Terminale ∼ Spécialité mathématiques
Primitives / Équation différentielles 1Généralités Definition 1
Soit

f

une fonction définie et dérivable sur intervalle

I

.
Une

équation différentielle

est une équation qui met en relation la variable, la fonction

f

sa dérivée

f'

ainsi qu'éventuellement ses

dérivées d'ordre supérieur.

Remark 1

Une équation différentielle est une équation ou l'inconnue est une
fonction.
Généralement, l'inconnue d'une équation différentielle est notée
$y$ ,
sa dérivée
$y'$ ,
sa dérivée seconde
$y''$ ,
etc. On peut les noter également $y$ ,
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ ,

$\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ ,

$\dots$ .

Exemple 1 Les deux équations ci-dessous sont des équations différentielles :

$f'=f$ , que l'on peut noter également :
$y'=y$
ou encore
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=y$ .
$3xf''(x)-(f(x))^2=2$ , que l'on peut écrire :
$3xy''-y^2=2$
ou
$3x\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}-y^2=2$ .

3 0

Definition 2
Soit

n

un entier naturel. Une équation différentielle d'ordre

n

est une équation différentielle où la dérivée de plus grand

ordre

est

n

Exemple 2

$5y-x^2y'=0$ est une équation différentielle du
premier ordre.
Pour $\omega\in\mathbb{R}$ , $y''+\omega^2y=0$ est une équation différentielle d'ordre
$2$ .

Definition 3
Toute fonction

f

qui vérifie une équation différentielle est appelée

solution

de cette équation.
Résoudre une équation différentielle, c'est déterminer

toutes les fonctions solutions.

Exemple 3 La fonction

f

définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=\text{e}^{-3x}

est une solution de l'équation différentielle

y'=-3y

.
En effet,

f'(x)

=

-3\text{e}^{-3x}

=

-3\times f(x)

Cependant, cette fonction n'est pas la

seule

solution. Par exemple, la fonction

g

définie sur

\mathbb{R}

par

g(x)=10\text{e}^{-3x}

est également une solution de cette équation différentielle :

g'(x)

=

-30\text{e}^{-3x}

=

-3g(x)

3 0

Definition 4
Soit

n

un entier naturel. On considère une équation différentielle d'ordre

n

d'inconnue

y

sur un intervalle

I

, ainsi qu'un réel

x_0\in I

.
La donnée de

y(x_0)

ou d'une des dérivées de

y

x_0

(par exemple

y'(x_0)

y''(x_0)

\dots

) s'appelle une

condition initiale.

Exemple 4 La fonction

h

définie sur

\mathbb{R}

par

h(t)=5\text{e}^{2t}

est la solution de l'équation

y'=2y

vérifiant la condition initiale

y(0)

=

5

2 1

2Équation différentielle

y'=f

Definition 5
Soient

f

F

des fonctions définies sur un intervalle

I

.
On dit que

F

est une

primitive

f

sur

I

F

est

dérivable

sur

I

et qu'elle est solution de l'équation différentielle

y'=f

Remark 2 En d'autres termes,

F

est une primitive de

f

sur

I

F'=f

Exemple 5 La fonction définie sur

\mathbb{R}

par

x\longmapsto 2x

est une primitive sur

\mathbb{R}

x\longmapsto2

Exercice 1 Trouver des solutions définies sur

\mathbb{R}

aux équations différentielles suivantes :

$y'=x$
$y' = x^2+1$

Correction

$y_1(x)$

$=$

$\dfrac{1}{2}x^2$
est une solution de cette équation.
La fonction
$y_2(x)$

$=$

$\dfrac{x^2}{2}+13$
est également une solution.
$y(x)=\dfrac{x^3}{3}+x+1993$
est solution de l'équation.

Property 1
Toute fonction

continue

sur un intervalle admet des

primitives

sur cette intervalle Property 2
Soit

f

une fonction continue définie sur un intervalle

I

.
Les primitives de

f

différent toutes d'une constante.

Preuve
Soient

F

G

deux primitives

f

sur

I

.
La fonction

F-G

est

dérivable

sur

I

et sa dérivée vérifie :

(F-G)'

=

F'-G'

=

f-f

=

0

Ainsi

F-G

est

constante

sur

I

et les primitives de

f

différent

bien d'une constante. Property 3
Soient

f

une fonction définie sur

I

F

une primitive de

f

sur

I

.
Les primitives de

f

sur

I

sont les fonctions de la forme

x\longmapsto F(x)+k

pour tout

k\in\mathbb{R}

. Exemple 6 Les primitives de

x\longmapsto x

sur

\mathbb{R}

sont les fonctions définies sur

\mathbb{R}

par

x\longmapsto \dfrac{x^2}{2}+\lambda

avec

\lambda\in\mathbb{R}

2 0

Remark 3 Pour déterminer des primitives, il sera utile de connaître les tableaux ci-dessous. Les deux dernières lignes seront vues dans un prochain chapitre.

