de
nn -uplets
de l'ensemble
{0;1}\{0\, ; 1\},
c'est-à-dire 2n2^{n}.
1 3
Definition 8
Soient AA un ensemble non vide de cardinal nn et kk un entier naturel inférieur ou égal à nn.
Un
arrangement
de kk éléments de AA est un
kk-uplet
d'éléments
distincts
de AA.
Exemple 7 Si A={a;b;c;d}A=\{ a\,; b\, ; c \, ; d\} alors
(a;c;d)(a\,;c\,;d)
et
(d;a;b)( d\,; a\,; b)
sont des
arrangements
de trois éléments de AA.
Par contre (a;b;b)(a\,;b\,; b)
n'est pas un arrangement
d'éléments de AA. Property 6
Soient AA un ensemble fini non vide à nn elements et kk un entier naturel tel que knk \leq n.
Le nombre de kk-arrangements de AA est égal à :
Ank\mathcal{A}_{n}^{k}
==
n×(n1)××(nk+1)n \times(n-1) \times \dots \times(n-k+1)
==
n!(nk)!\dfrac{n !}{(n-k) !}.
Preuve
Pour construire un kk-uplet de AA, on a
nn
choix pour le premier élément, puis
n1n-1
choix pour le deuxième, etc, jusqu'à
nk+1n-k+1
choix pour le
kk-ième
élément.
Ainsi, le nombre d'arrangement de kk éléments de AA est :
n×(n1)××(nk+1)n\times(n-1)\times\dots\times(n-k+1)
==
n!(nk)!\dfrac{n!}{(n-k)!}.
1 1
Definition 9
Soit AA un ensemble fini non vide de cardinal nn.
Une
permutation
de AA est un
nn-uplet
d'éléments
distincts
de AA.
Exemple 8 Si A={1;2;3}, A=\{1\, ; 2\, ; 3\}, les permutations de AA sont
(1;2;3)(1\, ; 2\, ; 3 ),
(1;3;2)(1\, ; 3\, ; 2),
(2;1;3)(2\, ; 1\, ; 3),
(2;3;1)(2\, ; 3\, ; 1),
(3;1;2)(3\, ; 1\, ; 2)
et
(3;2;1)(3\, ; 2\, ; 1).
Property 7
Le nombre de permutations sur un ensemble de cardinal est de
n!n!.
Preuve
D'après la propriété précédente, une permutation étant un
arrangement
de nn éléments sur un ensemble de nn éléments, leur nombre est de :
Ann\mathcal{A}_n^n
==
n!(nn)!\dfrac{n!}{(n-n)!}
==
n!0!\dfrac{n!}{0!}
==
n!n!.
0 1
4Combinaisons d'un ensemble fini Definition 10
Soit AA un ensemble fini de cardinal nn et kk un entier naturel tel que knk\leq n.
Une
combinaison
de kk éléments de AA est une
partie de AA
de cardinal kk.

Le nombre de combinaisons de
kk éléments parmi nn
est noté
(nk){n \choose k}.
Remark 7 Dans une combinaison il n'y a pas de notion
d'ordre.

Par exemple les combinaisons de deux éléments de E={a;b;c}E=\{a\, ; b\, ; c\} sont :
{a;b}\{a\, ; b \},
{a;c}\{a\, ; c \}
et
{b;c}\{ b\, ; c\}.

On remarque donc que
(32){3 \choose 2}
==
33.

On peut d'ailleurs voir que
(30){3 \choose 0}
==
11,
l'ensemble vide étant la seule partie d'un ensemble ne possédant
aucun élément.
Property 8
Soient nn et kk deux entiers naturels tels que knk \leq n. Le nombre de combinaisons de kk éléments d'un ensemble de cardinal nn vérifie :
(nk)\displaystyle{ {n \choose k} }
==
n!k!(nk)!\dfrac{n!}{k!(n-k)!}.
Preuve
Dans un ensemble de nn éléments il y a
n!(nk)!\dfrac{n!}{(n-k)!}
arrangements de kk éléments (ou kk-uplets sans
répétition
).
Or, dans un kk-uplet l'ordre compte. Cependant il y a
k!k!
façons de permuter kk éléments. Donc on peut
regrouper
les kk-uplet par paquets de
k!k!
pour ne les compter qu'une seule fois pour correspondre à une combinaison (puisque pour une combinaison l'ordre
ne compte pas
).
Ainsi, le nombre de combinaison de kk éléments parmi nn vérifie :
(nk)\displaystyle{ n \choose k }
==
Ankk!\dfrac{\mathcal{A}_n^k}{k!}
==
n!(nk)!×1k!\dfrac{n!}{(n-k)!}\times\dfrac{1}{k!}
==
n!k!(nk)!\dfrac{n!}{k!(n-k)!}.
Exercice 4 Déterminer :
  1. (20){2 \choose 0}, (21){2 \choose 1} et (22){2 \choose 2}.

