Terminale ∼ Spécialité mathématiques
Fonction logarithme népérien

1Quelques questions pour démarrer
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2Définition et propriétés 2.1Définition Definition 1
Pour tout nombre réel bb strictement positif, il existe
un unique réel
α\alpha
tel que
exp(α)=b\exp(\alpha)=b.

On appelle ce nombre le
logarithme népérien de bb.

On le note
α=ln(b)\alpha=\ln(b).

Exemple 1
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2.2Propriétés algébriques Property 1 -- Logarithme népérien d'un produit
Pour tout réel aa et bb
strictement positifs,
on a :
ln(ab)\ln(ab)
==
ln(a)+ln(b).\ln(a)+\ln(b).
Preuve
On va calculer et comparer
eln(ab)\text{e}^{\ln(ab)}
et
eln(a)+ln(b)\text{e}^{\ln(a)+\ln(b)}.

On a d'une part :
eln(ab)\text{e}^{\ln(ab)}
==
abab.

D'autre part :
eln(a)+ln(b)\text{e}^{\ln(a)+\ln(b)}
==
eln(a)×eln(b)\text{e}^{\ln(a)} \times \text{e}^{\ln(b)}
==
abab.

Or,
eA=eB\text{e}^{A}=\text{e}^{B}
\Longleftrightarrow
A=BA=B.

D'où,
ln(ab)=ln(a)+ln(b)\ln(ab)= \ln(a)+\ln(b).

Property 2 -- Logarithme népérien de l'inverse
Pour tout réel aa
strictement positif,
on a :
ln(1a)\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)
==
ln(a).- \ln(a).
Preuve
On utilise la propriété précédente :
ln(1a)+ln(a)\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)+\ln(a)
==
ln(1a×a)\ln\left(\dfrac{1}{a}\times a\right)
==
ln(1)\ln(1)
==
0.0.

D'où
ln(1a)\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) == ln(a)-\ln(a).

Property 3 -- Logarithme népérien d'un quotient
Pour tous réels aa et bb
strictement positifs,
on a :
ln(ab)\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)
==
ln(a)ln(b).\ln(a) - \ln(b).
Preuve
On utilise les deux propriétés précédentes :
ln(ab)\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)
==
ln(a×1b)\ln\left(a\times \dfrac{1}{b}\right)
==
ln(a)+ln(1b)\ln(a)+\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)
==
ln(a)ln(b).\ln(a)-\ln(b).
Property 4 -- Logarithme népérien d'une puissance
Pour tout réel aa
strictement positif
et tout entier naturel nn, on a :
ln(an)\ln(a^{n})
==
n×ln(a).n\times \ln(a).
Preuve
Remarquons tout d'abord que :
ln(a2)\ln(a^2)
==
ln(a×a)\ln(a\times a)
==
ln(a)+ln(a)\ln(a)+\ln(a)
==
2ln(a)2\ln(a).

De même :
ln(a3)\ln(a^3)
==
ln(a×a2)\ln(a\times a^2)
==
ln(a)+2ln(a)\ln(a)+2\ln(a)
==
3ln(a)3\ln(a).

En généralisant, pour nn assez grand, on a :
ln(an)\ln(a^{n})
==
ln(a)+ln(an1)\ln(a)+\ln(a^{n-1}).

Donc,
ln(an)\ln(a^{n})
==
ln(a)+ln(a)+ln(an2)\ln(a)+ \ln(a)+\ln(a^{n-2}).

On répète jusqu'à obtenir :
ln(an)\ln(a^{n})
==
ln(a)+ln(a)++ln(a)n fois\underbrace{\ln(a)+ \ln(a)+\cdots+\ln(a)}_{n \text{ fois}}
==
n×ln(a)n\times \ln(a).
Remark 1 Nous aurions pu démontrer directement cette propriété par
récurrence.

Property 5 -- Logarithme népérien d'une racine carrée
Pour tout réel aa
strictement positif,
on a :
ln(a)\ln(\sqrt{a})
==
12×ln(a).\dfrac{1}{2} \times \ln(a).
Preuve
On a :
ln(a)\ln(a)
==
ln((a)2)\ln((\sqrt{a})^{2})
==
2×ln(a)2 \times \ln(\sqrt{a}) .

