Si on considère le polynôme
p défini par
p(x) = −x2+4x+5,
on a que son discriminant
Δ vaut
et ses deux racines sont
Ce qui justifie bien que l'ensemble de définition de
f est
On a alors que pour tout réel
x∈]−1;5[ :
p(x)p′(x) −x2+4x+5−2x+4.
Sur
]−1;5[ nous avons que
−x2+4x+5 De plus
On a donc le tableau de variations suivant pour
f :
x
−1
2
5
f′(x)
interdit
+
0
-
interdit
interdit
9
interdit
f(x)
interdit
croissante
décroissante
interdit
interdit
−∞
−∞
interdit
x | −1 | | | 2 | | | 5 |
f′(x) | | | + | 0 | - | | |
| | | | 9 | | | |
f(x) | | | | | | | |
| | −∞ | | | | −∞ | |
Il nous reste à justifier les limites aux
bornes.
Sur l'intervalle
]−1;5[ le polynôme
p est positif, donc lorsque
x se rapproche de
−x2+4x+5 se rapproche de
en étant
positif.
Or
ln(X) diverge
quand
X se rapproche de
Ainsi par composition de limites :
x→−1limf(x) x→−1limln(−x2+4x+5)
Il en est de même lorsque
x se rapproche de