Fonction $f$	Primitive $F$	Domaine de définition
$k$ constante	$kx$	$\mathbb{R}$
$x$	$\dfrac{x^2}{2}$	$\mathbb{R}$
$x^n$ , $n\in\mathbb{N}$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x^2}$	$-\dfrac{1}{x}$	$\mathbb{R}^*$
$\dfrac{1}{x^3}$	$-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{x^2}$	$\mathbb{R}^*$
$\dfrac{1}{x^n}$ , $n\in\mathbb{N}^*$	$-\dfrac{1}{n-1}\times\dfrac{1}{x^{n-1}}$	$\mathbb{R}^*$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$	$]0\,;+\infty[$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln(x)$	$]0\,;+\infty[$
$\mathrm{exp}(x)$	$\mathrm{exp}(x)$	$\mathbb{R}$
$\cos(x)$	$\sin(x)$	$\mathbb{R}$
$\sin(x)$	$-\cos(x)$	$\mathbb{R}$

Soient

u

v

deux fonctions dérivables.

Fonction	Primitive
$u'\times(v'\circ u)$	$v \circ u$
$u'u^n$ , $n\in\mathbb{N}$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{u'}{u^n}$ , $n\in\mathbb{N}$	$-\dfrac{1}{(n-1)u^{n-1}(x)}$
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln \|u\|$
$u'\mathrm{e}^u$	$\mathrm{e}^u$
$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$	$\sqrt{u}$
$u'\cos(u)$	$\sin(u)$
$u'\sin(u)$	$-\cos(u)$

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$ . Déterminer une primive sur $\mathbb{R}$ de $f$ .

Résoudre l'équation différentielle $(E)$ : $y'=\dfrac{x}{(x^2+1)^2}$

Correction

La fonction $f$ est de la forme
$\dfrac{u'}{u}$
avec :
$u(x)=x^2+1$

et

$u'(x) = 2x$ .

De plus,
$u(x)>0$ ,
ainsi, la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$F(x)=\ln(x^2+1)$
est
une

primitive

sur $\mathbb{R}$

de $f$ .

L'expression $\dfrac{x}{(x^2+1)^2}$ est de la forme
$\dfrac{\frac{1}{2}u'}{u^2}$
avec
$u(x)=x^2+1$
et
$u'(x)=2x$ .

Ainsi les solutions de $(E)$ sont les fonctions $y$ définies sur $\mathbb{R}$ par
$y(x)$

$=$

$-\dfrac{\frac{1}{2}}{x^2+1}+k$

$=$

$-\dfrac{1}{2(x^2+1)}+k$ ,

avec $k\in\mathbb{R}$ .

3 0

3Équation différentielles

y'=ay

Property 4ROC
On considère l'équation différentielle

(E)

y'=ay

avec

a\neq0

Les solutions de $(E)$ sont les
fonctions
définies sur $\mathbb{R}$ par :
$y(x)$

$=$

$C\text{e}^{ax}$ ,

où $C$ est une constante réelle.

Étant donnés deux réels $x_0$ et $y_0$ , il existe une
unique
solution de $(E)$ vérifiant la condition initiale
$y(x_0)$

$=$

$y_0$ .

Cette condition permet de déterminer la constante
$C$
de
$y(x)$ $=$ $C\text{e}^{ax}$ .

Preuve

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x)=C e^{a x},$
oú $C$ est un réel.
Alors,
$f^{\prime}(x)$

$=$

$C \times a e^{x^{\prime \prime}}$

$=$

$a f(x)$ .
Puisque $f^{\prime}(x)$ $=$
$a f(x)$
pour tout réel $x, f$ est bien
solution
de l'équation differentielle
$y = ay$ .

Reciproquement, soit $f$ une
solution
de l'équation differentielle $(E)$
$y= ay$
et soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
$g(x)=e^{-a x} \times f(x)$ .

La fonction $g$ est
dérivable
sur $\mathbb{R}$ et
$g^{\prime}(x)$

$=$

$e^{-a x} \times f^{\prime}(x)-a e^{-a x} \times f(x)$ .

Puisque $f$ est solution de $(E)$ ,
$f^{\prime}(x)$

$=$

$a f(x)$
pour tout réel $x$ et ainsi :

$g^{\prime}(x)$

$=$

$e^{-ax}\times a f(x)-a e^{-a x} \times f(x)$

$=$

$0$ .

La fonction $g$ est
constante,
il existe donc un réel $C$ tel que
$g(x)=C$ ,
c'est-à-dire :
$e^{-a x} \times f(x)$

$=$

$C$ .

Puisque $e^{-a x}$ est different de
$0$
pour tout réel $x$ , on obtient:

$f(x)$

$=$

$\dfrac{C}{e^{-ax}}$

$=$

$C e^{a x}$ .
Une solution de $(E)$ est de la forme
$y$

$=$

$C\text{e}^{ax}$ .