D'où
ln(a)\ln(\sqrt{a}) == 12×ln(a)\dfrac{1}{2} \times \ln(a).
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3Fonction logarithme népérien 3.1Définition Definition 2
On appelle fonction logarithme népérien, la fonction qui à tout réel xx de l'intervalle
]0;+[]0\, ; +\infty [
associe le réel
ln(x)\ln(x).
Remark 2
2468−22468−2
A
A'
Déplacer le point A
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3.2Dérivabilité et continuité de la fonction ln Property 6ROC
La fonction ln\ln est
continue
et
dérivable
sur
]0;+[]0\, ;+\infty [
et pour tout réel xx strictement positif,
(ln(x))(\ln(x))'
==
1x.\dfrac{1}{x}.
Preuve
Pour tout réel xx, (exp(x))(\exp(x))' ==
exp(x)\exp(x)
\neq 00
donc la courbe représentative de la fonction exponentielle n'admet que des tangentes
non horizontale
en chacun de ses points.
Ainsi par symétrie, la courbe représentative de la fonction ln\ln admet en tout point une tangente
non verticale.

La fonction ln\ln est donc
dérivable
sur
]0;+[]0\, ;+\infty [
et est donc aussi
continue
sur cet intervalle.

Pour le calcul de la dérivée on utilise : (eu)(\text{e}^{u})' ==
u×euu' \times \text{e}^{u}
pour dériver l'égalité
eln(x)\text{e}^{\ln(x)}
==
xx.
(eln(x))(\text{e}^{\ln(x)})'
==
(ln(x))×eln(x)(\ln(x))' \times \text{e}^{\ln(x)}
\Longleftrightarrow
(x)(x)'
==
(ln(x))×x(\ln(x))' \times x
\Longleftrightarrow
11
==
(ln(x))×x(\ln(x))' \times x
\Longleftrightarrow
1x\dfrac{1}{x}
==
(ln(x)).(\ln(x))'.
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Exercice 1 Déterminer l'expression de la dérivée des fonctions suivantes sur [0;+[[0;+\infty[ :
  1. f(x)=ln(x)+1xf(x)=\ln(x)+\dfrac{1}{x}
  2. g(x)=xln(x)xg(x)=x \ln(x) -x
  3. h(x)=ln(x)xh(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}
Correction
  1. Pour la fonction ff, nous dérivons terme à terme :
    f(x)f'(x) ==
    1x1x2\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}
    ==
    x1x2\dfrac{x-1}{x^2}.
  2. Pour la fonction gg nous utilisons la formule de dérivation d'un produit,
    (uv)(uv)'
    ==
    uv+vuu'v+v'u,
    pour
    x×ln(x)x\times\ln(x).

    g(x)g'(x) ==
    1×ln(x)+x1x11\times\ln(x)+x\dfrac{1}{x}-1
    ==
    ln(x)+11\ln(x)+1-1
    ==
    ln(x)\ln(x).

    Ce résultat est intéressant. En effet, nous venons de rencontrer une fonction telle que sa dérivée est la fonction
    ln\ln.
    On dit que la fonction gg est une
    primitive
    de la fonction ln\ln.
  3. Pour la fonction hh nous utilisons la formule de dérivation d'un quotient
    (uv)\left(\dfrac{u}{v}\right)'
    ==
    uvvuv2\dfrac{u'v-v'u}{v^2}.

    h(x)h'(x) ==
    1x×x1×ln(x)x2\dfrac{\frac{1}{x}\times x-1\times\ln(x)}{x^2}
    ==
    1ln(x)x2\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}.
Exercice 2 Déterminer les équations des tangentes à la courbe représentant la fonction ln\ln aux points d'abscisse respective e\text{e} et 11.
Correction
Équation de la tangente en e\text{e}
y=(ln(x))x=e(xe)+ln(e)y=(\ln(x))'_{x=\text{e}}(x-\text{e})+\ln(\text{e})
\Longleftrightarrow
y=1e(xe)+1y=\dfrac{1}{\text{e}}(x-\text{e})+1
\Longleftrightarrow
y=1exy=\dfrac{1}{e}x.


Équation de la tangente en 11
y=(ln(x))x=1(x1)+ln(1)y=(\ln(x))'_{x=\text{1}}(x-\text{1})+\ln(1)
\Longleftrightarrow
y=11(x1)+0y=\dfrac{1}{1}(x-1)+0
\Longleftrightarrow
y=x1y=x-1.