  2. (30){3 \choose 0}, (31){3 \choose 1}, (32){3 \choose 2} et (33){3 \choose 3}.
Correction
  1. (20){2 \choose 0} ==
    2!0!(20)!\dfrac{2!}{0!(2-0)!}
    ==
    21×2\dfrac{2}{1\times2}
    ==
    11.

    (21){2 \choose 1} ==
    2!1!(21)!\dfrac{2!}{1!(2-1)!}
    ==
    22.

    (22){2 \choose 2} ==
    2!2!(22)!\dfrac{2!}{2!(2-2)!}
    ==
    11.

  2. (30){3 \choose 0} ==
    3!0!3!\dfrac{3!}{0!3!}
    ==
    11.

    (31){3 \choose 1} ==
    3!1!(31)!\dfrac{3!}{1!(3-1)!}
    ==
    33.

    (32){3 \choose 2} ==
    3!2!(32)!\dfrac{3!}{2!(3-2)!}
    ==
    11.


    (33){3 \choose 3} ==
    3!3!0!\dfrac{3!}{3!0!}
    ==
    11.
Property 9
Soit nNn\in\mathbb{N}.
Preuve Property 10ROC
Soient nn et kk deux entiers naturels tels que knk \leq n. On a alors :
(nk)\displaystyle{ n \choose k }
==
(nnk)\displaystyle{ n \choose n-k }.
Preuve

(nnk)\displaystyle{ n \choose n-k }
==
n!(nk)!(n(nk))!\dfrac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!}
==
n!(nk)!k!\dfrac{n!}{(n-k)!k!}
==
(nk)\displaystyle{ n \choose k }.
Property 11
Soient nn et kk deux entiers naturels tels que 1kn11\leq k \leq n-1. On a alors :
(nk)\displaystyle{ n \choose k }
==
(n1k1)+(n1k)\displaystyle{ n-1 \choose k-1 }+\displaystyle{ n-1 \choose k }.
Preuve n°1
(n1k1)+(n1k)\displaystyle{{n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}
==
(n1)!(k1)!(n1(k1))!+(n1)!k!(n1k)!\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1-(k-1))!}+\dfrac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}
==
(n1)!(k1)!(nk)!+(n1)!k!(n1k)!\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}+\dfrac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}.
On remarque alors que : Le dénominateur commun dans (n1)!(k1)!(nk)!+(n1)!k!(n1k)!\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}+\dfrac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!} est donc
k!(nk)!k!(n-k)!.

Il faut donc : On a alors :

(n1k1)+(n1k)\displaystyle{{n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}
==
(n1)!(k1)!(nk)!+(n1)!k!(n1k)!\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}+\dfrac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}
==
k(n1)!k(k1)!(nk)!+(nk)(n1)!k!(n1k)!(nk)\dfrac{k(n-1)!}{k(k-1)!(n-k)!}+\dfrac{(n-k)(n-1)!}{k!(n-1-k)!(n-k)}
==
k(n1)!k!(nk)!+(nk)(n1)!k!(nk)!\dfrac{k(n-1)!}{k!(n-k)!}+\dfrac{(n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!}
==
k(n1)!+(nk)(n1)!k!(nk)!\dfrac{k(n-1)!+(n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!}
==
k(n1)!+n(n1)!k(n1)!k!(nk)!\dfrac{k(n-1)!+n(n-1)!-k(n-1)!}{k!(n-k)!}
==
n(n1)!k!(nk)!\dfrac{n(n-1)!}{k!(n-k)!}
==
n!k!(nk)!\dfrac{n!}{k!(n-k)!}
==
(nk)\displaystyle{n \choose k}.
1 2
Preuve n°2
Soit EE un ensemble de cardinal
nn
et soit aa un élément de
EE.
On définit les ensembles suivants : Le cardinal de AA est
(nk)n \choose k.

L'ensemble BB contenant aa pour le construire il faut donc choisir
k1k-1
éléments (puisqu'on aa est
déjà choisi
) parmi les n1n-1 restants (tous les éléments de EE
sauf aa
). Le cardinal de BB est donc
(n1k1){n-1 \choose k-1}.

