Terminale ∼ Spécialité mathématique
Sommes de variables aléatoires 1Opération sur les variables aléatoires 1.1Définitions Definition 1
Une variable

aléatoire

réelle

X

définie sur un univers probabilisé

\Omega

est une

fonction

définie sur

\Omega

à valeurs dans

\mathbb{R}

On peut noter :

\begin{array}{rccl} X: & \Omega & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \longmapsto & X(\omega) \\ \end{array}

Definition 2
Soit

X

une variable aléatoire prenant les valeurs

x_i

pour

0\leq i\leq n

, et soient

p_i

\in

[0\,;1]

les probabilités associées à ces événements.

L'espérance

de la variable aléatoire

X

, notée

E(X)

est la

moyenne

des valeurs

x_i

pondérées

par leurs probabilités

p_i

E(X)=x_1\times p_1 + x_2\times p_2 + \cdots + x_n\times p_n

ou encore

\displaystyle{E(X)=\sum_{i=0}^n x_i\times p_i.}

Exercice 1 Voici un jeu de hasard : on lance un dé à six faces équilibré. Si le joueur obtient un 6 il remporte 30 euros. Sinon, s'il obtient un 1, il perd 9 euros et dans les autres cas, il perd 6 euros.
Est-il avantageux de jouer à ce jeu ?

Correction

On note

X

la variable aléatoire qui donne le

gain

obtenu par le joueur. Voici le tableau donnant sa

loi de probabilité :

k	$30$	$-6$	$-9$
$P(X=k)$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{4}{6}$	$\dfrac{1}{6}$

Pour savoir si il est avantageux de jouer à ce jeu, il nous faut déterminer le gain «

moyen

» pour un grand nombre de parties, à savoir

l'espérance de

X

Or,

E(X)

=

30\times\dfrac{1}{6}-6\times\dfrac{4}{6}-9\times\dfrac{1}{6}

=

-\dfrac{3}{6}

=

-\dfrac{1}{2}

L'espérance (c'est-à-dire le

gain moyen

) étant

négative,

n'est pas avantageux

de participer à ce jeu.

Definition 3
Soit

n

un entier naturel non nul.
Soit

X

une variable aléatoire prenant les valeurs

x_i

, pour

0\leq i\leq n

, et soient

p_i\in[0;1]

les probabilités associées à ces événements. Soit

E(X)

l'espérance

X

.

• La

variance

de la variable aléatoire

X

, noté

V(X)

est la

moyenne des carrés des écarts à la moyenne.

Cet indicateur représente la dispersion
de

X

V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+\cdots+p_n(x_n-E(X))^2

ou encore

\displaystyle{V(X)=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2.}

• On appelle

écart-type

X

le réel noté

\sigma(X)

défini par :

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}.

Remark 1 Soit

X

une variable aléatoire correspondant au gain lors d'une partie d'un jeu d'argent. Alors

E(X)

représente le

gain moyen

\sigma(X)

représente

l'écart moyen

par rapport à

E(X)

Voici un autre jeu : on lance une pièce de monnaie, si on obtient pile on gagne 10 euros et si on obtient face on perd 10 euros. En notant

X

la variable aléatoire associé au gain, on représente la loi de probabilité de

X

à l'aide du tableau ci-dessous :

$x_i$	$10$	$-10$
$P(X=x_i)$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{2}$

Nous avons alors :
•

E(X)

=

\dfrac{1}{2}\times 10+\dfrac{1}{2}\times(-10)

=

0

•

V(X)

=

\dfrac{1}{2}(10-0)^2+\dfrac{1}{2}(-10-0)^2

=

100

donc

\sigma(X)

=

10

Ce que l'on peut interpréter en disant que le gain moyen est

situé en moyenne,

à plus ou moins 10 euros de

0

euro.