Property 7
La fonction logarithme népérien est
strictement croissante
sur ]0;+[]0\,; +\infty[.
Preuve
On a vu que pour tout x>0x>0, on a
(ln(x))(\ln(x))'
==
1x\dfrac{1}{x}.
Donc (ln(x))>0(\ln(x))'>0.
Property 8
Remark 3 Cette propriété (ainsi que la suivante) vient du fait que la fonction ln\ln est
strictement croissante
sur ]0;+[]0\,;+\infty[.
1234512−1−2−3−4
Property 9
Pour tout réel a>0a>0 et pour tout réel b>0b>0 :
a<b a < b
\Longleftrightarrow
ln(a)<ln(b). \ln(a) < \ln(b).
Remark 4 Cette propriété est utile lorsqu'on résoud des
inéquations.
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3.3Fonctions ln(u)\ln(u) Property 10
Soit uu une fonction définie sur un intervalle II.
Si uu est
dérivable
et
strictement positive
sur II alors la fonction
ln(u)\ln (u)
est définie et dérivable sur II et :
(ln(u))(\ln(u))'
==
uu.\dfrac{u'}{u}.
Exercice 3 Étudier la fonction définie par f(x)=ln(x2+4x+5)f(x)=\ln(-x^2+4x+5) sur ]1;5[]-1\,;5[.
Correction
Si on considère le polynôme pp défini par p(x)p(x) ==
x2+4x+5-x^2+4x+5,
on a que son discriminant Δ\Delta vaut
3636
et ses deux racines sont
1-1 et 55.
Ce qui justifie bien que l'ensemble de définition de ff est
]1;5[]-1\,;5[.

On a alors que pour tout réel x]1;5[x\in]-1\,;5[ :
f(x)f'(x)
==
p(x)p(x)\dfrac{p'(x)}{p(x)}
==
2x+4x2+4x+5\dfrac{-2x+4}{-x^2+4x+5}.

Sur ]1;5[]-1\,;5[ nous avons que x2+4x+5-x^2+4x+5
>0>0.
De plus
2x+40-2x+4\geq0
\Longleftrightarrow
x2x\leq2.

On a donc le tableau de variations suivant pour ff :

xx 1-1 2 55 f(x)f'(x) interdit + 0 - interdit interdit 99 interdit f(x)f(x) interdit croissante décroissante interdit interdit -\infty -\infty interdit
xx1-1255
f(x)f'(x)+0-
99
f(x)f(x)
-\infty-\infty

Il nous reste à justifier les limites aux
bornes.

Sur l'intervalle ]1;5[]-1\,;5[ le polynôme pp est positif, donc lorsque xx se rapproche de
1-1,
x2+4x+5-x^2+4x+5 se rapproche de
00
en étant
positif.
Or ln(X)\ln(X)
diverge
vers -\infty
quand XX se rapproche de
00 en étant positif.

Ainsi par composition de limites :
limx1f(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-1}f(x)}
==
limx1ln(x2+4x+5)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-1}\ln(-x^2+4x+5)}
==
-\infty.

Il en est de même lorsque xx se rapproche de
55.
2 0
3.4Croissances comparées Property 11 -- Croissances comparées 1ROC
limx+ln(x)x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}}
==
00
et
limx0xln(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0} x\ln(x)}
==
00.
Preuve
Étude en ++\infty.
On pose
X=lnxX=\ln x,
donc
xx
==
eX\text{e}^{X}.

On remarque que :
X+X\rightarrow+\infty
\Longleftrightarrow
x+x\rightarrow+\infty.

De plus, on a :
ln(x)x\dfrac{\ln(x)}{x}
==
XeX\dfrac{X}{\text{e}^{X}}
==
XeXX\text{e}^{-X}.

Or, d'après le cours sur la fonction exponentielle,
limX+XeX\displaystyle{\lim_{X\rightarrow+\infty} X\text{e}^{-X}}
==
00.

Donc,
limx+ln(x)x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}}
==
00.


Étude en 00.
On pose
X=1xX=\dfrac{1}{x},
donc
xx
==
1X\dfrac{1}{X}.

On a :
X0+X\rightarrow0^+
\Longleftrightarrow
x+x\rightarrow+\infty.

De plus :
xln(x)x\ln(x)
==
1X×ln(1X)\dfrac{1}{X}\times \ln\left(\dfrac{1}{X}\right)
==
ln(X)X\dfrac{-\ln(X)}{X}.

Donc d'après le résultat précédent,
limx0xln(x)\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0} x\ln(x)}
==
0.0.
Property 12 -- Croissances comparées 2ROC
Pour tout entier n1n\geq1,
limx+ln(x)xn\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n}}
==
00
et
limx0xnln(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0} x^n\ln(x)}
==
00.
Preuve: La démonstration découle immédiatement de la propriété 11 de croissances comparées et les propriétés opératoires des limites.
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