Terminale ∼ Spécialité mathématique
Continuité / Fonctions convexes Continuité Définition -- Fonction continue
Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $f$ une fonction définie sur $I$, et $a$ un réel appartenant à l'intervalle $I$.
$f$ est continue en $a$ si $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ existe et vaut $f(a)$.
$f$ est continue sur $I$ si pour tout réel $a\in I$ : $f$ est continue en $a$. La notion de continuité d'une fonction se traduit par une représentation graphique tracée « sans lever » le crayon.
Courbe d'une fonction continue sur $[-2\,;7]$.
Courbe d'une fonction non continue sur $[-2\,;7]$.
Les fonctions polynômes, rationnelles et racines sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
Il en est de même des fonctions construites à partir de celles-ci par addition, multiplication et composition. La fonction $g$ définie par $\displaystyle{g(x)=\frac{x^5+x^2+3}{\sqrt{x}}}$ est continue sur son ensemble de définition $]0;+\infty[$.
Un exemple de fonction non continue Toutes les fonctions "usuelles" connues en classe de première sont donc continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
Il existe cependant certaines fonctions non continues, l'exemple "classique" est la fonction partie entière. -- Fonction partie entière
La fonction partie entière est la fonction, fréquemment notée $E$, qui à tout réel $x$ associe l'unique entier $n$ tel que :

$n\leq x < n+1.$ Donner la valeur des nombres suivants :
$E(2,1)$ $E(2,99)$ $E(-4,01)$
$E(-\sqrt{2})$ $E(\pi)$ $E(0)$
$E(2,1)$ $=$ $2$ $E(2,99)$ $=$ $2$ $E(-4,01)$ $=$ $-5$
$E(-\sqrt{2})$ $=$ $-2$ $E(\pi)$ $=$ $3$ $E(0)$ $=$ $0$
Soit $x$ un réel, $E(x)$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.
Par ailleurs, comme nous pouvons le voir sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative de la fonction partie entière ressemble à un "escalier". Nous y observons des "sauts" au niveau de chacun des entiers. Nous parlons ici de discontinuité.
Propriété des fonctions continues -- Théorème des valeurs intermédiaires

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$, et soient $a$ et $b$ deux réels de $I$.
Si $k$ est un réel compris entre les valeurs $f(a)$ et $f(b)$, alors l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution sur l'intervalle $I$. Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$. Alors la droite d'équation $y=k$ coupe $\mathcal{C}_f$ au moins une fois lorsque $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$.
Déplacer la droite d'équation $y=k$ Ce théorème ne permet pas de résoudre une équation, mais permet de justifier qu'une solution de cette équation existe.
Généralement, on ne peut obtenir qu'un encadrement de la ou des solution(s), à l'aide par exemple de la calculatrice. Montrer que : $x^3+4x^2+4x+2=0$ admet au moins une solution sur $[-3;-1]$. Soit $f$ la fonction définie sur $[-3;-1]$ par $f(x)=x^3+4x^2+4x+2$.
La question posée revient à démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur $[-3;-1]$.
La fonction $f$ est continue sur $[-3;-1]$ en tant que fonction polynomiale. Par ailleurs, $f(-3)$ $=$ $-1$ $<0$ et $f(-1)$ $=$ $1$ $>0$.
Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur l'intervalle $[-3;-1]$.
Ce théorème permet donc de justifier l'existence d'une solution à une équation. Mais on ne peut pas prouver avec ce théorème l'unicité de la solution à une équation. C'est l'objet du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, aussi appelé théorème de la bijection. -- Théorème de la bijection
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a;b]$. Si $f$ est continue et strictement monotone sur l'intervalle $[a;b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution sur l'intervalle $[a;b]$.
Déplacer la droite d'équation $y=k$
Preuve :
Puisque $f$ est continue sur $[a;b]$, le théorème des valeurs intermédiaires nous assure l'existence d'une solution $\alpha$ à l'équation $f(x)=k$ sur $[a;b]$.
Il nous reste donc à prouver l'unicité de cette solution.
Raisonnons par l'absurde :
Supposons qu'il existe un réel $\beta$ $\neq$ $\alpha$ tel que $f(\beta)$ $=$ $k$.
On alors $f(\alpha)$ $=$ $k$ $=$ $f(\beta)$ avec $\alpha \neq\beta$.
Et on obtient ainsi une contradiction avec le fait que $f$ est strictement monotone. L'intervalle $[a;b]$ peut-être remplacé par un intervalle ouvert, semi-ouvert, et $a$ et $b$ peuvent être remplacés par $\pm\infty$ Montrer que l'équation $x^5+x=1$ admet une unique solution sur $\left[0;2\right]$. On définit sur l'intervalle $[0;2]$ la fonction $f$ par $f(x)=x^5+x$.
La question posée revient donc à démontrer que l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution sur $[0;2]$.