2 0

Property 1
Soient

p\in[0;1]

X

une variable aléatoire suivant la loi de

Bernoulli

de paramètre

p

On a alors :

E(X)

=

p

V(X)

=

p(1-p)

Preuve
On peut représenter la loi

X

par le tableau suivant :

$x_i$	$0$	$1$
$P(X=x_i)$	$1-p$	$p$

Ainsi :

E(X)

=

0\times(1-p)+1\times p

=

p

$V(X)$	$=$	$(1-p)(0-E(X))^2+p(1-E(X))^2$
	$=$	$(1-p)(0-p)^2+p(1-p)^2$
	$=$	$(1-p)((-p)^2+p(1-p))$
	$=$	$(1-p)( p^2+p-p^2 )$
	$=$	$p(1-p)$ .

1 0

1.2Addition Exemple 1 Voici les notes d'un élève à ses quatre DST trimestriels : 8 - 11 - 7 - 6.
Sa moyenne

m

est donc :

m=

\dfrac{1}{4}\left( 8 + 11 + 7 + 6\right)

=

8

L'enseignant de cet élève décide d'augmenter toutes les notes de 3 points.
La nouvelle moyenne

m'

vaut alors :

m'=

\dfrac{1}{4}\left( 11 + 14 + 10 + 9\right)

=

11

Ainsi, nous voyons que le fait d'augmenter chacune des notes de 3 points a pour conséquence de faire augmenter la moyenne de

3 points également.

Ce qui nous amène à la propriété suivante : Property 2
Soit

X

une variable aléatoire d'espérance

E(X)

. Soit

a

un réel. Alors

X+a

est également une

variable aléatoire

et son espérance vérifie :

E(X+a)

=

E(X)+a.

Preuve
Soit

X

une variable aléatoire prenant les valeurs

x_i

, pour

0\leq i\leq n

, et soient

p_i\in[0;1]

les probabilités associées à ces événements.
Pour tout entier

i

compris entre

1

n

, on a :

X=x_i

\Longleftrightarrow

X+a = x_i + a.

Et donc :

P(X=x_i)

=

P(X+a = x_i + a)

On a alors les deux tableaux suivants:

$k$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$
$P(X=k)$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$

$l$	$x_1+a$	$x_2+a$	$\cdots$	$x_n+a$
$P(X+a=l)$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$

Ainsi :

$E(X+a)$	$=$	$p_1\times(x_1+a)+p_2\times(x_2+a)+\cdots+p_n(x_n+a)$
	$=$	$p_1x_1+p_1a+p_2x_2+p_2a+\cdots+p_nx_n+p_na$
	$=$	$(p_1x_1+p_2x_2+\cdots+p_nx_n)+(p_1+p_2+\cdots+p_n)a$
	$=$	$E(X)+1\times a$
	$=$	$E(X)+a.$

Exemple 2 Considérons maintenant un élève qui a eu deux notes : 8 et 12.
Sa moyenne est

10,

et l'écart-type est de

(chacune des notes étant situées à

points de la moyenne

).
Imaginons maintenant que chacune de ces deux notes sont diminuées de 5 points. Elles deviennent alors : 3 et 7.
La nouvelle moyenne est donc de 5 points inférieures à la précédente, mais nous voyons que les écarts par rapport à la moyenne sont toujours égaux à 2.
Il est intuitif que si toutes les notes sont toutes décalées d'un même nombre alors les écarts restent

identiques.

Property 3
Soit

X

une variable aléatoire de variance

V(X)

. Soit

a

un réel. Alors

X+a

est également une variable aléatoire et sa

variance

vérifie :

V(X+a)

=

V(X).

Et donc :

\sigma(X+a)

=

\sigma(X).

Preuve
Soit

X

une variable aléatoire prenant les valeurs

x_i

, pour

0\leq i\leq n

, et soient

p_i\in[0;1]

les probabilités associées à ces événements. En reprenant les deux tableaux de la preuve précédente, on a :

$V(X+a)$	$=$	$p_1(x_1+a-E(X+a))^2+p_2(x_2+a-E(X+a))^2+\cdots+p_n(x_n+a-E(X+a))^2$
	$=$	$p_1(x_1+a-E(X)-a)^2+p_2(x_2+a-E(X)-a)^2+\cdots+p_n(x_n+a-E(X)-a)^2$
	$=$	$p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+\cdots+p_n(x_n-E(X))^2$
	$=$	$V(X).$

