Terminale ∼ Spécialité mathématiques
Succession d’épreuves indépendantes / Schéma de Bernoulli La planche de Galton Animation de la planche de Galton.

Un algorithme Python pour déterminer les effectifs de chacun des résultats possibles :

from random import* def galton(n,m): A = [0]*(n+1) L = [0]*(n+1) for j in range(0,m): X = 0 for i in range(0,n+1): X = X + randint(0,1) L[X] = L[X]+1 return L print(galton(10,100))

Un autre algorithme permettant cette fois-ci d'afficher un graphique des résultats obtenus.



Quelques résultats après exécution de cette algorithme.





Rappels de probabilités On considère dans ce paragraphe un univers probabilité $\Omega$ ainsi que $A$ et $B$ deux évènements de $\Omega$.
$P(\overline{A})$ $=$ $1-P(A)$ ; 8 $P(A \cup B)$ $=$ $P(A)+P(B)-P(A\cap B)$; 8 $P_B(A)$ $=$ $\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ si $B\neq\emptyset$ ;8 $P(A\cap B)$ $=$ $P(A)\times P_A(B)$ si $A\neq\emptyset$.

Dans l'arbre ci-dessous la formule des probabilités totales nous donne :

$P(B)$ $=$ $P(A\cap B)+P\left(\overline{A}\cap B\right)$,

ou encore :

$P(B)$ $=$ $P(A)\times P(A)\times P_A(B)+P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}}(B)$.
Succession d'épreuves indépendantes -- Événements indépendants
Dire que $A$ et $B$ sont deux évènements indépendants, avec $A\neq\emptyset$ et $B\neq\emptyset$ signifie que : $P(A\cap B)$ $=$ $P(A)\times P(B)$. Si deux évènements $A$ et $B$ sont indépendants alors $P_A(B)$ $=$ $P(B)$, ou encore $P_B(A)$ $=$ $P(A)$.
En effet, on a par exemple :

$P_A(B)$ $=$ $\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ $=$ $\dfrac{P(A)\times P(B)}{P(A)}$ $=$ $P(B)$. On considère une urne contenant 13 boules blanches et 13 boules bleues indiscernables au toucher.
On effectue un premier tirage. La probabilité d'obtenir une boule bleue est de $\frac{1}{2}$.
Si on remet la boule dans l'urne, au deuxième tirage la probabilité d'obtenir à nouveau une boule bleue sera encore de $\frac{1}{2}$, par contre si on ne remet pas la boule dans l'urne, au deuxième tirage la probabilité d'obtenir une boule bleue est soit de $\frac{13}{25}$ soit de $\frac{12}{25}$, en fonction du résultat du premier tirage.
Ainsi, dans le cas d'un tirage avec remise on peut considérer qu'il y a indépendance. Il y a indépendance dans les situations suivantes : Il n'y a PAS indépendance si les tirages successifs sont SANS remise.
Soient $n$ un entier naturel supérieur à $2$ et $E_1$, $E_2$, $\ldots$, $E_n$ $n$ épreuves indépendantes définies respectivement sur les univers probabilisés $\Omega_1$, $\Omega_2$, $\ldots$, $\Omega_n$.
L'univers des possibles est alors le produit cartésien $\Omega_1\times\Omega_2\times\dots\times\Omega_n$ et une issue possibles est un $n$-uplet $(e_1\,;e_2\,;\ldots\,;e_n)$ avec $e_i$ une issue de $E_i$.
La propabilité d'obtenir le $n$-uplet $(e_1\,;e_2\,;\ldots\,;e_n)$ est alors égale au produit des probabilités de chaque issue $e_i$, c'est-à-dire : $P(e_1)\times P(e_2)\times\dots\times P(e_n)$. JP prend une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes alors qu'au même moment JC lance un dé cubique parfait et HR lance une pièce de monnaie.
Ces trois épreuves étant indépendantes, la probabilité d'obtenir $(V;6;F)$ vaut alors :
$P((V;6;F))$ $=$ $P(V)\times P(6)\times P(F)$ $=$ $\dfrac{4}{32}\times\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{2}$ $=$ $\dfrac{1}{96}$. Un arbre de probabilité peut être utile pour calculer des probabilités dans une situation de succession d'épreuves indépendantes.
Schéma de Bernoulli / Loi binomiale
Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$, avec $p\in[0\,;1]$, est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles, l'une appelée « succés », qui a pour probabilité $p$, et l'autre appelée « échec », qui a pour probabilité $1-p$. On peut représenter une épreuve de Bernoulli à l'aide d'un arbre de probabilité à deux branches. Par exemple en notant $S$ l'évènement correspondant au succès, on a :

Soient $n$ un entier naturel non nul et $p\in[0\,;1]$.
L'expérience aléatoire qui consiste à répéter de manière indépendante $n$ épreuves de Bernoulli identiques de paramètres $p$, s'appelle un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$. On possède une pièce de monnaie truquée telle que la probabilité d'obtenir pile est de $0,6$. On considère l'épreuve de Bernoulli qui consiste à lancer cette pièce et de regarder si on obtient pile ou non.
On s'intéresse au schéma de Bernoulli correspondant de paramètres $4$ et $0,6$. En s'aidant d'un arbre de probabilité compléter le tableau ci-dessous.