De même, pour construire CC il nous faut choisir
kk
éléments parmi
n1n-1
(tous les éléments de EE sauf aa). Son cardinal est donc
(n1k)n-1 \choose k.


Remarquons que BB et CC sont disjoints (c'est-à-dire
BC=B\cap C=\varnothing
).
Par ailleurs une partie à kk éléments de EE,
contient aa
ou
ne le contient pas.
Ainsi :
A=BCA=B\cup C
et :
card(A)\text{card}(A)
==
card(B)+card(C)\text{card}(B)+\text{card}(C)
(nk)\displaystyle{{n \choose k}}
==
(n1k1)+(n1k)\displaystyle{{n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}.
0 2
Remark 8 Cette formule justifie la construction du triangle de Pascal. Property 12ROC
Pour tout entier nn :
k=0n(nk)\displaystyle{\sum_{k=0}^n{n \choose k}}
==
2n.2^n.
Preuve.
Soit EE un ensemble de cardinal nn.
Pour tout entier kk inférieur à nn, le nombre
(nk)\displaystyle{{n \choose k}}
correspond au nombre de
parties de EE possédant kk éléments.

Ainsi, la somme
k=0n(nk)\displaystyle{\sum_{k=0}^n{n \choose k}}
correspond
au nombre de parties de EE possédant aucun élément
plus
le nombre de parties de EE possédant un élément,
plus le nombre de parties à deux éléments,
etc. jusqu'au nombre de parties à
nn
éléments.
Cette somme vaut donc
le nombre total de parties de EE,
soit
2n2^n.


Illustration dans le cas où n=3n=3.
On note E={e1;e2;e3}E=\{ e_1 ; e_2 ; e_3 \} un ensemble à trois éléments.
Pour déterminer l'ensemble des parties de EE on peut parcourir l'arbre ci-dessous, la notation e1\overline{e_1} voulant dire que l'on ne choisit pas l'élément e1e_1 :
e1e_1
e1\overline{e_1}
e2e_2
e2\overline{e_2}
e2e_2
e2\overline{e_2}
e3e_3
e3\overline{e_3}
e3e_3
e3\overline{e_3}
e3e_3
e3\overline{e_3}
e3e_3
e3\overline{e_3}
Il y a
23=82^3=8
chemins possibles dans cet arbre qui sont respectivement :
{e1;e2;e3}\{ e_1 ; e_2 ; e_3 \}

{e1;e2;e3}\{ e_1 ; e_2 ; \overline{e_3} \}
==
{e1;e2}\{ e_1;e_2 \}

{e1;e2;e3}\{ e_1 ; \overline{e_2} ; e_3 \}
==
{e1;e3}\{ e_1;e_3 \}

{e1;e2;e3}\{ e_1 ; \overline{e_2} ; \overline{e_3} \}
==
{e1}\{ e_1 \}

{e1;e2;e3}\{ \overline{e_1} ; e_2 ; e_3 \}
==
{e2;e3}\{ e_2;e_3 \}

{e1;e2;e3}\{ \overline{e_1} ; e_2 ; \overline{e_3} \}
==
{e2}\{ e_2 \}

{e1;e2;e3}\{ \overline{e_1} ; \overline{e_2} ; e_3 \}
==
{e3}\{e_3 \}

{e1;e2;e3}\{ \overline{e_1} ; \overline{e_2} ; \overline{e_3} \}
==
\varnothing


Il y a
(30)=1{3 \choose 0} =1
partie à
00
élément qui est :
\varnothing.


Il y a
(31)=3{3 \choose 1} =3
parties à
11
élément qui sont :
{e1}\{ e_1 \}, {e2}\{ e_2 \} et {e3}\{ e_3 \}.


Il y a
(32)=3{3 \choose 2} =3
parties à 22 éléments qui sont :
{e1;e2}\{ e_1;e_2 \}, {e1;e3}\{ e_1;e_3 \} et {e2;e3}\{ e_2;e_3 \}.


Il y a (33)=1{3 \choose 3} =1 parties à
33
éléments qui est :
{e1;e2;e3}\{ e_1 ; e_2 ; e_3 \}.


Dans cette illustration nous avons bien :
(30)+(31)+(32)+(33){3 \choose 0}+{3 \choose 1}+{3 \choose 2}+{3 \choose 3}
==
232^3.


Dans la démonstration on a généralisé cet exemple à un arbre contenant
2n2^n
chemins possibles en rassemblant les chemins par
nombres d'éléments.
2 2