On a alors :

\sigma(X+a)

=

\sqrt{V(X+a)}

=

\sqrt{V(X)}

=

\sigma(X)

0 1

Definition 4
Soient

X

Y

deux variables aléatoires définies sur un même univers probabilisé

\Omega

.
On définit la variable aléatoire

Z

pour tout élément

\omega\in\Omega

par

Z(\omega)

=

X(\omega)+Y(\omega)

La variable aléatoire

Z

s'appelle alors la

somme

des variables aléatoires

X

Y

et on la note

Z

=

X+Y

Property 4
Soient

X

Y

deux variables aléatoires définies sur un même univers probabilisé

\Omega

. On a :

$E(X+Y)$

$=$

$E(X)+E(Y)$ .
Si $X$ et $Y$ sont
indépendantes
alors :
$V(X+Y)$

$=$

$V(X)+V(Y)$ .

Remark 2 Pour

n

variables aléatoires

X_1

X_2

\ldots

X_n

on peut définir la variable aléatoire somme

X_1+X_2+\dots+X_n

et par

récurrence

on obtient la propriété suivante : Property 5
Soient

n

un entier naturel non nul et

X_1

X_2

\ldots

X_n

des variables aléatoires définies sur un même univers probabilisé

\Omega

. On a alors :

$E(X_1+X_2+\dots+X_n)$

$=$

$E(X_1)+E(X_2)+\dots+E(X_n)$ .
$V(X_1+X_2+\dots+X_n)$

$=$

$V(X_1)+V(X_2)+\dots+V(X_n)$ .

Remark 3 On peut noter également :

\displaystyle{ E\left( \sum_{i=1}^n X_i\right)}

=

\displaystyle{\sum_{i=1}^nE(X_i)}

\displaystyle{ V\left( \sum_{i=1}^n X_i\right)}

=

\displaystyle{\sum_{i=1}^n V(X_i)}

1.3Multiplication Exemple 3 Si un élève possède une moyenne de 8/10 il semble évident que sa moyenne sur 20 est de

16,

ou encore de

/100, ou bien de

/5. Property 6
Soit

X

une variable aléatoire d'espérance

E(X)

. Soit

a

un réel non nul. Alors

a\times X

est également une

variable aléatoire

et son espérance vérifie :

E(aX)

=

aE(X).

Preuve
Soit

X

une variable aléatoire prenant les valeurs

x_i

, pour

0\leq i\leq n

, et soient

p_i\in[0;1]

les probabilités associées à ces événements.
Pour tout entier

i

compris entre

0

n

, puisque

a\neq0

, on a :

X=x_i

\Longleftrightarrow

aX=a x_i.

et donc :

P(X=x_i)

=

P(aX=ax_i)

On obtient le tableau suivant :

$k$	$ax_1$	$ax_2$	$\cdots$	$ax_n$
$P(aX=k)$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$

Ainsi :

$E(aX)$	$=$	$p_1\times(ax_1)+p_2\times(ax_2)+\cdots+p_n\times(ax_n)$
	$=$	$a(p_1x_1)+a(p_2x_2)+\cdots+a(p_nx_n)$
	$=$	$a\left( p_1x_1+p_2x_2+\cdots+p_nx_n\right)$
	$=$	$aE(X).$

Exemple 4 Si deux notes sur 10 ont un écart de 3 points, par exemple 4 et 7, alors ces notes calculées sur 20, c'est à dire 8 et 14, ont un écart de

points. Property 7
Soit

X

une variable aléatoire de variance

V(X)

. Soit

a

un réel non nul. Alors

a\times X

est également une variable aléatoire et sa variance vérifie :

V(aX)

=

a^2V(X).

Et donc :

\sigma(aX)

=

|a|\sigma(X).

Preuve
Soit

X

une variable aléatoire prenant les valeurs

x_i

, pour

0\leq i\leq n

, et soient

p_i\in[0;1]

les probabilités associées à ces événements.
En reprenant le tableau de la preuve précédente.

