Terminale ∼ Spécialité mathématiques
Fonction logarithme népérien
Quelques questions pour démarrer

Résoudre $x^2=4$ . Cette équation possède deux solutions : $-2$ et $2$ .
Pour $a>0$ , existe-t-il un nombre positif qui élevé au carré vaut $a$ ? En étudiant la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x^2-a$ , le théorème de la bijection nous assure l'existence et l'unicité d'un tel nombre.
Par définition, si $a>0$ , alors $\sqrt{a}$ est la solution positive de l'équation $x^2=a$ .
Quel est l'image du point $A(2;4)$ par la symétrie d'axe $D:y=x$ ?
0,0
A

0,0
A
B
Déplacerle point $A$ Le point $B(4,2)$ est le symétrique de $A$ par rapport à $D$ .
Retenons que la symétrie d'axe $D$ : $y=x$ échange les coordonnées.
Ainsi, le point $M(x;y)$ a pour image $M' (y;x)$ .
Existe-t-il un nombre strictement positif dont l'exponentielle vaut $b$ ? Si $b\leq0$ la réponse est négative.
Si $b>0$ le théorème de la bijection appliqué à la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\text{e}^x-b$ nous permet de répondre par l'affirmative.

Définition et propriétés Définition
Pour tout nombre réel

b

strictement positif, il existe un unique réel

\alpha

tel que

\exp(\alpha)=b

.
On appelle ce nombre le logarithme népérien de

b

.
On le note

\alpha=\ln(b)

$\ln(1)$ $=$ $0$ .
$\ln(\text{e})$ $=$ $1$ .
Pour tout $x$ strictement positif, $\text{e}^{\ln(x)}$ $=$ $x$ .
Pour tout $x$ réel, $\ln(\text{e}^{x})$ $=$ $x$ .

Propriétés algébriques -- Logarithme népérien d'un produit
Pour tout réel

a

b

strictement positifs, on a :

\ln(ab)

=

\ln(a)+\ln(b).

Preuve
On va calculer et comparer

\text{e}^{\ln(ab)}

\text{e}^{\ln(a)+\ln(b)}

.
On a d'une part :

\text{e}^{\ln(ab)}

=

ab

.
D'autre part :

\text{e}^{\ln(a)+\ln(b)}

=

\text{e}^{\ln(a)} \times \text{e}^{\ln(b)}

=

ab

.
Or,

\text{e}^{A}=\text{e}^{B}

\Longleftrightarrow

A=B

.
D'où,

\ln(ab)= \ln(a)+\ln(b)

.
-- Logarithme népérien de l'inverse
Pour tout réel

a

strictement positif, on a :

\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)

=

- \ln(a).

Preuve
On utilise la propriété précédente :

\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)+\ln(a)

=

\ln\left(\dfrac{1}{a}\times a\right)

=

\ln(1)

=

0.

D'où

\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)

=

-\ln(a)

.
-- Logarithme népérien d'un quotient
Pour tous réels

a

b

strictement positifs, on a :

\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)

=

\ln(a) - \ln(b).

Preuve
On utilise les deux propriétés précédentes :

\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)

=

\ln\left(a\times \dfrac{1}{b}\right)

=

\ln(a)+\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)

=

\ln(a)-\ln(b).

-- Logarithme népérien d'une puissance
Pour tout réel

a

strictement positif et tout entier naturel

n

, on a :

\ln(a^{n})

=

n\times \ln(a).

Preuve
Remarquons tout d'abord que :

\ln(a^2)

=

\ln(a\times a)

=

\ln(a)+\ln(a)

=

2\ln(a)

.
De même :

\ln(a^3)

=

\ln(a\times a^2)

=

\ln(a)+2\ln(a)

=

3\ln(a)

.
En généralisant, pour

n

assez grand, on a :

\ln(a^{n})

=

\ln(a)+\ln(a^{n-1})

.
Donc,

\ln(a^{n})

=

\ln(a)+ \ln(a)+\ln(a^{n-2})

.
On répète jusqu'à obtenir :

\ln(a^{n})

=

\underbrace{\ln(a)+ \ln(a)+\cdots+\ln(a)}_{n \text{ fois}}

=

n\times \ln(a)

. Nous aurions pu démontrer directement cette propriété par récurrence.
-- Logarithme népérien d'une racine carrée
Pour tout réel

a

strictement positif, on a :

\ln(\sqrt{a})

=

\dfrac{1}{2} \times \ln(a).

