Terminale ∼ Spécialité mathématique
Géométrie dans l'espace (1) 1Droites et plans de l'espace

On considère un cube ABCDEFGHABCDEFGH et II le milieu de [AB][AB].

B C D A F G H E I
On illustrera diverses propriétés à partir de cette figure dans les sous-paragraphes suivants. 1.1Positions relatives Deux droites peuvent être :
Deux plans peuvent être :
La position d'une droite relativement à un plan peut être : Remark 1
11 0
1.2Parallélisme Property 1
Deux droites parallèles à une même droite sont
parallèles.
 Exercice 1 Montrer que dans notre figure (AD)(AD) et (FG)(FG) sont parallèles.
Correction
(AD)(AD) est parallèle à
(BC)(BC)
car ABCDABCD est
un carré,
de plus (BC)(BC) est parallèle
à (FG)(FG)
car CBGFCBGF est
un carré,
donc (AD)(AD) est
parallèle
à (FG)(FG).
✕
Property 2
Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est
parallèle à une droite contenue par le plan.
 Exemple 1 (AD)(AD) est parallèle au plan (FGI)(FGI) puisque (AD)(AD) est
parallèle à (FG)(FG).
Property 3
Deux plans sont parallèles si et seulement si
deux droites sécantes de l'un
sont parallèles
à deux droites sécantes de l'autre.
 Exercice 2 Soit ABCDABCD est un parallélogramme et SS un point n'appartenant pas au plan (ABC)(ABC). Soient II, JJ et KK les milieux respectifs de [SA][SA], [SB][SB] et [SC][SC].
Montrer que les plans (IJK)(IJK) et (ABC)(ABC) sont parallèles.
Correction
Construisons tout d'abord la figure.
A B C D S I J K

Dans le plan (SAB)(SAB), d'après le théorème
des milieux,
(IJ)(IJ) est
parallèle
à (AB)(AB).
De même (JK)(JK) est
parallèle
à (BC)(BC) et d'après la propriété précédente on peut affirmer que les plans (IJK)(IJK) et (ABC)(ABC) sont
parallèles.
✕
Property 4
Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l'un est
sécant à l'autre
et les droites d'intersection sont
parallèles.
Illustration
6 1
1.3Orthogonalité Definition 1
Deux droites D1\mathscr{D}_1 et D2\mathscr{D}_2 sont dites
orthogonales
s'il existe une droite D1′\mathscr{D}'_1
parallèle
à D1\mathscr{D}_1 et une droite D2′\mathscr{D}'_2
parallèle
à D2\mathscr{D}_2 telles que
D1′\mathscr{D}'_1 et D2′\mathscr{D}'_2 soient
perpendiculaires
dans le plan qu'elles déterminent. Remark 2 Deux droites perpendiculaires sont
coplanaires
et sont donc
sécantes.

Deux droites orthogonales peuvent ne pas être
sécantes.
Dans ce cas elles sont
non-coplanaires.
Definition 2
Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est
orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Illustration
Exemple 2 Dans le cube du début de paragraphe, la droite (FG)(FG) est perpendiculaire au plan (ABE)(ABE) puisqu'elle est orthogonale aux droites
(FB)(FB) et (EF)(EF)
(puisque les faces d'un cube sont des
carrés
).
B C D A F G H E I
Property 5
Si une droite est perpendiculaire à un plan alors elle est
orthogonale à toutes les droites du plan.
 Remark 3 À l'aide d'un stylo et d'une feuille de papier on peut retrouver les propriétés suivantes :
3 1
2Vecteurs et repérages dans l'espace Property 6
Les propriétés vues pour les vecteurs du plan restent valables pour les vecteurs de l'espace. Exemple 3 Soient AA, BB et CC trois points de l'espace :
AB→+CA→=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=
CA→+AB→\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}
==
CB→.\overrightarrow{CB}.
2.1Repère Property 7
 Exemple 4 On considère un cube ABCDEFGHABCDEFGH dans un repère orthonormal de l'espace (A;i⃗,j⃗,k⃗)(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}) donné ci-dessous où i⃗=12AB→\vec{i} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}, j⃗=12AD→\vec{j} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} et k⃗=12AE→\vec{k} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}.
B C D A F G H E i⃗\vec{i} j⃗\vec{j} k⃗\vec{k}
Les coordonnées des sommets du cube sont :
Remark 4 De même que dans le plan, on parlera de repère orthogonal lorsque les axes seront deux à deux perpendiculaires et de repère orthonormal lorsqu'il sera orthogonal et que les vecteurs unitaires, i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} et k⃗\vec{k}, auront la même
norme
(longueur).
Property 8
Soit A(xA;yA;zA)A(x_A;y_A;z_A) et B(xB;yB;zB)B(x_B;y_B;z_B) deux points de l'espace. Exercice 3 On considère deux points de l'espace A(2;5;−4)A(2;5;-4) et B(4;−2;10)B(4;-2;10).
  1. Déterminer les coordonnées du vecteur AB→\overrightarrow{AB}.
  2. Déterminer les coordonnées du point CC milieu de [AB][AB].
  3. Déterminer la longueur du segment [AB][AB].
Correction
  1. AB→\overrightarrow{AB} ==
    (xB−xAyB−yAzB−zA)\left(\begin{array}{c}x_B - x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{array}\right)
    ==
    (2−714)\left(\begin{array}{c}2 \\ -7 \\ 14 \end{array}\right).