$V(aX)$	$=$	$p_1(ax_1-E(aX))^2+p_2\times(ax_2-E(aX))^2+\cdots+p_n(ax_n-E(aX))^2$
	$=$	$p_1(ax_1-aE(X))^2+p_2\times(ax_2-aE(X))^2+\cdots+p_n(ax_n-aE(X))$
	$=$	$p_1(a(x_1-E(X))^2+p_2(a(x_2-E(X))^2+\cdots+p_n(a(x_n-E(X))^2$
	$=$	$p_1a^2(x_1-E(X))^2+p_2a^2(x_2-E(X))^2+\cdots+p_na^2(x_n-E(X))^2$
	$=$	$a^2\left( p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+\cdots+p_n(x_n-E(X))^2\right)$
	$=$	$a^2V(X).$

Nous avons donc :

\sigma(aX)

=

\sqrt{V(aX)}

=

\sqrt{a^2V(X)}

=

\sqrt{a^2}\sqrt{V(X)}

=

|a|\sigma(X)

Exercice 2 Soit

X

une variable aléatoire discrète d'espérance

\mu

et d'écart-type

s

.
Déterminer

E\left(\dfrac{X-\mu}{s}\right)

ainsi que

\sigma\left(\dfrac{X-\mu}{s}\right)

Correction

$E\left(\dfrac{X-\mu}{s}\right)$	$=$	$E\left(\dfrac{1}{s}(X-\mu)\right)$
	$=$	$\dfrac{1}{s}E(X-\mu)$
	$=$	$\dfrac{1}{s}\left( E(X)-\mu \right)$
	$=$	$\dfrac{1}{s}(\mu-\mu)$
	$=$	$0$ .

$V\left(\dfrac{X-\mu}{s}\right)$	$=$	$V\left(\dfrac{1}{s}(X-\mu)\right)$
	$=$	$\dfrac{1}{s^2}V(X-\mu)$
	$=$	$\dfrac{1}{s^2}V(X)$
	$=$	$\dfrac{1}{s^2}\sigma(X)^2$
	$=$	$1$ .

Ainsi :

\sigma\left(\dfrac{X-\mu}{\sigma}\right)

=

\sqrt{V\left(\dfrac{X-\mu}{\sigma}\right)}

=

\sqrt{1}

=

1

2Échantillon d'une loi de probabilité Definition 5
Soient

n

un entier naturel non nul et

X

une variable aléatoire définie sur un univers probabilisé

\Omega

.
Un

échantillon

de taille

n

de la loi de

X

est une

liste

(X_1\,;X_2\,;\cdots\,;X_n)

de variables aléatoires

identiques et indépendantes

suivant la même

loi

que

X

. Exemple 5 Une usine d'emboutillage remplie des bouteilles d'eau pétillante avec un certain volume. On considère la variable aléatoire

V

qui a toute bouteille lui associe la quantité versée par la chaîne de production en mL.
On s'intéresse à

100

bouteilles à remplir que l'on numérote de

1

jusqu'à

100

. On note

V_i

la variable aléatoire qui associe à la bouteille n°

i

la quantité de boisson qu'elle va recevoir.
Les réglages de la ligne de production font que l'on peut considérer que les variables aléatoires

V_i

sont

identiques et indépendantes

et suivent toutes la loi de

V

Ainsi,

(V_1\,;V_2\,;\cdots\,;V_n)

est un

échantillon

de la loi de

V

Definition 6
Soient

n

un entier naturel non nul,

X

une variable aléatoire et

(X_1\,;X_2\,;\cdots\,;X_n)

échantillon

de taille

n

la loi de

X

La variable aléatoire
somme
de l'échantillon $(X_1\,;X_2\,;\cdots\,;X_n)$ est définie par
$S_n$

$=$

$X_1+X_2+\cdots+X_n$ .

La variable aléatoire
moyenne
de l'échantillon $(X_1\,;X_2\,;\cdots\,;X_n)$ est définie par
$M_n$

$=$

$\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$ .