De plus,
$y(x_0)=y_0$ ,
donc
$y_0$

$=$

$C\text{e}^{ax_0}$
et
$C$

$=$

$\dfrac{y_0}{e^{ax_0}}$ ,
c'est-à-dire
$C$

$=$

$y_0\text{e}^{-ax_0}$ .

Ainsi, la fonction définie pour tout réel $x$ par
$y(x)$ $=$ $y_0\text{e}^{-ax_0}\text{e}^{ax}$

$=$

$y_0\text{e}^{a(x-x_0)}$

est l'unique solution cherchée.

Exercice 3 Résoudre l'équation différencielle

(E)

y'=8y

, puis déterminer la solution vérifiant

y(-1)=1

Correction

Les solutions de

(E)

sont toutes les

fonctions

y

définies sur

\mathbb{R}

par

y(x)

=

C\text{e}^{8x}

avec

C\in\mathbb{R}

Pour la solution particulière vérifiant

y(-1)=1

on a :

C\text{e}^{-8}

=

1

c'est-à-dire

C

=

e^{8}

Ainsi la solution cherchée est

y(x)=\text{e}^8\text{e}^{8x}

=

\text{e}^{8x+8}

Exemple 7 Les solutions de l'équation différentielle

y'=-2y

, sont les fonctions

y(x)=C\text{e}^{-2x}

On peut observer leur courbe dans le graphique ci-dessous.

0,0

C = 5.00

Property 5
On considère l'équation différentielle

(E)

y'=ay

avec

a\neq0

On note

y_1

y_2

deux solutions de

(E)

k

un réel.
La fonction somme

y_1+y_2

et la fonction

ky_1

sont également des

solutions

(E)

2 0

4Équation différentielles

y'=ay+b

Property 6
On considère l'équation différentielle

(E)

y'=ay+b

avec

a

b

non nuls.

Les solutions de $(E)$ sont les
fonctions
définies sur
$\mathbb{R}$
par :
$y(x)$

$=$

$C\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}$ ,
où $C$ est une
constante

réelle.

Étant donnés deux réels
$x_0$ et $y_0$ ,
il existe une
unique
solution de $(E)$ vérifiant la condition
initiale

$y(x_0)$ $=$ $y_0$ .

Exercice 4 Résoudre l'équation différentielle

y'=3y+2

avec

y(0)=1

Correction

Les solutions de l'équation sont de la forme

y(x)=C\text{e}^{3x}-\dfrac{2}{3}

avec

C\in\mathbb{R}

De plus,

y(0)=1

donc

C\text{e}^0-\dfrac{2}{3}=1

c'est-à-dire

C=\dfrac{5}{3}

La solution cherchée est donc la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

y(x)=\dfrac{5}{3}\text{e}^{3x}-\dfrac{2}{3}

5 1

5Guide de résolution des équations différentielles du type

y'=ay+f

Pour résoudre une équation différentielle

(E)

de la forme

y'=ay+f

l'énoncé nous guide en respectant les étapes suivantes:

On cherche une solution
particulière
$\varphi$ (en pratique, il suffit de vérifier que la fonction indiquée par l'énoncé convient);
On montre que $y$ est solution de $(E)$
si et seulement si

$y-\varphi$

est une solution de l'équation homogène $y'=ay$ ;
On résout l'équation homogène
$y'=ay$ .
On en déduit que l'ensemble des solutions de (E) s'écrivent alors :
$y=C\text{e}^{ax}+\varphi$ ,

avec $C\in\mathbb{R}$ .

Exercice 5 Soit

(E)

l'équation différentielle :

y'=2y+x^2

Montrer que la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}$ est une solution de particulière de $(E)$ .
Démontrer qu'une fonction $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si la fonction $f-g$ est solution de l'équation différentielle $y'=2y$ .
Résoudre alors l'équation $(E)$ .

Correction

Pour tout réel $x$ ,
$g'(x)$

$=$

$-x-\dfrac{1}{2}$ .

De plus :
$2g(x)+x^2$ $=$ $-x^2-x-\dfrac{1}{2}+x^2$

$=$

$-x-\dfrac{1}{2}$

$=$

$g'(x)$ .

La fonction $g$ est bien
une solution particulière de $(E)$ .

$f$ est solution de $(E)$	ssi	$f'=2f+x^2$
	ssi	$f'-2f=x^2=g'-2g$ vu que g est solution de $(E)$
	ssi	$(f-g)'-2(f-g)=0$
	ssi	$f-g$ est solution de $y'=2y$ .

Les solutions de l'équation $y'=2y$ sont de la forme
$y(x)=C\text{e}^{2x}$ ,

avec $C\in\mathbb{R}$ .

Donc,
$f-g$
est solution de
$y'=2y$
si et seulement si
il existe $C\in\mathbb{R}$

tel que

$f-g=C\text{e}^{2x}$
c'est-à-dire tel que
$f$

$=$

$g+C\text{e}^{2x}$ .

Les solutions de $(E)$ sont donc les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)$

$=$

$C\text{e}^{2x}-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}$ ,

avec $C\in\mathbb{R}$ .

1 1