  2. xCx_C ==
    xA+xB2\dfrac{x_A+x_B}{2}
    ==
    33.


    yCy_C ==
    yA+yB2\dfrac{y_A+y_B}{2}
    ==
    32\dfrac{3}{2}.


    zCz_C ==
    zA+zB2\dfrac{z_A+z_B}{2}
    ==
    33.

    Le point CC a donc pour coordonnées :
    C(3;32;3)C\left( 3;\dfrac{3}{2};3\right).

  3. ABAB ==
    (xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}
    ==
    249\sqrt{249}.
✕
6 0
2.2Vecteurs colinéaires La définition suivante est encore proche de celle donnée dans le plan. Definition 3
Deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont dits
colinéaires
si il existe une constante réelle
λ\lambda
telle que
v⃗\vec{v} == λu⃗\lambda\vec{u}.
 Exemple 5 On considère trois vecteurs de l'espace u⃗(1−27)\vec{u} \begin{pmatrix}1\\-2\\7\end{pmatrix}, v⃗(−24−14)\vec{v} \begin{pmatrix}-2\\4\\-14\end{pmatrix} et w⃗(−920)\vec{w} \begin{pmatrix}-9\\2\\0\end{pmatrix} Property 9
 Exercice 4 On considère trois points de l'espace A(3;3;2)A(3;3;2), B(−7;3;22)B(-7;3;22) et C(1;3;6)C(1;3;6). Montrer que CC appartient à la droite (AB)(AB).
Correction
Montrons pour cela que les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont
colinéaires.

AB→\overrightarrow{AB} ==
(xB−xAyB−yAzB−zA)\left(\begin{array}{c}x_B - x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{array}\right)
==
(−10020)\left(\begin{array}{c}-10 \\ 0 \\ 20 \end{array}\right).

AC→\overrightarrow{AC} ==
(xC−xAyC−yAzC−zA)\left(\begin{array}{c}x_C - x_A \\ y_C-y_A \\ z_C-z_A \end{array}\right)
==
(−204)\left(\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right).

Nous avons alors que :
AB→\overrightarrow{AB} == 5AC→5\overrightarrow{AC},
ainsi les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont
colinéaires,
les points AA, BB et CC sont donc
alignés.
✕
4 0
2.3Vecteurs coplanaires Definition 4
Des vecteurs sont coplanaires si, et seulement si, leurs représentants de même
origine AA
ont leurs
extrémités
dans un même
plan
passant par AA.
 Exemple 6
B C D A F G H E
Dans le cube ci-dessus : Remark 5 Les trois vecteurs de base d'un repère de l'espace
ne sont pas coplanaires.
Property 10
Trois vecteurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} sont coplanaires si
il existe deux réels λ\lambda et μ\mu
non tous nuls
tels que :

w⃗ \vec{w}
==
λu⃗+μv⃗\lambda\vec{u} + \mu\vec{v}
 Exemple 7 Les vecteurs u⃗(111)\vec{u} \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, v⃗(132)\vec{v} \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} et w⃗(201)\vec{w} \begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix} sont coplanaires car
w⃗=3u⃗−v⃗\vec{w}=3\vec{u}-\vec{v}.
Remark 6 Lorsque trois vecteurs seront connus par leurs coordonnées il ne sera pas toujours aussi aisé de montrer qu'ils sont coplanaires.
De manière générale on sera obligé de résoudre un système d'équations en posant λ\lambda et μ\mu (de l'écriture de la propriété précédente) en inconnues. Definition 5
Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs
non colinéaires.
Soient P\mathscr{P} un plan de l'espace et Ω\Omega un point de P\mathscr{P}.
Si les points AA et BB définis par
ΩA→\overrightarrow{\Omega A} == u⃗\vec{u}
et
ΩB→\overrightarrow{\Omega B} == v⃗\vec{v}
appartiennent à
P\mathscr{P},
on dit que les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}
dirigent
le plan P\mathscr{P}. Remark 7 On dit également que les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}
forment une base de P\mathscr{P}.
Definition 6
Soient u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} trois vecteurs coplanaires. Les réels xx et yy tels que
w⃗=xu⃗+yv⃗\vec{w} = x\vec{u}+y\vec{v}
sont appelées les coordonnées de w⃗\vec{w} dans
la base (u⃗;v⃗)(\vec{u}\,;\vec{v}).
 Property 11
Les points AA, BB, CC et DD sont coplanaires si, et seulement si, les vecteurs AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC} et AD→\overrightarrow{AD}
sont coplanaires.
 Exercice 5 Montrer que les points A(1;0;1)A(1;0;1), B(2;2;4)B(2;2;4), C(3;0;5)C(3;0;5 ) et D(5;4;11)D(5;4;11) sont coplanaires.
Correction
Déterminons tout d'abord les coordonnées des vecteurs AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC} et AD→\overrightarrow{AD}.
AB→\overrightarrow{AB} ==
(xB−xAyB−yAzB−zA)\left(\begin{array}{c}x_B - x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{array}\right)
==
(123)\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right).