Exemple 6 En reprenant l'exemple de l'embouteillage précédent on peut s'intéresser à la variable somme qui modélise la quantité totale de boisson versée pour l'échantillon, ou à la variable moyenne qui modélise la moyenne de boisson versée dans une bouteille.
Si on veut utiliser concrétement ces variables aléatoires (pour le responsable de production par exemple) il faut connaître leur

espérance et leur variance.

0 0

Property 8
Soient un entier naturel non nul et

S_n

la variable aléatoire

somme

associée à un échantillon et de taille

n

d'une variable aléatoire

X

. On a alors :

$E(S_n)$

$=$

$nE(X)$ ,
$V(S_n)$

$=$

$nV(X)$

et

$\sigma(S_n)$

$=$

$\sqrt{n}\sigma(X)$ .

Preuve
On applique les formules suivantes :

\displaystyle{ E\left( \sum_{i=1}^n X_i\right)}

=

\displaystyle{\sum_{i=1}^nE(X_i)}

\displaystyle{ V\left( \sum_{i=1}^n X_i\right)}

=

\displaystyle{\sum_{i=1}^n V(X_i)}

En effet, en notant

(X_1\,;X_2\,;\cdots\,;X_n)

l'échantillon de la loi de

X

on a :

E(S_n)

=

\displaystyle{ E\left( \sum_{i=1}^n X_i\right)}

=

\displaystyle{\sum_{i=1}^nE(X_i)}

=

\displaystyle{\sum_{i=1}^nE(X)}

=

nE(X)

V(S_n)

=

\displaystyle{ V\left( \sum_{i=1}^n \right)}

=

\displaystyle{\sum_{i=1}^nV(X_i)}

=

\displaystyle{\sum_{i=1}^nV(X)}

=

nV(X)

Et puisque

\sigma(S_n)

=

\sqrt{V(S_n)}

on a bien

\sqrt{S_n}

=

\sqrt{nV(X)}

=

\sqrt{n}\sqrt{V(X)}

=

\sqrt{n}\sigma(X)

0 0

Property 9
Soient un entier naturel non nul et

M_n

la variable aléatoire

moyenne

associée à un échantillon et de taille

n

d'une variable aléatoire

X

. On a alors :

$E(M_n)$

$=$

$E(X)$ ,
$V(M_n)$

$=$

$\dfrac{V(X)}{n}$

et

$\sigma(V_n)$

$=$

$\dfrac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$ .

Preuve
On applique les formules

E(aX)

=

aE(X)

V(aX)

=

a^2V(X)

aux résultats de la propriété précédente.
En notant

S_n

la variable aléatoire

somme

associée au même échantillon on a

M_n

=

\dfrac{1}{n}S_n

et :

E(M_n)

=

E\left(\dfrac{1}{n}S_n\right)

=

\dfrac{1}{n}E(S_n)

=

\dfrac{1}{n}\times nE(X)

=

E(X)

V(M_n)

=

V\left(\dfrac{1}{n}S_n\right)

=

\dfrac{1}{n^2}V(S_n)

=

\dfrac{1}{n^2}\times nV(X)

=

\dfrac{1}{n}V(X)

On conclut sur l'écart-type en appliquant la fonction

racine carrée

à l'égalité précédente.

0 0

3Application à la loi binomiale Property 10ROC
Soient

n

un entier naturel non nul,

p\in[0;1]

X

une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres

n

p

On a alors :

$E(X)$

$=$

$np$ ,
$V(X)$

$=$

$np(1-p)$ .

Preuve

Soit

Y

la variable aléatoire suivant la loi

de Bernoulli

de paramètre

p

Soient

X_1

X_2

\cdots

X_n

les

n

variables aléatoires indépendantes

suivant la loi de

Y

telles que :

X

=

X_1+X_2+\cdots+X_n

On a :

E(X)

=

E(X_1+X_2+\cdots+X_n)

=

nE(Y)

=

np

Et :

V(X)

=

V(X_1+X_2+\cdots+X_n)

=

nV(Y)

=

np(1-p)

Ce qui nous donne :

\sigma(X)

=

\sqrt{V(X)}

=

\sqrt{np(1-p)}

0 0