Preuve
On a :

\ln(a)

=

\ln((\sqrt{a})^{2})

=

2 \times \ln(\sqrt{a})

.
D'où

\ln(\sqrt{a})

=

\dfrac{1}{2} \times \ln(a)

Fonction logarithme népérien Définition
On appelle fonction logarithme népérien, la fonction qui à tout réel

x

de l'intervalle

]0\, ; +\infty [

associe le réel

\ln(x)

On dit que les fonctions $\ln$ et $\exp$ sont réciproques.
Pour tout réel $x>0$ et pour tout réel $y$ , on a : $y = \ln(x)$ si et seulement si $x = \text{e}^{y}$ .
Dans un repère orthonormal, les courbes $(E)$ et $(L)$ , qui représentent respectivement les fonctions $\exp$ et $\ln$ , sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$ .
Pour tout réel $x > 0$ et pour tout réel $y$ on a : $M'(x;y)\in(L)$ si et seulement si $M(y;x)\in(E)$ .

0,0

Déplacer le point A

Dérivabilité et continuité de la fonction ln
La fonction

\ln

est continue et dérivable sur

]0\, ;+\infty [

et pour tout réel

x

strictement positif,

(\ln(x))'

=

\dfrac{1}{x}.

Preuve
Pour tout réel

x

(\exp(x))'

=

\exp(x)

\neq

0

donc la courbe représentative de la fonction exponentielle n'admet que des tangentes non horizontale en chacun de ses points.
Ainsi par symétrie, la courbe représentative de la fonction

\ln

admet en tout point une tangente non verticale.
La fonction

\ln

est donc dérivable sur

]0\, ;+\infty [

et est donc aussi continue sur cet intervalle.

Pour le calcul de la dérivée on utilise :

(\text{e}^{u})'

=

u' \times \text{e}^{u}

pour dériver l'égalité

\text{e}^{\ln(x)}

=

x

	$(\text{e}^{\ln(x)})'$	$=$	$(\ln(x))' \times \text{e}^{\ln(x)}$
$\Longleftrightarrow$	$(x)'$	$=$	$(\ln(x))' \times x$
$\Longleftrightarrow$	$1$	$=$	$(\ln(x))' \times x$
$\Longleftrightarrow$	$\dfrac{1}{x}$	$=$	$(\ln(x))'.$

Déterminer l'expression de la dérivée des fonctions suivantes sur

[0;+\infty[

$f(x)=\ln(x)+\dfrac{1}{x}$
$g(x)=x \ln(x) -x$
$h(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$

Pour la fonction $f$ , nous dérivons terme à terme :
$f'(x)$ $=$ $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}$ $=$ $\dfrac{x-1}{x^2}$ .
Pour la fonction $g$ nous utilisons la formule de dérivation d'un produit, $(uv)'$ $=$ $u'v+v'u$ , pour $x\times\ln(x)$ .
$g'(x)$ $=$ $1\times\ln(x)+x\dfrac{1}{x}-1$ $=$ $\ln(x)+1-1$ $=$ $\ln(x)$ .
Ce résultat est intéressant. En effet, nous venons de rencontrer une fonction telle que sa dérivée est la fonction $\ln$ . On dit que la fonction $g$ est une primitive de la fonction $\ln$ .
Pour la fonction $h$ nous utilisons la formule de dérivation d'un quotient $\left(\dfrac{u}{v}\right)'$ $=$ $\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$ .
$h'(x)$ $=$ $\dfrac{\frac{1}{x}\times x-1\times\ln(x)}{x^2}$ $=$ $\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$ .

Déterminer les équations des tangentes à la courbe représentant la fonction

\ln

aux points d'abscisse respective

\text{e}

1

. Équation de la tangente en

\text{e}

y=(\ln(x))'_{x=\text{e}}(x-\text{e})+\ln(\text{e})

\Longleftrightarrow

y=\dfrac{1}{\text{e}}(x-\text{e})+1

\Longleftrightarrow

y=\dfrac{1}{e}x

.