Nombre de piles obtenus 0 1 2 3 4
Nombre de chemins dans l'arbre
Probabilité
$P$ $\overline{P}$ $P$ $\overline{P}$ $P$ $\overline{P}$ $P$ $\overline{P}$ $P$ $\overline{P}$ $P$ $\overline{P}$ $P$ $\overline{P}$ $P$ 4 piles $F$ 3 piles $P$ 3 piles $F$ 2 piles $P$ 3 piles $F$ 2 piles $P$ 2 piles $F$ 1 pile $P$ 3 piles $F$ 2 piles $P$ 2 piles $F$ 1 pile $P$ 2 piles $F$ 1 pile $P$ 1 pile $F$ 0 pile $0,6$ $0,4$ $0,6$ $0,4$ $0,6$ $0,4$ $0,6$ $0,4$ $0,6$ $0,4$ $0,6$ $0,4$ $0,6$ $0,4$ $0,6$ $0,4$ $0,6$ $0,4$ $0,6$ $0,4$ $0,6$ $0,4$ $0,6$ $0,4$ $0,6$ $0,4$ $0,6$ $0,4$ $0,6$ $0,4$
On obtient le tableau suivant :

Nombre de piles obtenus 0 1 2 3 4
Nombre de chemins dans l'arbre 1 4 6 4 1
Probabilité $(0,4)^4$ $=$ $0,025\,6$ $4\times0,6\times(0,4)^3$ $=$ $0,153\,6$ $6\times(0,6)^2\times(0,4)^2$ $=$ $0,345\,6$ $4\times(0,6)^3\times0,4$ $=$ $0,345\,6$ $(0,6)^4$ $=$ $0,129\,6$
Les probabilités sont obtenues en additionnant les probabilités de chaque chemin qui elles sont calculées à l'aide de produits de probabilités puisque les épreuves sont indépendantes.

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, $n\in\mathbb{N}^*$ et $p\in[0\,;1]$.
La loi de probabilité de la variable aléatoire qui compte le nombre de succès parmi les $n$ répétitions du schéma de Bernoulli s'appelle loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. L'expression « $X$ est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ » peut se noter $X\sim\mathcal{B}(n\,;p)$. Le symbole $\sim$ se lit alors : « suit une loi ».
Soit $n$ un entier naturel non nul et $p\in[0\,;1]$.
On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
Pour tout entier $k\leq n$, on a : $P(X=k)$ $=$ $\displaystyle{{n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}}$. Preuve
La répétition des $n$ épreuves de Bernoulli peut être représentée par un arbre de probabilité à $2^n$ branches.
Chaque branche permettant d'obtenir $k$ succès possède également $n-k$ échecs. Les épreuves étant indépendantes la probabilité d'une telle branche est de $p^k(1-p)^{n-k}$.
Le nombre de branches possèdant $k$ succès parmi les $n$ épreuves est de $n \choose k$, ainsi on a bien : $$P(X=k)={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}.$$ Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $20$ et $0,3$.
Déterminer, en utilisant une calculatrice les probabilités suivantes. On arrondira les résultats à $10^{-3}$.
$P(X=5)$ $P(X\leq 10)$ $P(X<4)$ $P(X>6)$ $P(X\geq8)$
• $P(X=5)\simeq 0,179$.
• $P(X\leq 10)\simeq 0,983$.
• La calculatrice ne permet pas de calculer directement $P(X<4)$, mais puisque $X$ ne prend que des valeurs entières, si $X<4$ alors $X\leq3$.
Ainsi : $P(X<4)=P(X\leq3)\simeq 0,107$.
• Ici aussi la calculatrice ne permet pas directement de calculer $P(X>6)$. Il va falloir ici passer par l'événement contraire de $X>6$ qui est $X\leq6$.
Ainsi : $P(X>6)=1-P(X\leq6) = 0,392$.
• $P(X\geq 8)$ $=$ $1-P(X<8)$ $=$ $1-P(X\leq7)$ $\simeq$ $0,228$.
Expliquer le rôle de chacune des fonctions de l'algorithme ci-dessous :

def facto(n): f = 1 if n > 1: for i in range(1,n+1): f = f*i return f def comb(n,k): return facto(n)/(facto(k)*facto(n-k)) def binom(n,p,k): s = p**k e = (1-p)**(n-k) return comb(n,k)*s*e def binomInf(n,p,k): r = 0 for i in range(0,k+1): r = r+binom(n,p,i) return r facto(n) permet de calculer la factorielle d'un entier n.
comb(n,k) permet de calculer $\displaystyle{n \choose k}$.
binom(n,p,k) permet de calculer $P(X=k)$ avec $X\sim\mathcal{B}(n\,;p)$.
binomInf(n,p,k) permet de calculer $P(X \leq k)$ avec $X\sim\mathcal{B}(n\,;p)$.