Pour tout réel $x$ de $[0;2]$, on a : $f'(x)$ $=$ $5x^4+1$, et puisque $x^4\geq 0$, on a $f'(x)>0$ sur $[0;2]$.

Ainsi, sur l'intervalle $[0;2]$ : Ainsi, d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution sur $[0;2]$.
Continuité et dérivabilité
Toute fonction dérivable sur un intervalle $I$ est continue sur $I$. Preuve
Soient $x$ et $a$ deux réels de $I$, $x\neq a$. On a :

$f(x)-f(a)$ $=$ $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\times(x-a)$.

De plus : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}(x-a)}$ $=$ $0$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} }$ $=$ $f'(a)$ puisque $f$ est dérivable en $a$.

Ainsi :

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)-f(a)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\times(x-a)}$ $=$ $f'(a)\times 0$ $=$ $0$.

Donc : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ $=$ $f(a)$.

La fonction $f$ est bien continue en $a$. La réciproque de cette propriété est fausse. En effet il existe des fonctions continues sur un intervalle qui n'y sont pas dérivables. La fonction valeur absolue est continue sur $\mathbb{R}$, mais n'est pas dérivable en $0$.
On observe un "pic" en 0. Il n'existe aucune tangente en ce point. En effet, le taux d'accroissement en $0$ vaut : $\dfrac{|x|-|0|}{x-0}$ $=$ $\dfrac{|x|}{x}$ et on a :
$\displaystyle{\lim_{x \stackrel{\leq}{\rightarrow}0 }\dfrac{|x|}{x}}$ $=$ $-1$, alors que : $\displaystyle{\lim_{x \stackrel{\geq}{\rightarrow}0}\dfrac{|x|}{x}}$ $=$ $1$.
Ainsi, le taux d'accroissement de la fonction valeur absolue ne possède pas de limite en $0$ (puisqu'on obtient deux résultats différents en s'approchant de $0$ de deux manières différentes), elle n'est donc pas dérivable en $0$ (cf définition de la dérivabilité).
Continuité et suites convergentes
Soit $f$ une fonction définie sur intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, continue en $a\in I$. Soit $(u_n)$ une suite convergeant vers $a$. On a alors :

$ \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}f(u_n) }$ $=$ $\displaystyle{f\left( \lim_{n\rightarrow+\infty}u_n \right)}$ $=$ $f(a)$. Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel non nul par $u_n=1-\dfrac{1}{n}$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=E(x)$.

On a d'une part : $ \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}f(u_n) }$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}E \left( 1-\dfrac{1}{n} \right) }$ $=$ $ \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}0 }$ $=$ $0$.

Et d'autre part : $\displaystyle{f\left( \lim_{n\rightarrow+\infty}u_n \right)}$ $=$ $f(1)$ $=$ $E(1)$ $=$ $1$.

Ainsi, pour cette fonction $f$ qui n'est pas continue en $1$, on a :

$ \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}f(u_n) }$ $\neq$ $\displaystyle{f\left( \lim_{n\rightarrow+\infty}u_n \right)}$.

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ telle que pour tout $x\in I$, $f(x)\in I$, et $(u_n)$ la suite définie par $u_0\in I$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
Si $(u_n)$ converge vers $\ell\in I$, alors $\ell$ est une solution de l'équation $f(x)=x$. Preuve
On sait que : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{n+1}}$ $=$ $\ell$.