Équation de la tangente en

1

y=(\ln(x))'_{x=\text{1}}(x-\text{1})+\ln(1)

\Longleftrightarrow

y=\dfrac{1}{1}(x-1)+0

\Longleftrightarrow

y=x-1

.

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur

]0\,; +\infty[

. Preuve
On a vu que pour tout

x>0

, on a

(\ln(x))'

=

\dfrac{1}{x}

. Donc

(\ln(x))'>0

Si $x<1$ alors $\ln(x)<0$ .
Si $x>1$ alors $\ln(x)>0$ .

Cette propriété (ainsi que la suivante) vient du fait que la fonction

\ln

est strictement croissante sur

]0\,;+\infty[

0,0

Pour tout réel

a>0

et pour tout réel

b>0

a < b

\Longleftrightarrow

\ln(a) < \ln(b).

Cette propriété est utile lorsqu'on résoud des inéquations.

Fonctions

\ln(u)

Soit

u

une fonction définie sur un intervalle

I

.
Si

u

est dérivable et strictement positive sur

I

alors la fonction

\ln (u)

est définie et dérivable sur

I

et :

(\ln(u))'

=

\dfrac{u'}{u}.

Étudier la fonction définie par

f(x)=\ln(-x^2+4x+5)

sur

]-1\,;5[

. Si on considère le polynôme

p

défini par

p(x)

=

-x^2+4x+5

, on a que son discriminant

\Delta

vaut

36

et ses deux racines sont

-1

5

. Ce qui justifie bien que l'ensemble de définition de

f

est

]-1\,;5[

.
On a alors que pour tout réel

x\in]-1\,;5[

f'(x)

=

\dfrac{p'(x)}{p(x)}

=

\dfrac{-2x+4}{-x^2+4x+5}

.
Sur

]-1\,;5[

nous avons que

-x^2+4x+5

>0

. De plus

-2x+4\geq0

\Longleftrightarrow

x\leq2

.
On a donc le tableau de variations suivant pour

f

x

-1

5

f'(x)

interdit + 0 - interdit interdit

9

interdit

f(x)

interdit croissante décroissante interdit interdit

-\infty

-\infty

interdit

Il nous reste à justifier les limites aux bornes.
Sur l'intervalle

]-1\,;5[

le polynôme

p

est positif, donc lorsque

x

se rapproche de

-1

-x^2+4x+5

se rapproche de

0

en étant positif. Or

\ln(X)

diverge vers

-\infty

quand

X

se rapproche de

0

en étant positif.
Ainsi par composition de limites :

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-1}f(x)}

=

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-1}\ln(-x^2+4x+5)}

=

-\infty

.
Il en est de même lorsque

x

se rapproche de

5

Croissances comparées -- Croissances comparées 1

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}}

=

0

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0} x\ln(x)}

=

0

. Preuve
Étude en

+\infty

.
On pose

X=\ln x

, donc

x

=

\text{e}^{X}

.
On remarque que :

X\rightarrow+\infty

\Longleftrightarrow

x\rightarrow+\infty

.
De plus, on a :

\dfrac{\ln(x)}{x}

=

\dfrac{X}{\text{e}^{X}}

=

X\text{e}^{-X}

.
Or, d'après le cours sur la fonction exponentielle,

\displaystyle{\lim_{X\rightarrow+\infty} X\text{e}^{-X}}

=

0

.
Donc,

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}}

=

0

.

Étude en

0

.
On pose

X=\dfrac{1}{x}

, donc

x

=

\dfrac{1}{X}

.
On a :

X\rightarrow0^+

\Longleftrightarrow

x\rightarrow+\infty

.
De plus :

x\ln(x)

=

\dfrac{1}{X}\times \ln\left(\dfrac{1}{X}\right)

=

\dfrac{-\ln(X)}{X}

.
Donc d'après le résultat précédent,

\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0} x\ln(x)}

=

0.

-- Croissances comparées 2
Pour tout entier

n\geq1

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n}}

=

0

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0} x^n\ln(x)}

=

0

. Preuve: La démonstration découle immédiatement de la propriété 11 de croissances comparées et les propriétés opératoires des limites.