AC→\overrightarrow{AC} ==
(xC−xAyC−yAzC−zA)\left(\begin{array}{c}x_C - x_A \\ y_C-y_A \\ z_C-z_A \end{array}\right)
==
(204)\left(\begin{array}{c}2 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right).


AD→\overrightarrow{AD} ==
(xD−xAyD−yAzD−zA)\left(\begin{array}{c}x_D - x_A \\ y_D-y_A \\ z_D-z_A \end{array}\right)
==
(4410)\left(\begin{array}{c}4 \\ 4 \\ 10 \end{array}\right).


Nous remarquons que :
2AB→+AC→2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}
==
AD→\overrightarrow{AD}.


Les points A(1;0;1)A(1;0;1), B(2;2;4)B(2;2;4), C(3;0;5)C(3;0;5 ) et D(5;4;11)D(5;4;11)
sont bien coplanaires.
✕
Definition 7
Trois vecteurs de l'espace u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} qui ne sont pas coplanaires sont dits
linéairement indépendants.

 Remark 8 Trois vecteurs linéairement indépendants forment
une base
de l'espace. Cela signifie que tout vecteur de l'espace peut s'exprimer comme une
combinaison linéaire
de ces vecteurs de base, et donc tout vecteur de l'espace s'exprime alors à l'aide de nouvelles
coordonnées
dans cette base.
Concrètement, si (e1⃗;e2⃗;e3⃗)(\vec{e_1}\,; \vec{e_2}\, ; \vec{e_3}) est une base de l'espace, alors pour tout vecteur f⃗\vec{f} il existe trois réels (x;y;z)(x\,;y\,;z) tels que
f⃗=xe1⃗+ye2⃗+ze3⃗\vec{f} = x\vec{e_1}+y\vec{e_2}+z\vec{e_3}.
Property 12
Soient u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} trois vecteurs de l'espace. Alors :
u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} sont
linéairement indépendants
si et seulement si, pour tous réels aa, bb et cc,
au⃗+bv⃗+cw⃗a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w} == 0⃗\vec{0}
implique
aa == bb == cc == 00.
 Remark 9 Cette propriété permettra, étant donné trois vecteurs dont on connaît les coordonnées, de démontrer qu'ils forment une base de l'espace. Exercice 6 Montrer que u⃗(011)\vec{u}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, v⃗(200)\vec{v}\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} et w⃗(012)\vec{w}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} forment une base de l'espace.
Correction
Soient aa, bb et et cc trois réels tels que
au⃗+bv⃗+cw⃗a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w} == 0⃗\vec{0}.

On a alors :
a×(011)+b×(200)+c×(012)a\times\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+b\times\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+c\times\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
==
0⃗\vec{0}
⟺\Longleftrightarrow
(0aa)+(2b00)+(0c2c)\begin{pmatrix}0 \\ a \\ a \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2b \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 \\ c \\ 2c \end{pmatrix}
==
(000)\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
⟺\Longleftrightarrow
(2ba+ca+2c)\begin{pmatrix}2b \\ a+c \\ a+2c \end{pmatrix}
==
(000)\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Ainsi :

{2b=0a+c=0a+2c=0\left\{\begin{array}{rcl} 2b & = & 0 \\ a+c & = & 0 \\ a+2c & = & 0 \\ \end{array} \right.
⟺\Longleftrightarrow
{b=0a=−c−c+2c=0\left\{\begin{array}{rcl} b & = & 0 \\ a & = & -c \\ -c+2c & = & 0 \\ \end{array} \right.
⟺\Longleftrightarrow
{b=0a=0c=0\left\{\begin{array}{rcl} b & = & 0 \\ a & = & 0 \\ c & = & 0 \\ \end{array} \right.


C'est-à-dire :
aa == bb == cc == 00.