De plus, $f$ est continue sur $I$, et d'après les hypothèses, pour tout entier $n$, $f(u_n)$ $\in I$, ainsi :

$\ell$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{n+1}}$ $=$ $ \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}f(u_n) }$ $=$ $\displaystyle{f\left( \lim_{n\rightarrow+\infty}u_n \right)}$ $=$ $f(\ell)$. Les solutions d'une équation de la forme $f(x)=x$ s'appellent les points fixes de la fonction $f$.
Une suite définie par la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ n'est pas nécessairement convergente même si la fonction $f$ possède un point fixe. De plus, dans le cas où la suite converge vers une unique limite, il se peut que la fonction possède deux points fixes, dont seulement l'un des deux sera la limite de la suite.
Dans toutes ces situations ce sera le contexte et les questions de l'exercice qui permettront de conclure.
Fonctions convexes
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
Graphe d'une fonction convexe
Graphe d'une fonction concave Déterminer la convexité d'une fonction c'est chercher les intervalles sur lesquels cette fonction est convexe et ceux où elle est concave. Conjecturer graphiquement la convexité de la fonction carré, cube, racine carrée, inverse et exponentielle sur leurs ensembles de définition.
La fonction carrée est convexe sur $\mathbb{R}$.
La fonction cube est concave sur $]-\infty\,;0]$ et convexe sur $[0\,;+\infty[$.
La fonction racine carrée est concave sur $[0\,;+\infty[$.
La fonction inverse est concave sur $]-\infty\,;0]$ et convexe sur $[0\,;+\infty[$.
La fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$.

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère et $a \in I$.
Le point $A(a;f(a))$ de $\mathcal{C}$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}$ si et seulement si $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$. Graphiquement, $\mathcal{C}$ admet une tangente qui traverse la courbe $\mathcal{C}$ en ce point $A$.
Point d'inflexion en $x=1$

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.
Les propositions suivantes sont équivalentes :
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.
Les propositions suivantes sont équivalentes : Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\text{e}^{-3x}$. Étudier la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$. La fonction $f$ est deux fois dérivable et on a : $f'(x)$ $=$ $-3\text{e}^{-3x}$ et $f''(x)$ $=$ $9\text{e}^{-3x}$ $ > 0$. Ainsi, la fonction $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle $[a\,;b]$ de $\mathbb{R}$.
Si $f''$ est positive, alors la courbe représentative de $f$ est au-dessus de ses tangentes. Preuve
Soit $x_0\in I$ et soit $d$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ représentant $f$ dans un repère du plan au point d'abscisse $x_0$.
L'équation réduite de $d$ est : $y = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.
Pour déterminer la position relative entre $\mathcal{C}$ et $d$ on étudie le signe de : $\delta(x) = f(x) - (f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)).$ Pour tout $x\in I$ on a $\delta'(x)$ $=$ $f'(x)-f'(x_0)$ et $\delta''(x)$ $=$ $f''(x)$.
Puisque pour tout $x\in [a\,;b]$, $f''(x)\geq0$ on a $\delta''(x)\geq0$ et la fonction $\delta'$ est croissante sur $[a\,;b]$.
Or, $\delta'(x_0)$ $=$ $0$, donc pour tout $x\leq x_0$ on a $\delta'(x)\leq 0$ et pour tout $x\geq x_0$, on a $\delta'(x)\geq 0$.

Ainsi la fonction $\delta$ est décroissante sur $[a\,;x_0]$ et croissante sur $[x_0\,;b]$, c'est-à-dire qu'elle présente un minimum en $x_0$.
$x$ $a$ $x_0$ $b$ $\delta'(x)$ $-$ 0 $+$ $\delta(x)$ décroissante croissante $0$
Ce minimum vaut $\delta(x_0)$ $=$ $f(x_0)-(0+f(x_0))$ $=$ $0$. La fonction $\delta$ est donc positive sur $I$ et la courbe de la fonction $f$ est bien au-dessus de sa tangente en $x_0$. On peut observer le résultat de cette proposition dans le graphique ci-dessus où on a tracé la courbe représentation de la fonction $f:\,x\mapsto\text{e}^{-3x}$ de l'exercice précédent.