Les vecteurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} sont
linéairement indépendants
et forment bien
une base de l'espace.
✕
0 0
2.4Caractérisation vectorielle dans l'espace
Concernant les droites

Pour définir une droite nous avons besoin : Property 13 Caractérisation vectorielle d'une droite
On considère une droite D\mathscr{D} passant par un point AA et dirigée par un vecteur u⃗\vec{u}. Pour tout point MM de l'espace on a:
M∈DM\in\mathscr{D}
⟺\Longleftrightarrow
AM→\overrightarrow{AM} et u⃗\vec{u}
sont colinéaires.
Concernant les plans

Pour définir un plan nous avons besoin : Property 14 Caractérisation vectorielle d'un plan
On considère un plan P\mathscr{P} passant par un point AA et dirigé par deux vecteurs non colinéaires u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}. Pour tout point MM de l'espace on a:
M∈PM\in\mathscr{P}
⟺\Longleftrightarrow
AM→\overrightarrow{AM}, u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}
sont coplanaires.
 Remark 10 Quand on voudra vérifier que trois points de l'espace définissent un plan, il suffira de s'assurer que ceux-ci
ne sont pas alignés,
et donc que deux des vecteurs qu'ils définissent
ne sont pas colinéaires.
Property 15
Une droite D\mathscr{D} est parallèle à un plan P\mathscr{P} si, et seulement si, un
vecteur directeur
de D\mathscr{D}
est un vecteur de P\mathscr{P}
(au sens coplanaire à deux vecteurs non colinéaires de P\mathscr{P}).
 Remark 11 Deux plans dirigés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont
parallèles.
0 0
3Représentations paramétriques d'une droite On considère une droite D\mathscr{D} passant par un point AA et dirigée par le vecteur $\vec{u}=\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}$ ≠0⃗\neq\vec{0}.
En reprenant la caractérisation vectorielle d'une droite, nous avons les équivalences suivantes :
M(x;y;z)∈DM(x;y;z) \in \mathscr{D} ⟺\Longleftrightarrow
AM→ et u⃗\overrightarrow{AM} \text{ et } \vec{u}
sont colinéaires
⟺\Longleftrightarrow
 Il existe t∈R tel que AM→=tu⃗\text{ Il existe } t\in \mathbb{R} \text{ tel que } \overrightarrow{AM} = t \vec{u}
⟺\Longleftrightarrow
{x−xA=t×ay−yA=t×bz−zA=t×c o uˋt∈R\left\{ \begin{array}{rrr} x-x_A & = & t\times a \\ y-y_A & = & t\times b \\ z-z_A & = & t\times c \end{array} \right. \text{ où } t\in\mathbb{R}
⟺\Longleftrightarrow
{x=t×a+xAy=t×b+yAz=t×c+zA o uˋt∈R\left\{ \begin{array}{rrr} x & = & t\times a +x_A \\ y & = & t\times b +y_A\\ z & = & t\times c +z_A \end{array} \right. \text{ où } t\in\mathbb{R}.



Property 16
Si D\mathscr{D} est la droite passant par A(xA;yA;zA)A(x_A;y_A;z_A) et de vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}$. Alors :
M(x;y;z)∈DM(x;y;z) \in \mathscr{D}
⟺\Longleftrightarrow
{x=xA+t×ay=yA+t×bz=zA+t×c\left\{ \begin{array}{rrr} x & = & x_A + t\times a \\ y & = & y_A + t\times b \\ z & = & z_A + t\times c \end{array} \right.  pour t∈R.\text{ pour } t\in \mathbb{R}.
Remark 12
La réciproque est vraie.
Exemple 8 Une représentation paramétrique de la droite D\mathscr{D} passant par A(31;1;29)A(31;1;29) et B(12;−2;25)B(12;-2;25) est :
M(x;y;z)∈DM(x;y;z) \in \mathscr{D}
⟺\Longleftrightarrow
{x=31+19ty=1+3tz=29+4t\left\{ \begin{array}{rrr} x & = & 31 + 19t \\ y & = & 1 + 3t \\ z & = & 29 + 4t \end{array} \right.  pour t∈R\text{ pour } t\in \mathbb{R}
Nous avons ici utilisé les coordonnées du point AA et celles du vecteur
AB→\overrightarrow{AB}.

Nous aurions pu également utiliser les cordonnées du point BB, celles du vecteur
BA→\overrightarrow{BA}
ou encore celles de
3AB→3\overrightarrow{AB},
ou tout autre vecteur
directeur
de (AB)(AB).
La paramétrisation aurait été
différente,
mais aurait bien définie
la même droite.

Ceci nous conduit à faire la remarque suivante. Remark 13 Il n'y a pas
d'unicité
de la représentation paramétrique d'une droite.
2 1